Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 22
Текст из файла (страница 22)
показаны на рпс. 3.7.3. Уравненпе равновесия злемента примет следующий впд: — (аб) + —: (тб) = О. (3.7.2) Заметим, что вследствие правила парностп касательных напряжений Т= О при г=О и г=Ь. Интегрируя (3.7.2), найдем тб = — ) — лг. Р д (сд) дв (3.7.3) о Но по формуле (3.7Л), учитывая независимость б от з, по- 1 лучпм д (од) бд "')1х бх д '1о дв 1х дг 1о дв ' Вспомнив дифференциальные соотношения между изгибающими моментамн У Рвс. 3.7.2 Рвс.
3.7.3 и перерезывающпмп сплаош, напишем последнее равенство так: в тб = — ) убо(г. Ог у 1,.) о (3.7.5) д (об) бд бх — — — () — — Р . дв 1х " 1„ Подставив это выражение в (3.7.3), получим следующую формулу для закона распределения касательных напряжений: в в тб = —" 1 убс(г+ —" ) хбг(г.
1х (3.7.4) о о Интегралы в (3.7.4) представляют собою статические моменты части площади сечения, заштрихованной на рпс. 3.7.2. Если внешние силы действуют в плоскости симметрии сечения, которую мы примем за плоскость уОЕ, то в формуле (3.7,4) остается один член гл. з. изгпв валок Формулу (3.7.5) применяют иногда и для сплошных сечений, предполагая, что вентор т параллелен оси у, и понимая под б ширину сечения на расстоянии у от оси х. Этп гипотезы можно принять с большой натяжкой, точные решения их не подтверждают. Так, для прямоугольного сечения наибольшее напряжение получается на нейтральной оси прп у = О, приближенная величина его З Оо г = —.
хы Эта формула довольно точна, когда Ь) Ь, если Ь > Ь, она дает иногда большую ошибку. Предположим теперь, что сечение стержня несимметрично. Покажем, что существует такая ось, параллельная оси стержня, что силы, действуоощие в любой проходящей через эту ось плоскости, не вызывают кручения. Точку пересечения этой осп с плоскостью сечения называют центром изгиба.
Если такая точка — С существует, то касательные силы в р) ге р сечении приводятся к равнодействующей, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что сумма моментов всех ъасательяых спл в сечении относительно точки С равна нулю. На элемент Нг с координатамн х, у действует сила тбгоо (рис. 3.7.4); момент ее Рве. 3.7.4 относительно точки С есть тбр г7з, где р — длина перпендикуляра, опущенного из точки С на касательную. Если С есть центр изгиба, то ь ~ тброЬ == О. о Но рог — это удвоенная площадь треугольника с основанием о(г п вершиной в точке С.
Положим ранг = оооо. Таким образом, ь ~ тбт)оэ =-. О, о Применим формулу интегрирования по частям. Получим о ь тбоэ — ) — оо оЬ вЂ” О, р э ~т5 о Но т обращается в нуль крп г = О п г = Ь. Воспользуемся, в 31. топкостГ1н!ые стегжни ОткРытОГО пРО~М1ля 67 кроме того, для преобразования интеграла уравнением (3.7.2), вспомшсв, что д (тб) д (аб] бу бх — =- — — = — Ь+ — А., дв дв 1х 7„ как показано выше.
Окончательный результат будет следующий: о„р ~х — ~ усоб сСд + — ) хсоб сЬ = О, Ох ( 7„.) о о а так как ()„п (7в произвольны, положение центра изгиба определяется следуюнсими условиями: о ь Х„„== ~ усобсЬ= О, 1 у= ) хсобсЬ =- О. (3.7.6) Совершенно элементарно находится центр изгиба для углового профиля. Если принять за полюс вершину, то секториальная площадь со равна нулю, поэтому условия (3.7.6) выполняготся, и вершина есть центр изгиба (рис. 3.7.5).
