Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Поэтому вместо (2.3Л) нужно использовать следующие соотношения: Л7 ( Мг= — +бе г Е,рз (2.4.7) 9 2.5. расчет стержневых систем на прочность При расчетах инженерных конструкций обычно считают недопустимым либо появление значительных пластических деформаций, либо разрушение всей конструкции в целом или ее отдельных элементов. Характерное напряжение, прн котором пластический материал приобретает заметную пластическую деформацию, называется пределом текучести н обозначается о,.
Хрупкие материалы ведут себя практически упруго вплоть до момента разрушения, которое происходит при достижении напряжением значения о„так называемого предела прочности нлн временного сопротивления. Поннтие о пределе тенучестн о, было введено з я5, РАсчет стеРжневых систем нА НРОчность 55 в $1.9 применительно к идеальному упругопластическому материалу, для реальных материалов можно говорить об условном пределе текучести. Предел прочности о, определяют также и для пластических материалов, однако значительное изменение формы образца в области больших деформаций, при которых происходит разрыв, делает эту величину еще более условной, чем предел текучести. При расчетах элементов ионструкций необходимо иметь некоторый занас, учитывающий неточность изготовления стержня, возможные перегрузки в условиях эксплуатации, несоответствие характеристик реального материала паспортным данныи, неточность выбранной расчетной схемы.
Поэтому допускаемое напряжение [о] выбирают, деля о, или о, на коэффициент запаса прочности и. Таким образом: ст (о] = — для пластических материалов, ят (2.5.1) с (о] = — для хрупких материалов. лэ Для единичного стержня, находящегося под действием растягпвающей или сжимающей нагрузки, условие прочности записывается так: ]и] < [о]. (2.5.2) В случае сжатия возможно разрушение от потери устойчивости. Этот вопрос будет детально рассмотрен далее, пока заметим, что расчет на устойчивость формально сводится обычно к расчету на сжатие при соответствующим образом пониженном допускаемом напряжении. Для статически определимой стержневой системы условие прочности будет выполнено, если условие (2.5.2) не нарушается ни для одного из элементов.
Действительно, если хотя бы для одного элемента при некотором значении силы Р условие (2.5.2) нарушается, достаточно увеличить эту силу в и раз, чтобы вся система в целом потекла или разрушилась. В статически определимой системе разрушение одного из стержней илп переход его в пластическое состояние превращает систему в механизм, получающий свободу деформироваться неограниченно. Последнее слово употреблено опять-таки в условном смысле. Возможность неограниченной деформации пластического материала относится к случаю идеальной пластичности, реальные материалы обладают упрочнением.
В другой стороны, даже система из вдеально-пластических стержней при увеличении деформации меняет форму, .в результате чего иногда (не всегда) увеличение деформации требует увеличения нагрузки. ГЛ. Е РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 56 Поскольку в статически определимой системе напряжения во всех стержнях представляют собою лияейные функции действующих сил, запас прочности по напряжениям, обеспечиваемый выполнением условия (2.5.2), будет в то же время запасом прочности по нагрузкам.
В статически неопределимых системах дело обстоит иначе, здесь разрушение нлп переход в состояние текучести одного из стержней системы еще ке означает разрушения системы в целом. Поясним сказанное примером. На рнс. 2.5.1 представлена система из трех стержней, совершенно подобная рассмотренной в примере г $2.4 и изображенной на рис. 2.4.3. На этот раз система собрана без предварительного напряжения, она загружена вертикальной силой в точке Л. Расчет, выполненный по правилам 2 2.4 в предположении упругости стержня, дает 1 + 2 созэа 1 + 2 соева Р, = С,Р(1+ 2 соэ' а).
(2.5.3) Во второй стадии усилие № остается постоянным №= С,Р и задача определения усилия № решается с помощью одного только уравнения статики № + 2№ соэ а = Р. Отсюда Р СГ Б 2 сова (2.5.4) При дальнейшем увеличении силы и в наклонных стержнях начинается текучесть. Это уже текучесть всей системы в целом. Сразу видно, что №)№ и прн увеличении силы Р в среднем стержне предел текучести будет достигнут раньше, чем в крайних наклонных стержнях. Однако это не Рпс. 2.5.1 означает исчерпания несущей способности системы в целом. Крайние стержни, оставаясь упругими, препятствуют неограниченной пластической деформации среднего стержня.
Таким образом, можно различить две стадии работы системы: упругую стадию, в которой усилия определяются написанными выше формуламп, н упругопластическую, которая наступает после перехода хотя бы одного стержня в пластическое состояние. Значение силы Р„прн котором происходит переход от первой стадии ко второй, определяется из условия, что при Р = Р, № = С„Р. Отсюда 5 еа РАс!ет стеРжневых систем нА НРОчность 57 Соответствующая сила определяет несущую способность системы и обозначается Р, — нагрузка, при которой наступает общая текучесть.
