Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Выясним теперь, как будет вести себя рассмотренная система, если в свободном от нагрузки состоянии стержень це вертикален, а уже наклонен по отношению к вертикали на угол а,. Все выводы сохраняют силу, разница будет состоять лишь в том, что момент )11 пропорционален углу а — аь «.5. послекрптическое пОВедент!е упРуГих спстем 425 поэтому вместо (4.5.!) мы полу шы Р=Р в!па ' !(рпвые завнспиостн а от Р для разных значений а«показаны на том же рнсупке 4.5.2. Прн Р = Р, никаких пзмененпй характера этих крнвых отметнть нельзн, п расчет па устойчивость цри налнчпп начального отклопенпя вообще теряет смысл.
Прпиер 2. Точно такой же шарнпрно закреплешгый стерл5ень, как в прнмере 1, возвращается в исходное вертннальное положение сплой сопротизлспвя В, которая пронорцпональна горнзонтальному перемещенкю и конца стержня: В = си (рпс. 4.5.3). Так как и =1в!па, то уравнепне равновесна Р будет Р1 вша = срз!пасоза. Отсюда, кроме тривиального рошеппя юп а = О, паходкм Р.
'р Р = Р. соз а. (4.5.3) Теперь Р=Р (! — «)сова. (4.5.5) На тоы же рис. 4.5.4 схематнческп показана серия кривых, пзобран«ающнх зависимость (4.5.5) прн разных значениях а«. Функция от а, фнгурвруюз, щая в правой части (4.5.5), имеет максимум при з!па=У' з!паз! таким образом, максимальное значение сжпмающей силы нлн критическая сила, соответствугощая заданному начальному отклонению, найдется по формуле Ргр — — Р,(1 — 51п"' а,)"' (4.5.6) В этоы прнморе мы встретплвсь с попым эффектом, вызванным нелинейностью; прп некотором критическом значении склы искрпвленная форыа равновесия становятся неустойчнвой в тоы смысле, что при достпженнп этого крптпчсского значения перемещение сразу изменяется па конечную величину.
Следует разлпчать два рода аффектов, которые часто объединяют общим термвном «неустойчивость«. Мы сохранны этот термин примешыельно к рассмотренной выше проблеме устойчпвости прямолинейной форыы сжатого стерн«ня, когда сила превышает крвтическую. Возникновение конечных перемещений при достпжснпп силой критического значения пра- Р,= с1. (4.5.4) График завксиыостн а от Р в соответствия с (4.5.3) представлен па рпс. 4.5.4. Теперь прв Р = Р, вертикальное положение стержня неустойчиво, прп увелнчепнн Рис. 4.5.4 а для сохрапенпя равновесия в ка;кдый момент сила долл«на уменьшаться, а есле остаетсл постоянной, то происходит «хлопокю стержень мгновенно поворачивается на 180' и принимает положеппе, которое, очевидно, будет устойчивым.
1!редпосгожпы теперь, что в непагружснноы состояпнп стержень был наклонен под углом а«к вертикали п, следовательно, А = с1(юпа — юла«). Вместо соотношения (4.5.3) ыы получаем следующее выражение, связывающее силу и угол: 126 Гл. 4. устончипость стерн«и е1иах систем внльпее называть «выпучиваппем» или «хлопком»* ).
Явление выпучнвапня может бьжь связало не только с геометрической, по и с физической нелипейностью. Вернемся к примеру 1. Если ограничиться геометрически линейной постановкой, то при малых и »1п и к«с«к вместо (4.5.1) мы получим Р = Р, при любых достаточно малых с«, т. е. Тот же по существу результат, что в задаче Эйлера об устойчивости с»катого стержня. Предположим теперь, что зависимость между моментом н углом поворота нелинейпа,например: (4.5.7) Здогь ЛХ1, Х«Х» и н — постоянные, М, и,)Х» имеют размерность изю«бающего момента.
С другой стороны, момент в шарнире должен равняться действующему моменту силы Р, т, е. Х«Х = Р! Мп и ее Р!а. (4.5.8) Мы предполагаем, что углы достаточно малы; таким образом, задача рассматривается как геометрически линейная. Одновременный учет физической и геометрической нелипейностей существенно усложняет исследование, хотя позволяет обнаружить новые эффекты. Исключая М пз (4.5.7) и (4.5.8), мы получим связь между с«н Р. Однако основной вопрос, который мы хотим выясшпь, зто вопрос о существовании критической силы, т. е такой силы, по достижении которой угол продолжает расти без увеличения нагрузки. Условием достижения критической силы будет равенство нулю производной ЛРМж Проднфферепцируем по и (4.5.8) н положим в правой части г!РМ«« = О. Получим сИХ М Эх а — =- Р! = —, илч (с« = = х '' ЭМ=М. (4.5.9) Теперь нам остается найти производную Ыс«/ЛХ нз (4.5.7) и подставить в (1.5.9). Получим с«=М ~1-1-(о+1)(М ) ~.
