Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 28
Текст из файла (страница 28)
График зависимости между Р и а теперь легко нарисовать, он изображен ва рис. 4.6.3. При увеличения,силы Р угол а уменьшается, из графика можно найти значение а по заданной силе. Когда сила становится 4эавной критической, т. е. достигается точ- з ьз. Рстоичнвость полОГОЙ хгнп 129 ка В. равновесие перестает быть устойчивым, происходит хлопок. Стержни мгновенно переходят в положение, соответствующее точке С, когда угол а отрицателен, конфигурация оистемы становится симметричной изображенной на рпс. 4.6.2. Теперь сила Р уже не сжимает стержни, а растягивает их.
Если снять д нагрузку, они несколько сократятся и равновесие разгруженной системы будет соответствовать точке В на ;шаграмме, т. е. углу наклона — сг„. Чтобы вернуть систему в исходное состояние, нужно приложить силу противоположного направления, т. е. отрицательную. Когда значение ее достигнет Рпс. 4.6.3 критического (точка Е), произойдет обратньш хлопок, мы попадем в точку Г диаграммы, а если снять нагрузку, то в исходную точку А. Как видно, отрезок ВОВ при~вой Р— а не соответствует каким-либо реально осуществляемым состояниям овстемы.
Приведенные рассуждения основываются на так называемой квазпстатпческой постановке, допускающей мгновенные перемещения точек системы на конечные расстояния. В действительности всякая материальная система обладает массон; поэтому после достижения силой Р критического значения нужно составлять п лнтегрира|вать дифференциальные уравнения движения. Фактически состояние, отвечающее точке В, например, реализуется по истечении достаточного времени, когда упругие колебания вследствие тех пли иных парички затухнут.
Заыетпхг, что в расгмотренном примере управлять движением системы можно не 1тутем изменения силы, а изменением длин стержней. Формула (4.6.2) позволяет не только определить критическую силу, соответствующую данному а„но и наоборот, найти значение сг„при котором данная сила Р принимает кратическое значение. Пусть на систему действует постоянная сила Р, например натяжение пружины с малой жесткостью, такой, что изменением силы прп перемещении шарнира можно пренебречь.
Будем охлаждать стержни, считая, что концевые шарниры неподвижны. Температурное сокращение стержней зквпвалептпо уменьшению угла Йь при некоторой температуре угол достигает критического значения и происходит хлопок. Этот принцип используется в некоторых регуляторах температуры, в прпкуривателе автомобиля и др.;,конструктмвпые формы такого рода устройств, которые производят хлопок при достижении температуроп определенного значения, достаточно разнообразны. " ~О. П. Рзватвоз 120 гл 4 устончпвость стеэжнвеых систгы й 4.7.
Критические силы при иных видах закрепления стержня Сравнение точных решений с приближенным убедило нас в том, что вопрос о критических силах в линейной постановке решается правильно. Прп этом реальный смысл, коне шо, имеет только первая критическая сила. Итак, для стержня с шарнирно закрепленными концамн критическая сила определяется формулой (4.2.5). При потере устойчивости на длине стержня укладывается одна полуволна синусоиды, В действительности встречаются и Р иные способы закрепления концов.
Так, если стержень жестко защемт лен на одном конце, а другой конец оставлен свободным, то задачу можно привести к предыдущей, как показано на рис. 4.7.1. Подстав! ляя в формулу (4.2.5) 21 вместо 1, получим я~Е7 (20 (4.7.1) / )! На длине стержня укладывается половина полуволны синусоиды. Этими двумя примерами исчер( пываются статически определенные задачи об определении критических Рис. 4.7.! сит. В качестве примера задачи статически неопределенной рассмотрим следующую. Один конец стержня жестко заделан, другой закреплен шарнирно.
При искривлении стержня в шарнире возникает реакция Л, поэтому дифференциальное уравнение изгиба принимает вид Е1„и" = — Ри — Лг (рис. 4.7.2). Это неоднородное уравнение продольно-поперечного изгиба, полученное нами в з 3.10. Перепишем его так: э" + )ссн = — С,г. Интеграл этого уравнения э(г) = С з(п йг+ С, сов)сг — —,г. Сс (4.7.2) з Прогиб и линейно зависит от трех постоянных: С„С, и С,, В то же время прогиб удовлетворяет трем граничнььм условиям .(О)= (1)= (1)=0.
Граничные условия однородны, т. е. не содержат свободного чле- Рвс. 4.7.2 я !.7. НРнтпческнв силы НРН иных злкРеплениях 434 на. Поэтому, подставляя (4.7.2) в граничные условия, мы получим систему однородных уравнений для трех постоянных С„С, п С,. А эта система имеет нетривиальное решение тогда, когда определитель ее равен нулю. Это и есть услов(ш для нахождения критической силы. Поставим эти уравнения с„( О + С, = О, С, жп 1(1 + С, соз И вЂ” — =- О, 4Л с„ С,созИ вЂ” С з!НИ вЂ” — ", =- О. )( ! Исключая постоянные, получим 4а И вЂ” И = О. Наименьший корень этого уравнения Ива 4,49.