Полагая в (2.5А) )т', = О,Г и Р=Р„найдем Р, = О,Г(1 + 2 соз а). (2.5.5) Зависимость перемещения и точки А от силы Р изображается графиком, представленным на рпс. 2.5.2. Принимая один и тот же коэффициент запаса и, получим следующие величины допускаемой нагрузки. а. При расчете по допускаемым нанряжепням (2.5.3) О,Г Ра-. — '(1+ 2 соз'55). б. При расчете по допустимым нагрузкам (2,5.5) О,Р Р < — ' (1 + 2 сов а) . Второй способ расчета приводит к большим допустимым нагрузкам, нежели первьш (при 55 = 30' на 19575), Заметим, что для определения предельного состояния системы. т.
е. нагрузки Р„нет необ- Р ходимости прослеживать поведение системы в упругой области и последова- р, тельность перехода ее элементов в пластические состояния. В данном случае в предельном состоянии все три стержня текут, поэтому достаточно положить 55, = У, = У, = О,Р и составить уравнение равновесия, мы получим л формулу (2.5.5). Так получилось вследствие симметрии системы, вообще же, для возможности общего течения достаточно, чтобы напряжения достигли предела текучести в двух стержнях. В случае, изображенном на рис. 2.3.3, заранее не известно, какой стержень потечет первым, какой вторым и который из трех остается упругим.
Поэтому, казалось бы, для такой задачи необходимо повторить проделанный выше анализ, который, естественно, окажется более сложным вследствие асимметрии системы. Но в предельном состоянии могут быть только три возможности: 1) ~дг,! = (М,~ = С,Р, 2) !У,! = !55,( = О,Г, 3) ! Д.! =!)Р,! = О,Р. Для каждой из этих возможностей с помощью одного только уравнения статики находится величина Р„а также величина ГЛ.
3. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 58 третьего усилия, Х„У, и М» для первого, второго и третьего случаев соответственно. Оказывается, что только в одном из этих случаев напряжение в третьем стержне, который предполагается упругим, оказывается по абсолютной величине меныпе, чем о„при этом величина предельной нагрузки будет наименьшей из трех возможных. Это утверждение пока что мы можем только проиллюстрировать примерами, в дальнейшем оно будет строго доказано (з 5.9).
в 2.6. Остаточные напряжения после пластической деформации Рассмотрим теперь совершенно произвольную систему из и стержней, каждый стержень мы будем отмечать индексом 1. Число уравяений статики, которые остаются после исключения из ннх реакций в точках закрепления и, следовательно, содержат в качестве неизвестных только и усилий в стержнях, не может превышать и; если это число равно и, то система статически определима, если это число есть и — р, то р называется степенью статической неопределимостн.
Общая запись уравнений статики будет следующая: ~~ Ьпо, = В; (1 = 1, 2, ..., и — р). (2.6.1) Т»=ь Здесь о, — напряжение в стержне с номером у. Если выбросить из системы р «лишних» стержней, то из уравнений (2.6.1) найдутся напряжения в каждом из оставшихся, по формулам закона Рука через них выразятся деформации, и мы сможем вычислить перемещения узлов; деформации оставшихся и — р стержней будут совместными.
Но если лишние стержни не выброшены, то деформации их должны быть определенным образом согласованы с деформациями тех, с которымп они связаны. Поэтому должны быть выполнены уравнения совместности деформаций и ~~э ~апе; = 0 («' = 1, 2, ..., р), (2.6.2) з=» где ао — известные постоянные коэффициенты. Теперь остается заменить в уравнениях (2.6.2) деформации через напряжения по закону 1'ука с учетом возможных зазоров, натягов и тепловых деформаций (2.6.3) е, = о,/Е»+ ЦР Полученная система уравнений представляет собою обобщение тех уравнений, которые мы рассматривали на частных примерах з 2.4.
В (2.6.1) величины Вь стоящие в правых частях, З Хз. ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 59 представляют собою силы или линейные комбинации спл в зависимости от того, как составлялись отдельные уравнения системы. Величины тй в (2.6.3) — это температурные деформации тй = аз(1, — Г,) или натяги ц, = 6,/(1 (см. обозначения примера г $ 24). Уравнения (2.6.1) и (2.6.2) справедливы как в упругом, так и в упругопластическом состоянии системы, тогда как (2.6.3) верно лишь для упругих стержней. По мере перехода стержней в пластическое состояние некоторые из соотношеший (2.6.3) заменяются условиями пластич- ности ~~~', Ьпам = О, 1=1 з Х а„е,,=Ю. 1=1 Вычтем из уравнения (2.6.1) уравнение пенне (2.6.5). Получим (2.6.4) (2.6.5) (2.6.4) и из (2.6.2) урав- ~ Ьн(а; — ав) =Вн ~ ап(е; — е,з) =О. (2.6.6) 1=1 2=1 Обращаясь к диаграмме пластичности, изображенной на рис.
2.6.1, убеждаемся, что при разгрузке как из упругого, так и а,=а„(з=1, 2, ..., Ь(р). Когда число перешедших в пластическое состояние стержней становится большим р, наступает общая текучесть. е е Если некоторая система снл (Р), которой соответствуют величины В; в Рис. 2.63 уравнениях (2.6.1), приводит систему в упругопластическое состояние и после этого удаляется, т. е. происходит разгрузка, претерпевшие пластическую деформацию стержни уже не возвращаются в исходное состояние и не дают вернуться в исходное состояние тем стержням, которые оставались упругими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