(4.5ЛО) Исключив 11 из (1.5.7) и (4,5ЛО), найдем момент, соответствующий крвтическому состоянию 1 о 1 М = М"~~М"~' (:"! ар 1 1 Соответствующее значение угла (4.5ЛО), а критическая сила Мкр . М1 Р !а кр поворота а.р находится нз уравнения (4.5 Л1) Из формулы (4.5.11) следует, что прн иа = О Р» = Мпй Этот результат можно получить сразу из соображений, совер«нелло аналогичных тем, которые были положены в основу при решении задачи об устойчивости линойно- *) В англо-американской лнтературе, как правило, это различие соблюдается достаточно последовательно, в первом случае употребляется термин «!Вз«аЬ!!!«у», во втором — «Ьпс)г!!Вй».
Я 1.6. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГОЙ АРКИ 127 упругой балки. Действительно, поле~вин в (4.5.7) ив = О и будем считать угол отклонения весьма малым. Еслп и мало, то и момент по формуле (4.5.8) мал, следовательно, вторым членом в квадратных скобках (4.5.7) можно пренебречь по сравнению с единицей. Рбы получим Р1и и= И. 1 Вто равенство возможно только тогда, когда Р = ЛХ~/1. Будем называть критичссьую силу при аэ = О эйлеровой силой Р,. Если нелинейность а Рис. 4.5.5 Рис.
4.5.6 отсутствует, т. е. ЛХ1 = се, легко решить задачу и при оч Ф О. Действительно, мы получаем в этом случае Р(а Р Я вЂ” Я = = Я. с ЛХ Р Отсюда о — ~Х э (4.5.12) Зависимость между сг я Р, установленная формулой (4.5Л2), монотонна, при Р- Р1 п-~-сю независимо от значения пь График этой зависимости для разных иэ показав па рпс. 4.5.5. В нелинейном случае, согласно (4.5.11), критическая сила убывает с увеличением эксцептрпситета; графики зависимости между п и Р схематпчссвя ээебражевы па рис. 4.5.6.
6 4.6. Устойчивость пологой арки Явление хлопка, т. е. мгновенного перехода из одного состояния равновесия в,другое, типично для оболочек. Как правило, длина волны, образующейся при хлопке, невелика н поэтому можно рассматривать элемент оболочки, претерпевающнй хлопок, как пологий. Более простая задача, обнаруживающая те же качественные особенности, это задача об устойчивости пологой арки, например кругового очертания, как показано на рнс. 4.6.1. 11ологость понимается в данном случае в том смысле, что угол и (( 1. Если, как показано на рисунке,,арка загружена равномерным давлением, действующим с выпуклой стороны, то, как оказывается, при некотором значении давления д =д„, пронсхо- ГЛ.
4. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРН4НЕВЫХ СИСТЕМ 128 дит внезапное прощелвивание и арка принимает форму, показанную на рисунке штриховой линией, с выпуклостью вниз. Однако мы здесь рассмотрим еще более простую модельную задачу. Два стержня одинаковой длины 1 закреплены так, как показано ва рис. 4.6.2. В исходном состоянии каждый из ннх составляет угол а, с горизонталью. Приложим к среднему шарниру вертикальную силу Р, направленную вниз. Стержни укоротятся, угол наклона Рве. 4.63 Рис, 4.6.2 пх уиеныпится, станет равным а ( а,. Будем считать а, « 1, поэтому э!Ва = а, сова = 1 — а'/2.
Длина стержня в исходном состоянии равна 1/сова, 1(1+а,'/2), после приложения силы она равна 1/соз а = 1(1+ а'/2); таким образом, укороченпе Л1 = = 1(а'„— а')/2 н относительная деформацияе (а,' — а')!2.Из уравнений статики найдем усилие в каждом стержне /4с = Р/(2а).
По закону Грка 1У = ЕЕе, следовательно, — = — ЕЕ(аэ — аз), Р == ЕЕа (а~ — а~). (4.6.1) Таким образом, для нахождения величины а получилось кубическое уравнение. Вместо того чтобы отыскивать его корни, удобно исследовать зависимость Р от а. Очевидно, что Р = О при а = О и а = -+а,. С увеличением силы Р угол а уменьшается, но при а = О Р=О, следовательно, начиная с какого-то момента, угол продолжает уиеныпаться уже не при увеличении, а при у"иеньшенип силы.
Выясним, когда это происходит. Для этого вычислим производную с/Р/сна и приравняем ее нулю. Получим уравнение аэ — За' = О. Отсюда критическое значевие угла сссв = ~а,/13. Когда сс дост~игает критического значения +а,/УЗ, сила максимальна и равна (4.6.2) 3 )/3 Прп а = — а,/УЗ значение силы то же, но знак противополонсен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
