Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Бели тето упруго, мы должны получить при этом прежнее значение перемещений и вернуться к прежнему значению внутренней энергии. В пространстве перемещений изображающая точка также опишет зазскнутую кривую. Согласно .первому началу термодинамики з процессе деформирования все время должно выполняться следующее соотношение: АА = дЕ + 5)ч. (5.2.2) Здесь 5(А — работа внешних спл, ((Š— приращение внутренней энергии, Пу — количество тепла, поступившего в систему. Но 5)А =федь Подставим эту величину в (5.2.2) и проинтегрируем по замкнутому пути деформирования.
Так мы возвратимся к 3 х". теогкмы лАГРАшкА и кАстильяпо 449 прежнему значению внутренней энергии, интеграл от ИЕ равен нулю, следовательно: (5.2.3) Правая часть представляет собою количество тепла, поступившего в систему за цикл. Для адиабатического процесса этот интеграл равен нулю. Он равен нулю также для нзотермпческого процесса, поскольку вследствие второго начала термодинамики д~ = Т дЯ при Т = сопэ$ ~ )д —. Т$аЕ=9, поскольку энтропия Я есть функция состояния и после деформирования по замкнутому пути мы должны прийти и прежнему значению энтропии.
Таким образом, в двух указанных случаях (5.2.4) Отсюда следует, что нодынтегральное выражение есть полный дифференциал некоторой функции, которую мы будем называть потенциалом сил Яда, = дУ(о,), или (5.2.5) Соотношение (5.2.5) составляет содержание теоремы Лагранжа. Для адиабатического процесса, когда 0~ = 0, из соотношения (5.2.2) сразу видно, что У = Е представляет собою внутреннюю энергию упругого тела. Для лзотермического процесса У является свободной энергией. В э 2.9 было указано, что для большинства упругих тел термические эффекты существенной роли не играют, поэтому делать разницу между внутренней энергией и свободной энергией нет нужды. Мы будем называть функцию У двояко, иногда упругой энергией, иногда потенцналом сил. Второй термин может быть п~редпочтителен в следующем отношении.
Представим себе, что тело состоит из упругопластических элементов п при нагружении его все зти элементы деформируются активно, тогда не будет происходить разгрузка. Связь между напряжениями и деформациями при активной пластической деформации совершенно неотличима от закона нелинейной уцругости до тех пор, пока не произ|ведена разпрузка. Очевидно, что и связь между внепшими силами и перемещениями будет такой же, как для нелинейно упругого тела, н формулы (5.2.5) будут справедливы, хотя функция У уже не будет внутренней либо свободной энергией.
Конечно, вывод этих формул, основанный иа рассмотрензш замкнутого цикла деформирования п законов термодинамики обратимых процессов, для пластического тела несправед- 150 гл. 5. ОБщие своиствл стегя1невых систем лнв. Их иногда получают из соображений термодинамики необратимых процессов; мы предпочтем ограничиться замечанием о том, что термодинамика необратимых процессов как раз н основывается на том факте, что для определенных процессов нельзя сказать, обратимы они или нет, пока эти процессы идут в одном направлении.
Обращение формул (5.2.5) достигается с помощью преооразования Лежандра (см. $2.8). Положим Ф(Ч1) = бд — (7 (5.2.6) Следует считать, что в правей части д; являются функцию~и от ф з соответстврги с (5.2.1). Повторяя вывод з 2.8, отсюда находим (5.2.7) Функцию ФЩ,) мы будем пазы|вать потенциалом перемещений, формула (5.2.7) составляет содержание теоремы Кастилья- но. Потенциал Ф называют тажже дополнительной работой, как и в случае простого однооснего растяжения.
Вспоминая определение основных термодинамичесенх потенциалов, мы убеждаемся, что для адиабатического процесса Ф представляет собою энталыгию, для изотермического — свободную энталвпию. Заметим, что наряду с введенными упругими потенциалами можно строить и другие. Эквивалентность соотношений (5.2.5) и (5.2.7) определяется тем, что за параметры, определяющие состояние упругой системы, можно принять либо перемещения, либо силы. Но можно выбрать в качестве основной смешанную систему определяющих параметров, например и перемещений: д„д„..., д и п — т сил: ~„1„..., 1',~„. Систему уравнении (5.2.1) всегда можно представить в таком виде: Р.
