Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ЗАКОН ПЛОСКИХ СКЧЕ11ПН но прп помощи небольшого числа параметров. Поместим начало коордппат, а также осп х л у в плоскостп одного пз сечеппй, ось г параллельна образугощей цилиндрического тела, представляющего собою балку. Выберем второе сечение, отстоящее от первого па расстоянпп с1С. Определим деформацию элемента ьчп, параллельного оси г и заключенного между этими сеченпямп. Будем считать, что первое сечение (левое на рпс. 3.2.1) неподвпжпо, тогда как правое перемещается, оставаясь плоским.
Перемещеппе его состоит нз трех элементов: а. Поступательное перемещение в направления осн г, равное е,дз, где е, — относительное учлпнение элемента, совпадающего с осью з. б. Поворот относительно осп х па угол Йг„ =- к„с1з. в. Поворот относптельно осн р на угол о1р„= к„г(х. Относнтельное удлппенпе элемента гяп вследствие постугпггельного перепещеппя п поворота сечеппя будет Рвс, ".1 е = е, + кбу — к„х. (3.2.1) Вели пшы к„=- 1/о, н м, = 1/р„представляют собою крпвпзны проекцпп пзогнуто11 оси балкп на плоскости рО- п хОа соответственно. Прп выводе формулы (3.2.1) мы псключиля возможность поворота сечения около осп г, а также поступательного перемещения в направлеппи осей х и у.
Такое перемещение противоречило бы условп1о сохранения ортогональпостп плоскости сечеппя пзогнутой оси балки. Для перехода к напряжениям нам понадобптся сделать еще одно предположение, а именно допустпть, что любой прязматнческпй элемент, образугощая которого параллельна осн г, находится в состоянии растяженпя плн сжатия вдоль оси .. Ряс. 3.2.2 Следовательно, в плоскостях, параллельных осп з, нормальные напряжения отсутствуют. В действптельпостп этп напряжения могут появиться вследствие действия па балку распределенной пзгрузкп.
На рис. 3.2.2 изображена балка квадратного сечеппя со стороной квадрата /г. Длпна балки равна (, опа загруяена равномерно распределенным по 3О ГЛ. 3. ИЗГНБ БАЛОК верхней плоскости давлением д. Вся сила, действующая на балку, есть Р = у(в. Используя оценку (3.1.3), найдем ~2 о д —. ь2 ' Рассечем теперь балку горизонтальной плоскостью. В этой плоскости будут действовать нормальные напряжения о'; если плоскость сечения близка к верхней граничной плоскости, то о' весьма мало отличается от ( — д); если плоскость сечения близка к нижней граничной плоскости, то о мало отличается от нуля.
Поэтому о имеет тот же порядок величины, что д: Сравнивая о и о видим, что отношение о lо имеет порядок малости 12'-!12, тогда как оценка для отношения касательных напряжений к нормальным была 1211, следовательно, напряжениями о и подавно можно пренебречь. Полученная оценка, конечно, несправедлива вблизи мест приложения сосредоточенных нагрузок (понятие сосредоточенной нагрузки или силы должно определяться так, как это было разьяснено в т 1.5). Но техническая теория балок Бернулли — Эйлера здесь перестает быть применимой.
Исключая из рассмотрения эти особые случаи, мы будем считать, что напряжение и деформация связаны между собою обычным законом Гука о=Ее и, следовательно, из (3.2.1) получается закон распределеш2я нормальных напряжений по сечению о = Е(е, + н, у — нтх). (3.2.2) Вблизи тех сечений, где приложены сосредоточенные силы, формула (3.2.2), конечно, теряет силу. Однако принцип Сен-Венана и здесь, как и при растяжении — сжатии, позволяет утверждать, что область нарушения линейного закона распределения напряжений изгиба простирается на длину порядка поперечного размера сечения Й. $3.3. Нормальные напряжения при изгибе Установив, что нормальные напряженяя при изгибе распределяются по линейному закону в плоскости поперечного сечення, вычислим значения этих напрялзений при заданных ситах.
Рассмотрим балку, загруженную произвольной системой спл, как показано на рпс. 3.3.1. Будем считать, что эти силы не вызывают кручения, т. е. линия действия каждой пз нкх проходит через б 3.3. ноР3!ляг ные нлпРяжения пР»г пзгнве ЗХ центр изгиба соответствующего сечения (но не обязательно перпендикулярна осп балки). Желая определить нормальные напряжения в сечении тп, поместим в этом сечении оси прямоугольной системы координат хОу, как это было пояснено в предыдущеъг параграфе. Мысленно рассечем балку плоскостью хОу, отбросим одну часть балки (на рисунке правую) и рассмотрим равновесие оставшейся части, которая изображена отдельно. Из шестп уравнений статики оставим трп: условия равенства нулю проекций сил на ось г и моментов относительно осей х и у. Полу шм ~ Р," + ) о др = О, ~Р т'„+ Р + ~ оу ЗР =- О, ~ тв — ~ ох дГ =О.
(З.ЗЛ) Рнс. 3.33 Индекс «л» вверху обозначает, что суммируются проекции и моменты тех спл, действующих на стержень, которые приложены слева от сечения. Введем теперь следующие обозначения: Рл Л, ~~3~ тл йХ ~чР тл ЛХ ° (3 3 2) Величина гУ, называется продольной силой, М„и ЛХ« — изгибающил«и момента»«и относительно осей х и у соответственно. Внесем в уравнения равновесия обозначения (3.3.2) и подставим выражение для о по формуле (3.2.2). Получим Е(х.Я. — х„Я«+ е,р) — У, = О, Е(х„1 — х,1 + е,Я )+ ЛХ„= О, (3.3.3) Е(х„1, — х»1»+ е,Я») — ))Ха =О.
