Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

е. кристаллов неправильной огранки, ориентированных случайно, самым различным образом. Выделяя малые элементы из поликристаллического металла, мы можем оказаться в зерне одной ориентации, зерне другой ориентации, на границе двух зерен, на стыке трех зерен (рис. 1.3.1). Очевидно, что свойства этих объемов будут различными, металл неоднороден на уровне размеров зерен. У технических спла- Ряс. 1.3.1 вов размер зерен составляет сотые доли миллиметра, он мал по сравнению с размерами изделий из этих сплавов.

11оэтому наличие микронеоднородности не влияет на поведение металла в изделии, и металл считают однородной сплошной средой. Многие сплавы состоят из кристаллических зерен, имеющих разный химический состав и разное строение, внутри зерен и на границах между ними могут возникать включения из материала иной природы. Тем не менее подобный сплав рассматривается как однородная сплошная среда.

Может возникнуть другой вопрос. Предположим, что нам известны свойства всех составляющих поликристаллической структуры и имеются данные об их распределении. Требуется определить свойства композиции. Эта задача принадлежит механике, поскольку конечная цель состоит в построении модели сплошного однородного тела со свойствами, эквивалентными свойствам неоднородного тела, имеющего заданное строение. Существуют неоднородные материалы с ббльшим масштабом неоднородности, например, бетон. Но и изделия из таких мате- гл. !.

Основные понятия 22 риалов обычно имеют размеры, по сравнению с которымл размеры структурных элементов пренебрежимо малы. Представление об однородности среды необходимо для механической теории, хотя некоторые ограничения в этом направлении могут быть сняты. Представим себе, например, пластинку из биметалла: медь сварена со сталью, па одной стороне свойства одни, на другой — другие.

Такого рода задачи, когда свойства меняются внезапно н остаются постояннымп в довольно больших объемах, принцгшиальпых трудностей не представляют. Свойства материала могут поняться по объему и непрерывным образом. Простейший пример представляет собою неравномерно нагретое тело. Свойства материала зависят от температуры, которая распределена по объему непрерывным образом (кли с конечным числом разрывов). Существенно неоднородны так называемые композитные материалы, например полимерная смола, перемешанная с рубленым стеклянным волокном.

Но в механике такого рода неоднородная среда заменяется эквивалентной однородной. 5 1.4. Кинематическое описание сплошной среды Понятие сплошной среды не так просто, как может показаться на первый взгляд п как это казалось подавляющему большинству ученых в Х1Х и первой половине ХХ столетий. Оказывается, что можно строить разные модели сплошной среды, наделяя их разными свойствами. Простейшая модель, которую мы будем называть классической моделью, вводится следующим образом. Примем за основное первичное понятие материальную точку.

В кинематике это понятие тождественно с понятием г<ометрической точки. Можно представить себе точку как сферу бесконечно малого радиуса. При стремлении радиуса к нулю единственной величиной, индивидуализирующей точку, остается радиус-вектор центра сферы плп три числа — координаты точки. Представляя себе некоторую замкнутую область пространства непрерывно заполненной точках<и, мы получим модель сплошной среды. Пусть х„— координаты некоторой точки в момент времени ?,.

При движении среды координаты данной точки меняются, в момент г они приш<мают значения х<(?). Движение среды полностью задано, если функции х<(!) для каждой индивидуальной точки известны. Их!ение так определяется кинематика классической модели сплошной среды. До недавнего времени эта модель была единственной, на основе ее строились все механические теории. Но можно представить себе и иные сплошные среды, наделенные некоторой внутренней структурой. Будем рассматривать, например, материальную точку как бесконечно малый эллипсоид.

Устремляя его размеры к нулю и сохраняя прн этом направления главных осей, мы получим среду, с каж- з !.4. КПНЕЫАТИЧЕСКОЕ ОНИСЛНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 23 дой точкой которой неизменно связан ортогональный триэдр. Для индивидуализации точки такого рода нужно видать не только ее координаты, но и направления осей триэдра, скажем— эйлеровы углы. Кинематика такой среды строится более сложным образом, опа определяется заданием не только перемещений точек, но также п поворотов связанных с ними триэдров. Если считать, что силы взаимодействия между атомами направлены по прямым, соединяющим их центры (гипотеза центральных сил), то в уравнениях равновесия атомной решетки будут фигурировать только координаты атомов, но не углы их собственных вращений.