= Д.(дь Ч ), Др = Др(ЧБ Д.), 1<1<и, и+1 <г<п, 1<а<и, и+1<р<п. Построиад теперь следующую функцию: Г(до ~,)=~,д — У (и+1 <р<п). (5.2.8) Предполагается, что правая часть представлена как функция от д; и 1,1,. Теперь д дд, дтд дГГ ддр дд,. " дд дд дд, ддр Вследствие (5.2.5), дПдд, = ®, дУ/ддр = К„ следовательно: 01 — — —,, (5.2.9) а 5.3. линейные упгугие системы 151 Продифференцируем функцию Г по»/,: а»»Р ЗГ» атг — =д,+я —" — — —." др„г Р д~»„дд д»/г Вследствие (5.2.5) два последних члена взанино уничтожаются и мы получим дг" Дг г З(»' (5.2.10) Следует заметить, что смешанные потенциалы вида (5.2.8) стали применяться в механике твердого тела лишь в последнее время, тогда как формулы Лагранжа и Кастильяно были известны еще в прошлом столетии.
в 5.3. Линейные упругие системы (5.3.1) (5.3.2) »/, = с,дь д =КВ. Величины 3»» — з»оэффициенты влияния м со — коэффициенты жесткости связаны очевиднъьмп соотношениями с,» = (р»»~/~3~, ()е = !ССИС!. Здесь (р», !с! — отьределители матриц р»» и с,„ (р»»1, !с„! — алгебраические дополнения элементов ре и со соответствующих матриц. По теореме Лагранжа»,г» = дб»/д»/», »/» = = д(//ддь отсюда следует зО» дц. дд дд» ' подставляя (5.3.1), находим со —— ся п, аналогично, Таким образом, из факта существования потенциалов сил и перемещений следует симметрия матриц коэффициентов влияния н коэффициентов жесткости, Теоремы Лагранжа и Кастильяно были изложены выше для вроиэвольпых упругих систем, не обязательно геометрически или физически линейных. Однако наиболее просто применение их к лннейныат системам.
Для линейных систем как потенциал сил, так и потенциал перемещений представляют собою квадратичные формы, н соотношения между силами и перемещениями устанавливаются при помощи линейных соотношений вида 152 Гл. х овщ!зе свойства ствгжнквых снсткм Выражения для потенциалов сил н перемещений записываются очевидным образом 1 — 2 спуд,, Ф=2р,фф,. С другой стороны, по теореме Эйлера об однородных функциях зУ 1 ~~ =- — — ч. = — 0ч* 2 дд,. ' 2 и, аналогично, 1 дФ 1 2 дй ~з 2 Е~з Отсюда следует, что так же как и при простом растяжении (т 2.8) потенциал перемещений равен потенциалу сил и представляет собою упругую энергию, накопленную системой. Одновременно мы получим результат, составляющий содержание теоремы Клапейрона, а именно: Потенциальная энергия упругой деформации линейной системы равна половине работы внешних сил на произведенных ими перемещениях (5.3.3) Из симметрии матриц се или ~в вытекает еще одна теорема, а именно теорема о взаимности работ Бетти.
Предположим, что к сторхсневой системе приложена система сил ф, которым соответствуют перемещения Чо Если к той же стержневой системе приложена другая система снл 9;, вызывающая перемещения Ч;, то работа сил первой системы на перемещениях, вызванных действием сил второй системы, равна работе сил второй системы на перел1ещениях, вызванных действием сил первой системы, (5.3.4) Для доказательства т~реобразуем выражение, стоящее в левой части, с помощью (5.3Л) н условия св = ся Р гс;~; = сну'Ч' =- с 1У Чз = ®Чь Последнее равенство н доказывает теорему. Для стержневых систем как функция 7У(д;), там и Фф,) вычисляются по формулам 1 2.8 н 3.3, при этом производится суммирование по всем стержням, составляющим систему. Теорема Кастильяно чреэвтачайно удобна для нахождения перемещений в статически определимых системах. Действительно, из уравнений статики мы можем выразить усилие н изгибаю- 1 5.3. линеЙные ъ гггугие системы 153 щнй момент в каждом стержне линейным образом через внешние сгилы.