Аналогично для таврового сечения центр изгиба находится в точке пересечения стенки с полкой. Рвс. 37.5 Рис. 3.7.6 Сделаем в заключение одно замечание о применимости принципа Сен-Венана к тонкостенным стержням. Конечно, для любой формы сечения моясно выбрать длину нли расстояние от места приложения свл настолько большым, что распределение нормальных напряженки будет следовать линейному закону. Но может оказаться, что затухание местных напряженспс произойдет слишком далеко. Нигкеследующий простой пример, принадлежащий Власову, разъясняет существо дела. Представим себе двутавровую балку (рпс, 3.7,6), нагруженную четырьмя одинаковыми силами Р, = Ра = — Р, = Р, = Р. Каждая нз полок будет изгибаться парой Р,Р, и Р,Р, в разные стороны в плоскости полки.
Стенка закручивается, сопротивление ее 7 Ю. Н, Расотвов гл. з. пзгпв вллок 98 препятствует изгибу полок и иа некотором расстоянии от торца напряжения практически исчезнут. Но если стенка тонкая, это произойдет на очень большом расстоянии. Таким образом, статически уравновешенная система сил служит факторотц который может вызвать напряжения, не носящие местного характера.
Количественной характеристикой этой четверки сил служит так называемый бимомент В =РЬЬ. Таким образом, к концу стержня можно приъладывать но только силы и моменты, но также бимоменты; если стержень тонкостенный, то действие бимомента простирается на достаточное расстояние от торца, в 8 9.15 будет дана оценка для этого расстояния.
в 3.8. Дифференциальное уравнение изогнутой осн балки н его интегрирование При изгибе в главной плоскости уОг связь с кривизной в этой плоскости дается первой нз формул (3.3.4), которую можно переписать следующим образом: 1!р = — М„((Е1,). (3.8Л) Искривленная ось изогнутой балки представляет некоторую кривую в плоскости уОз; задавая перемещение точек первоначально прямой оси балки, совпадающей в наФг чальном состоянии с осью з, в виде г функции и(г), мы получаем по извест) ной формуле анализа 1 г" У~ '~ '~л о2 (3.8.2) (3.8.3) (1 ).
'з)зы Е1„ Интегрирование этого нелинейного дифференциального уравнения довольно затруднительно, хотя и возможно. Некоторые примеры будут приведены в з 4Л1. Сейчас же мы займемся при- Здесь штрихи обозначают производные д по г, знак плюс или минус выбирается о в зависимости от того, какуго кривизРис. 8.8,1 ну мы считаем положительной.
В случае, изображенном на рис. 3.8Л, изгибающий момент положителен. Выпуклость изогнутой оси обращена вверх, значит вторая производная о' тоже положительна. Поэтому в формуле (3.2.2) нужно удержать знак минус, и мы получим следующее точное дифференциальное уравнение изогнутой оси: 6 6 6. УРЗВПЕПНЕ ИЗОГНУТОЙ ОСП Бйякн — Е1„ †', ) = д (г). (3.8.5) с!66 ~ С с!66 / Функция, фигурирующая в правой части, может быть, вообще говоря, обобщеннои функцнеп типа дельта-функции (сосредоточенная сила) или производной от дельта-функции (сосредоточенный момент).
Попытаемся теперь выяснить точность приближенного уравнения (3.8.4) или Рис. 3.8.2 ( 3.8.3), сравнив результат его решения с результатом решения такого уравнения в том случае, когда оно может быть получено без труда. Пусть защемленная балка длиной 1 нагружена на конце моментом М (рис. 3.8.2 ) . Из точного уравнения ( 3.8.1 ) следует, что балка изогнется по дуге окружности и прогиб н а конце 1 =- р(1 — соз — ). Разложим косинус в ряд, ограничившись тремя членами разложения: 2 (р) 24(р) соз — 1 р Выражение для 1 получается следующим: !г ! !! 1= — — — — — + 2 р 24 рз нлп (3.8.6) Решим теперь ту жо задачу, интегрируя уравнение (3.8.4) бляжепной, телппческой теорией.