Считая число атомов очень большим, а расстояния между ними очень малыми, мы можем получить отсюда закон упругости для сплошной среды, притом для среды, соответствующеп классической модели. Такие вычисления действительно пропзводилпсь, однако точные законы междуатомного взаимодепствня неизвестны и непосредственно установить их нельзя. Поэтому в основу анализа приходится полагать более или менее правдоподобные гипотезы.

Для целей механики происхождение закона упругости безразлично, его можно рассматривать как эмпирический закон, устанавлпваемьш на основе макроэксперимента, можно постулировать пли прпшгмать за определение некоторого воображаемого объекта, который в силу неизвестных н счастливых обстоятельств ведет себя почти так же, как многие материалы, встречающиеся в природе. Сведения о строении кристаллической решетки тем не менее оказываются полезнымп, они подсказывают соображения о симметрии упругих свойств и позволяют вследствие этого сократить число необходимых макрозкспериыентов, а также спланировать их наиболее рациональным образом. Взаимодействие молекул не всегда сводится к центральным силам, хотя бы потому, что положительные и отрицательные заряды размещены в молекуле определенным образом.

Поэтому кроме сил появляются еще моменты, стремящиеся повернуть молекулы. Адекватная модель сплошной среды, принимающая во внимание вращательные взаимодействия, должна строиться из ориентированных точек и для полного кинематического описания движения такой среды наряду с перемещениями необходимо задавать собственные вращения.

Теории сплошной среды такого типа называются воиентнььви теориями. Можно пойти еще дальше по пути усложнения модели и связать с каждой точкоп среды еще некоторый набор кинематических характеристик. изменения которых можно трактовать как обобщенные перевгещения.

Им соответствуют обобщенные силы— множители в выражении для работы. В последнее время появилось много работ в указанном направлении (так называемая микрополярная теории упругости, например). Теории такого типа еще не нашли больших практических приложений. 24 гл. ь Основные понятия з 1.5. Внешние силы Понятие о силе вводится в механике как первичное понятие. Предполагается, что сила полностью определена, если задан соответствующий вектор, при этом определение того, что такое вектор, относится целиком к области математики. Но здесь следует подчеркнуть, что понятие силы неразрывно связано с представлением о том объекте, на который сила действует.

В действительности так называемых сосредоточенных сил, т. е. сил, приложенных к точке, не существует. В теоретической механике изучается движение материальной точки под действием сил— векторов, но материальная точка это воображаемый объект, абстракция. Далее вводится понятие об абсолютно жестком теле. При контакте двух жестких тел контакт происходит, вообще говоря, в одной точке (если поверхности выпуклы, например). При контакте реальных твердых тел они деформируются в области контакта и образуется площадка контакта конечных размеров. На этой площадке давление распределено непрерывным образом.

Силу тяжести считают приложенной в центре тяжести тела, но в действительности эта сила распределена непрерывным образом по объему, ее приводят к центру тяжести на основании теорем статики об эквивалентности, теорем, которые справедливы только для абсолютно жестких тел. Возвращаясь к примеру контакта двух твердых тел, заметим, что у достаточно прочных материалов, применяемых в технике, размеры площадки контакта оказываются, как правило, малы по сравнению с размерами тела. Поэтому представление о сосредоточенной силе давления одного тела на другое не совсем бессмысленно.

Когда рассматривается состояние тела па достаточно большом расстоянии от площадки контакта, бывает достаточно пренебрегать ее размерами и считать давление сосредоточенньгм; в окрестности области контакта замена распределенного давления сосредоточенной силой приводит к серьезныи ошибкам. Приведенные рассуждения о непрерывно распределенном давлении на площадке контакта, о силе тяжести, непрерывно распределенной по объему, опять-таки относятся не к реальному телу, а к сплошной среде в том смысле, в каком было определено это понятие выше. Можно, конечно, сказать, что в действительности при контакте двух тел вступают в действие силы отталкивания между атомами.

Таким образом, вместо непрерывно распределенного давления мы получим опять-тани систему сосредоточенных сил, число которых неизмеримо велико. Но такое представление будет опять-таки лишь грубым приближением к действительности; рассматривая силы междуатомного взаимодействия как силы, действующие на материальные точки, мы отвле- з ьх Внешние силы каемся от реального строения атома и от квантово-механического характера межатомных взаимодействий. Отчасти по этой причине мы остановимся на представлении о материи как о сплошной среде и не будем делать дальнейших шагов. Чтобы избежать затруднений, связанньгх с неоднозначностью понятия силы, было бы более естественно принять за отправной пункт представление о работе и ввести обобщенные силы как множители при обобщенных перемещениях в выражении работы.

Характеристики

Список файлов книги