Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Практически реализация описанного метода связана с большим объемом вычислительной работы. При выполнении этих вычислений приходится задаваться кривой а = сЗ(е), т. е. решать задачу для некоторого совершенно определенного материала. Для каждой формы поперечного сечения рошение должно строиться заново. На рнс. 4Л2Л приведены графики зависимости критического напряжения от гибкости при разных значениях относительного эксцентриситета е/г, где г — радиус инерции сечения. Расчеты были выполнены Хвалла для стержня прямоугольного поперечного сечения на основании реальной диаграммы си<агля строительной мягкой стали с пределом пропорциональности 1900 кгс/см' и пределом текучести 2400 кгс/смз. При расчетах па устойчивость приходится иметь дело с разными материалами и разными формами поперечных сечений, поэтому обычно расчет ведется нс на основании теории, а с помощью эмпирических формул, каждая из которых справедлива для более нли менее однотипных стержней из однотипных материалов.
Так, согласно действующим в СССР нормам строительного проектирования, расчет яа устойчивость заменяется расчетом на прочность при сжатии с уменьшением соответственно допускаемого напряжения. Требуют, чтобы было о~ (и), ~р(2). ГЛ. 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СТКРЖЕГКВЫХ СГ!СТКМ 144 Коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения Т представляет собою функцию от гибкости Л. Эта функция задается таблицей, которую можно найти в соответствующей справочной литературе.
Так, для стали при Л = 10 гр = 0,99; при Л = 150 гг = 0,32. 11редполагается, что зксцептриситот илн начальное искривление псвслпкн, опп находятся в пределах производственного допуска. 11озтоиу влияние воззгоипгого зксцентриситета по существу учитывается выбором величины ю, которая уменьшается с увеличением гибкости.
9 4ЛЗ. Неустойчивость растяжения при большой деформации При изучении конечных упругих или пластических деформаций закон дефорвгя~ропания естественно задавать как соотношение между истинным напряжением и деформацией. Выбор меры деформации в данном случае безразличен, мы сохраним обычные определения. Если длина образца до деформации была 1,, а после деформации стала 1, то е =(1 — 1,)/1м следовательно, 1 = 1,(1+ е). Сила, поделенная на площадь начального поперечного сетгения образца, называется условным напряжением о, = Р/Рь тогда как истинное напряжение а = Р/Р относится к фактическая площади сечения, которая уменьшается по мере растяжения.
Изменение объема при конечной деформации для всех реальных материалов пренебрежимо мало, поэтому можно считать объем неизменным. Ие этого условия следует Р/=Р,(„или Р =Гз/(1+ е). Следовательно, истинное напряжение будет определяться через условное напряжение и деформацию следующим образом: и = а,(1+ е). (4.13.1) Пусть закон деформирования задан, т. е. задана зависнмость между истинным напряжением и деформацией (4.13.2) О = гр(е). Функция <р(е) для,реальных материалов всегда оказывается монотонно возрастающей, с увеличением деформации напряжение увеличивается.
Это условие означает, что материал сам по себе устойчив. Но в опыте на растнжение непосредственно измеряется сила или пропорциональная ей величина о,. Может случиться, что процесс растяженгля окажется неустойчмвым, это значит, что величина о, или Р, достипгув некоторого предельного значения, начнет уменьшаться при дальнейшем росте деформации. Выясним, когда это произойдет.
Внесем в (4.13.2) выражение (4ЛЗЛ) для о. Получим ю (е) О,= —, 1+е Дифференцируя это выражение по е, найдем условие, при з 4.!3. неустоичиеость РАстяжения 145 котором е!Се/де = О !р (е) = —. а 1 -!- е (4.13.3) е„= — —, з †Таким образом, показатель и в предполагаемом степенном законе упрочнения находится очень просто, для этого достаточно изме- рить деформацию, соответствующую максимуму на диаграмме растяжения.
Если закон деформирования задан графиком функции ф(е), то значение деформации, при котором происходит потеря устойчивости, можно найти графически. Для этого из точки, лежащей на оси е на расстоянии — 1 от начала координат (рис. 4.13.1), нужно провести касательную к диаграмме о — е.
Абсцисса точки касания определит критическую деформацию. На том же рисунке штрихами построен график зависимости условного напряжения от деформации; при е) е„условное напряжение, т. е. растяги- р ее вающая сила, уменьшается При задании законов деформирования, упругого и неупругого, часто прибегают к аппроксимации их степенными функциями. Предположим, что ф(е)= е!1", где и) 1.
Тогда с помощью (4 13.3) легко получаем ГЛАВА 5 ОБЩИЕ СВОЙСТВА УПРУГИХ И ПЛАСТИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ й 5Л. Упругие и пластические системы Из стержней, которые претерпевают растяжение или сжатие к изгиб, можно комбинировать разнообразные стержневые системы. Фермами называются системы прямолинейных стержней, соединенных шарнирно и нагруженных внешними силами в шарнирах. Элементы фермы, т. е. стержни, претерпевают растяжение либо сжатие.