Критическая спла (4,49]~Е1» э = 2 Случай стержня, жестко заделанного на двух концах, реп(ается совершенно так же, нужно только ввести в рассмотрение, кроме реакции, еще концевоп момент. Тот же результат можно получить гораздо проще, если заметить Рнс. 4.7.3 (рис. 4.7.3), что упругая линия такого стержня может быль составлена пз четырех половпноь полуволпы синусоиды. Поэтому л~Е1 Р.= ((12)~ (4.7.4) Объединяя все этп фор~мулы, примем и'Е1„ Р,= (рй' (4.7.5) Здесь р — коэфф!щиепт приведения длины. 9» Приводя ее к тому же виду, что формулы (4.2.5) и (4.7Н), найдем ) э= (4.7.3) (0,7О 132 гл, л. устОйчиВОсть стГРжнквьлх систкм $ 4.8.
Устойчивость стержни н упругой среде Рассмотрим зада ту об устойчивости ся»этого стержня, окруженного упругой достаточно податливой средой. С подобной задачей встречаются, например, при расчете обсадных труб нефтяных скважин: длинная труба, сжлккае»лая собственным весом, окружена грунтом и при выпучивании трубы со стороны грунта возкмкает распределенная реакция.
Однако основной интерес этой задачи для нас состоит в другом, дифференциальное уравнение подобного типа встречается, например, в задачах устойчллвостм оболочек, н качественный характер явления потери устойчивости в известном смысле одинаков. Будем пои~имать термин «упругая среда» в том же Омьгсле, в каком понимался термин «упругое основание» в $3.11, т.
е. допустим, что реакция упругой среды связана с прогибом линекной зависимостью. Обратимся теперь к дифференциальному уравнению продольно-поперечного изгиба (3.10.1) . Продпфференцируем два раза по г обе части этого уравнения. Получим р — М,. улг ь Е1х Е1х (4.8.1) Но вторая производная изгибающего момента, вызванного поперечнолй нагрузкой, равна интенсивности напрузки с противоположным знаком; эта нагрузка представляет собою реакцию упругой среды, следовательно, М„= — дх =- яу. Подставляя последнее выражение в уравнение (4.8.1),получим улч+ — у" + — у = О, р ь Е1х Е1х Положим Р1(Е1„) = й', й1(Е1„) = 4а' и перепишем это улравнение следующтпл образом: улт+ к»ух + 4а'у = О. (4.8.2)' Мы не будем рассматрмвать прпложение этого уравнения к задачам об устойчивости балок конечной длины с различными граничными условиями.
Система частных решений находится стандартным методом, можно построить систему решений с единичной матрицей, как зто описано в $ 3.9. Вычисления при этом оказываются довольно громоздкими, поскольку нужно находить корни биквадратного у1лавнения, отделяя в и|их действительные и мнимые части. Простейший пример — это устойчивость стержня бесконечной длины. Очевидно, что постановка такой задачи при отсутствии окружающей упругой среды лишена смысла, при увеличении длины стержня критическая сила стремится к нулю независимо от способа закрепления его концов. В упругой среде 2 4.8.
устОЙчивость стеРжня В упРуГОЙ сРеде 433 положение оказывается иным. Вид уравнения (4.8.2) подсказывает характер решения, а именно и=згпЛз. Подставляя это выражение в (4.8.2), находим л' — й'л'+ 482' = О, отсюда 2 22 Л2 Л' (4.8.3) Величина к2 пропорциональна критической силе; задавая разные Л, т.
е. смнусоидальные возмущения с разной длиной волны, мы можем получить любую критическую оилу. Однако существует такое значение Л, прн котором критическая сила минимальна, а именно Л,',р —— 2а2. При этом значении Л й2 = 4822 и, следовательно, Р„, = 4О.'Е1 = 2УЕ1 Ь. (4.8.4) длина полуволны синусоиды, представляющей собою форму потери устойчивости при минимальной критической силе, определяемой формулой (4.8.4), равна (4.8.5) Рвс. 483 Наиденное решение, очевидно, применимо не только к стержню бесконечной длины, но и к шарнирно закрепленному на концах стержню, если длина его равна критической длине, даваемой формулой (4.8.5), или кратна ей. Действительно, если Р = =згпЛ2, ТОР=у =0 прн 2 кратных 1„2. Предположим теперь, что длина стержня не кратна ),2.
Принимая регпения в виде Р = 82п Лг, р где Л =япЛ, мы удовлетворим и уравнению, и граничным условиям, следовательно, по формуле (4.8.3) найдем ъритическую силу в зависимости от целого числа и, т. е. числа полуволн, образующихся на длине 1. Будем обозначать критическую силу для бесконечного стержня, даваемую формулой (4.8.4), символом Р„. Обозначим также через ь отношение длины стержня ) к критической длине бесконечного стержня '2„2: ~ =(П„Р. Тогда отношение критической силы стерж- Гл. 4. устой*1ивость стегжневьтх систем ня коночной длины к критической силе бесконечного стержня после очевидных преобразований формулы (4.8.3) выразится следующим образом: (4.8.6) Теперь нужно выбрать такое целое в, при котором формула (4.8.6) дает минимальные значения Р/Р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