Как правило, балки, представляющие собою несущие элементы конструкций, получают лишь малые прогибы. Поэтому тангенс угла наклона касательной к упруго!! линни О' мал, а квадратом его, во всяком случае, можно пренебречь по сравнению с единицей. Таким образом, вместо (3.2.3), мы будем применять следующее приближенное уравнение: Е1„Р" = М„(г). Р.8.4) Иногда бывает более удобно считать заданным не изгибающий момент 31„(г), а нагрузку д(г). Вспомним, что из формул (3.4.1) и (3.4.2) следует: М, =Ч Продифференцировав (3.2.4) два раза по г, получим Я 8.8.
УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ семейство функций ф (г), определенных следующим образом: г" ф„(г) = — ~ (г) 0), ф„(г) = 0 (г(0). Прн и = 0 фс(г) есть единичная функция Хевисайда, фс(г) = Н(г), фс(г) = 1 при г ) О, фс(г) = 0 при г ( О. Очень легко доказать следующее свойство функций ф (г): г ф (г — а) дг = фо+ (г — а) (а ) 0) о (3.8.8) таким образом ЛХ = ЛХфз(г — а).
2. От сосредоточенной силы Р в сечении г = Ь М„= Рф~(г — Ь). 3. Распределенная нагрузка постоянной интенсивности д, начинающаяся в точке г = с, может быть задала выражением дфс(г — с). Интегрируя два раза, получим изгибающий момент: Мс = сфз(г — с). Эта формула верна для сечения на загруженном участке. Если нагрузка действует только на участке [с, 3), а нам нужно иметь выражение изгибающего момента при г ) Л, следует продолжить положительную нагрузку вправо от тачки неограниченно, а от точки Л приложить противоположную ей нагрузку — с. Тогда,при г ) д ЛЛ = 1[фз( с) фз(а д)). В общем случае, когда на балку действует несколько нагрузок разного рода, получается М„= зг' (Мф (г — а) + Рф (г — Ь) + Р [ф (г — с) — ф (г — д)) Л. Дейгствптельно, прнг(а ) ф (г — а) срг = О, прн г) 0 о (г а)о+1 ф ( ) (+1! о таким образом, (3.8,8) доказано.
Заметим, что соотношение (3.8.8) позволяет продолнсить последовательность функций ф в область отрицательных индексов, но зто будут уже обобщенные функции. Так ф,(г — а) равна нулю всюду, кроме точки г = а. Но с ф (г — а)с(г=1, ащ(Ь, с). ь Очевидно, что ф ~ соответствует сосредоточенной силе, ф г — сосредоточенному моменту.
В классической механике твердого тела особенности более высокого порядка не встречаются, однако возможность их появления была разъяснена в гл. 1. Выражение изгибающего момента для любого сечения балки, изображенной на рис. 3.8.3,может быть записано с помощью функций ф следующим образом: 1. От сосредоточенного момента М в сечении г = а М, = 0 при г ( а, М„= М при г ) а, ГЛ. 3. ИЗГИБ БАЛОК .з02 Теперь дифференциальное уравнение изгиба (3.8.4) очень легко интегрируется, а,именно, если момент инерции 1 постоянен, мы получаем л (з) = г (0) + х' (0) з + + Е ~~ (М~р (з — а) + Ргг (з — Ь) + д [9> (з — с) — <р (з — Ы) Ц. х Для практического пользования зто уравнение бывает удобно записать следующим образом: и (з) = и (0) + о' (0) з + 1 мч ( М (з — а) Р (з — Ь), ((з — с) [з — 8)~1) + Е1 ~~~ ( 21 + 3( чч у ) 4~ 4у Ц, (3.8.9) х Значок >л> над символом суммы обозначает, что для каждого сечения суммируются только те величины, которые относятся к части балки, левой по отношению к рассматриваемому сечению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