Здесь величины Я„н Яа представляют собой статические моменты площади сечения относительно осей х и у Я„= ') у ЗР, Я«= ) х ЗР. Величины 1„п 1„называются осевыми моментами инерцпи и определяются следующим образом: 1 ) »у 1 ~,»у г Р Величина 1» называется центробежным моментом инерции, определяют ее следующим выражением: 1 = (хуар. 3 Ю. Н.
Работа»в гл. з. пзшп ьллок Теорпя моментов инерции плоских фигур представляет собою чисто геометрическую теорию, она строится совершенно подобно теории моментов инерции масс в механике твердого тела и здесь излагаться не будет. Заметим только следующие свойства введенных величин. Е Если Б„= О, ось х проходит через центр тяжести. Если Я„= О и Яо = О, то начало координат совпадает с централ« тяжести сечения.
Термин «центр тяжести» в отношении плоской фигуры нужно понимать условно, это понятие приобретает реальный смысл, есля представить себе, что на плоскость сечения нанесен бесконечно тонкий материальный слой постоянной плотности. 2. Осевьге моменты инерции всегда положительны и отличны от нуля, если плогггадь сечения отлична от нуля.
3. Для любого начала координат можно выбрать такие направления осей х и у, что 1 =О. Такие осп называются главныжи осями сеченпя. Если начало координат находится в центре тяжести, оси, для которых 1, = О, называются главнымн центральнымп осями. В частности, если хотя бы одна из осей есть ось симметрии, то 1, = О. Если принять за оси координат главньге центральные оси, то формулы (3.3.3) принимают совсем простой впд, а именно: ггХ «~1» ~ х кх хх — —, кг — — — —., Ео = — ° Е1 х Е1» ЕР (3.3.4) 2Е1х 2Е1, 2ЕР ' (3.3.6) Отсюда дтт в =- —. о =дгч ° дУ дУ вЂ” кх= —, — кг= —.
д21х С другой стороны Е1х, Е1« Е = — их+ — 'к, + 2 ' 2 ЕР— ео. и (3.3.7) В данном случае, когда справедлив закон Гука, величина У, Теперь формулу для напряжений (3.2.2) можно переписать следующим образом: ~1хо ' 1«х (3.3.5) Практически прп расчетах на изгиб всегда относят сечение стержня к главным осям и пользуются формулами (3.3.4) и (3.3.5). Заметим, что формулы (3.3.4), связывающие крпвизны с моментами, можно представить с помощью потенциалов, как это было сделано в Я 2.8 для растяженля — сжатия. Положим 5 ЗА.
ПЗГИБА10шие моменты и пеРЛРезыВАющпе силы 83 определяемая формулой (3.3.6) плн (3.3.7), представляет собою упругую энергию изгиба балки на единицу ее длины. Интегрируя любое из этих выражений по длине, можно найти полную энергию балки (3.3.8~ 5 3.4. Изгибающие моменты и перерезывающпе силы Определенные в предыдущем параграфе величины М, п М„, названные изгибающими моментамп, изменяются при переходе от одного сечения к другому, так как по мере движения слева направо изменяются плечи и появляются новые силы, приложенные й левой части балки, Для дальнейшего нам будет удобно зафиксировать систему координат, поместив начало ее, например, в крайнем левом сечении балки.
Таким образом, по существу нам нужно было бы ввести две спстемы координат, одну неподвижную, другую подвижную с осяпп х н у, расположеннымп в рассматриваемом сечении. Мы избежим этого за счет небольшого изменения формулировок, как это будет видно далее. Зафиксировав систему координат, мы задаем каждое сечение его координатой г; следовательно, изгибающпе мозшяты представляют собою функции от з. В з 3.3 пас интересовали только нормальные напряжения при изгибе, поэтому из шести уравнений равновесия мы фактически составили только три. Проекп1руя силы, действующпе слева от сечения на оси х и у, мы получим величины, которые называются перерезывающнми спламп: ХР:=а, ХР;=Е, Перерезывающие силы уравновешиваются касательными напряжениями в сечении, но мы не знаем закона их распределения по сечению п поэтому не составляем уравнений равновесия внешних и внутренних сил, подобных уравнениям (3.3 1).
Для дальнейшего нам будет достаточно предположить, что все силы действуют в плоскости, паралчельной плоекостп уОг; при этом оси е и у — главные центральные оси сечения. Для упругой балки этот случай будет совершенно общим, действие нагрузки, параллельной плоскости хОг, учптывается точно таким же способом и результаты просто складываются. Для пластических балок дело обстоит несколько иначе, но это будет оговорено в свое время. Итак, мы полагаем, единственно для простоты, что М„= О и 17„= О.
Заметим, что все силы, действующие на балку, должны быть уравновешены. Поэтому ~Р„=О, ~т„=О. Второе уравнение справедливо для любой оси, параллельной Ев гл.з.пзгпв палок оси х. Но совокупность всех спл, действующих на балку, можно разбить на две части: силы, действующие на левую часть, и силы, действующие на правую часть. Поэтому ~', Р„" + ~чз ~Р" =- О, ~~ тз + ~ т"„=- О, При этом разбиение балки на левую и правые части может быть в произвольном сечении. Теперь, ограничиваясь стержнем, который нагружен силамн, действующими в главной плоскости уОг, сформулируем следующие определения: Пврервзывающвй силой называется сумма проекций на ось у всех спч, приложенных слева от рассматриваемого сечения, пли сумма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