Система стержней, соединенных между собою жестко, называется рамой. Элементы рамы, т. е. образующие ее стержни, находятся в состоянии изгиба и одновременного растяжения либо сжатия. Обычно продольные силы не настолько велики, чтобы было необходимо решать для элементов рамы задачу продольно-поперечного изгиба в том смьпсле, как это было разьяснено в $ 3.10. Действие продольных и поперечных нагрузок на элемент рамы учитывается по отдельности.
Как в теории растяжения — сжатия, так и в теории изгиба упругих стержней в главах 2 и 3 делалось предположение о возможности рассматривать все задачи в геометрически линейной постановке, а именно, составлять уравнения равновесия для недеформированного состояния системы и лпнеаризовать уравнения связи между деформациямн и перемещениями. Для упругих систем, подчиняющихся закону Гука, отсюда следует линейная зависимость между силами и перемещениями, для идеально унругопластических или жесткопластических систем на отдельных примерах оказывалось возможным достаточно просто определять предельную нагрузку. Как будет показано в этой главе, для геометрически линейных систем оказьзвается возможным развить некоторые общие методы и установить некоторые общие свойства, не зависящие от конкретного устройства той или иной стержневой системы.
В механике твердого тела, как и в механике вообще, удобно пользоваться понятием обобщенной силы и обобщенного перемещения. Действительно, говоря о силах, действующих на тело, для количественной их оценки часто пользуются некоторыми характеристиками, ке являющимися в действительности абсолютными величинами сил. Так, действие изгибающей пары пол- , зз. Уш ггпк и пллстичкскик систкмы 147 постыл характеризуется ее моментом; говоря, что балка несет равномерно распределенную нагрузку, мы полностью определяем внешние силы, денствующие на балку.
Вообще часто приходится иметь дело не с одной силой, а с группой их, причем эта группа рассматривается как нечто целое. Необходимость рассмотрения таких групп сич становится особенно очевидной, если обратиться к изучению статически неопределимых к систем. Так, рассекая изображенную на чертеже (рис. 5АА) статически неопределимую раму, мы должны приложить Рис. 51.2 Рвс.
5.1.1 к краям разреза две равные и противоположные продольные силы Ж, две поперечные силы ч, два момента М. Поэтому лишними неизвестными являются группы сил, определяемые числами Х, (1 и М, равными продольной и поперечной силам в сечении и изгибающему моменту. Иногда говорят, что за лишние неизвестные принимаются перерезывающая сила п изгибающий момент. Это неточно, так как ~1„и М„представляют собою скалярные величины, которые не являются силой и моментом. Сделав же сечение, мы должны для обеспечения неразрывности тела приложить к краям разреза настоящие силы н пары и М.
Будем называть число, определяющее группу сил, обобщенной силой. В этом смысле момент М, распределенная нагрузка о могут рассматриваться как обобщенные силы. Определим формально обобщенное перемещение как множитель при обобщенной силе в выражении работы. Для момента обобщенным перемещением служит угол поворота, так как работа момента есть М~р. Равномерно распределенная нагрузка, приложенная к балке, прогиб которой есть о(з), производит работу А =- ) до (з) Нз =- д ) о (з) сЬ = дю. Здесь обобщенное перемещение есть ю, т. е.
площадь, заключенная между первоначальной осью балки и изогнутой ее осью. В качестве последнего примера возьмем обобщенную силу, соответствующую двум равным н противоположным силам тт, приложенным к концам разрезанного элемента фермы (рпс. 5 1.2). 10* 148 ГЛ. 5. ОБЩИЕ СВОИСТВЛ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Если перемещение левого конца есть и„перемещение правого и,, то работа двух сил А = Ми, — Уи, = У(и, — и,). Обобщенное перемещение и, — и, представляет собою относительное расхождение краев разреза. з 5.2. Теоремы Лагранжа и Кастильяно Предположим, что к упругой системе приложено и обобщенных снл ф, которым соответствуют обобщенные перемещения до Из определения упругости следует, что перемещения являются однозначными функциями сил и обратно ч* = ч (<3.), Ф = ВИ.). (5.2А) Однако вид этих завмсимостей для упругого тела не может быть вполне произволен.
Дело в том, что из определения упругости следует, что задание снл или перемещений однозначно определяет состояние упругого тела, которое характеризуется заданием параметров д, или ф, а также заданием Вго внутренней энергии У. Для наглядного изображения состояния системы вводят так называемые пространство сил и пространство пе~ремещений. Пространство сил — это и-мерное пространство, в котором по осям ортогональной декартовой системы координат откладываются значения сил ф, задание совокупности сил определяет точку в этом пространстве.
Аналогичным образом определяется пространство перемещений. Формулы (5.2А) устанавливают взаимно однозначное соответствие точек пространства сил и пространства перемещений. Предположим теперь, что на тело действуют силы ф„соответствующие перемещения равны р„п а внутренняя энергия Е,. Будем менять силы произвольным образом, но так, чтобы в конце концов они приняли исходные значения чи. Изображающая точка в пространстве сил опишет при этом замкнутую кривую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