Поэтому усилие в любом стержне есть г'т = — (),. дгу д(гг Но д)т/д(), можно рассматривать как усилие в стержне, вызванное силой ~!, =1. Положим д)т/дскб, =)!(, (в любом стержне). Запишем выражение для потенциала перемещений в случае, когда каждый стержень изгибается в одной плоскости, следующжи образом: Здесь индексы суммирования опущены, интегрирование выполняется по всем стержнжи, для каждого из которые ось в совпадает с осью стержня. Теперь перемещение, соответствующее силе Х)., найдется следующим образом: чу, р м.м„ (5.3.5) Формула (5.3.5) была получена Мором.
Как в!!дно, это не что нное,как прямое следствие теоремы Кастильяно. Для примера решим задачу оо определенвн перемещения точки А врвволппсйного стержня, изображенного па рнс. 5.3.1. Рпс. 5.3.1 Влняггггеаг продольной силы РХ на перемещение можно пренебречь. Пзгпбающпй момегж от силы Р есть АХг —— РЛ 3!и гр. Обозначнм номером 1 вертнвальвое направление, номером 2 — горизонтальное. Приложггы едпнвчпую силу в ваправленпп 1 и в паправленнп 2. Саогветствующне моменты: .!Х, ~ = Х) зги гр, АХ г = — Х)(! — сов гр).
Для перемещений по формуле (5.3.5) получпм ч = — ~ аш чг г(гр = —... ч =- — ) з!игр(! — соз р) г)гр = Рггз ! . а идар РХ(" !; 2нзр КХ. 3 2НХ„' ° НХа3 о с ГЛ. 5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ С!1СТЕМ 154 При решении атой задачи мы пользовались зависимостью между изменением кривизны и изгибающим моментом, следующей из теории прямого стержня, считал раамеры сечения малыми по сравнению с радиусом Л. Этот пример очень отчетливо выявляет преимущества общих теорем. Желая подсчитать тот же прогиб без этих теорем, мы должны были бы составлять дифференциальное уравнение изогнутой оси криволинейного стержня, что требует геометрического рассмотрения.
Формула (5.3.5) дает результат совершенно автоматически. Для систем, состоящих и~з прямолинейных элементов, функции Лт„„)т'„представляющие собою изгибающий зиомент ог сосредоточенной силы и продольную силу, являются на каждом участке линейными функцияии. Для вычисления интеграла (5.3.5) можно применить графоаналитический прием, состоящий в следующем.
Пусть нам нужно вычислить интеграл ) гр(з) гр(з) пг . а ) гр (з) зР (з) дз = ) 1р (з) аз г(з. Е1о гр (з) з пгз = ггза ьзо = зг1'о. Здесь ьз — площадь, ограниченная кривой гр(з) на участке з ек 1а, о1, ф, — ордипата эпюры функции тр, соответствующая центру тяжести площади Й, поэтому ) 1Р (з) тР(з) пгз = атРю (5.3.6) Установленное простое правило бывает очень полезно прп вычисленпп шпегралов в формуле (5.3.5). Поясним сказанное примером.
Пусть для пзоораженной на рис. 5.3.2 рамы требуется определить вертикальное перемещение точки А. Построим зпюру моментов от действующих сил и от еднпичной силы, приложенной в точке А вертикально вниз. Принимая во внимание только изгиб, заметим, что на первом участке, считая от точки приложения силы, интеграл обращается в нуль. Будем брать площади с верхней зпюры п ординаты под центром тяжести с нижней. Получим т = 1 3ра 2а 1 2а+ 3ра а 2а+ 2Ра а 2а1 11Ра Такое графоаналптическое вычисление интеграла в формуле Мора часто называют перемножением зпюр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
