Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Очевидно, это будет целое число, ближайшее к величине 1/ь сверху илн снизу. Па рис. 4.81 изображен график зависимости отношения Р/Р от ь, он состоит из кусков кривых, построенных по уравнению (4.8.6) при разных и. Следует заметить, что при ь ) 1 зависимость критической силы от длины становится довольно слабой. Легко убедиться, что в интервале и < ь с т+ 1 максималь- Р 1 т +(га+1) ные значения — =— Р 2 т(ю+1) достигаются тогда, когда формула (4.8.6) дает одинаковый результат при п = ш и п = т+ 1. Соответствующее аначение ь равно Ут(т+1).
в 4.9. Потеря устойчивости за пределом .упругости — схема Кармана Формула Эйлера длл критической силы (4.7.5), очевидно, применима только тогда, когда материал следует закону Гука. Однако может случиться, что сила, определенная по формуле Эйлера, вызывает в материале сжимающие напряжения, превышающие предел пропорциональности* ).
Этны, в частности, объясняется плохое совпадение с опытом, обнаруженное в ранних экспериментах по проверке эйлеровой теории устойчивости. Чтобы судить о пределах применимости формулы Эйлера, придаднм ей несколько иной вид. Для этого разделим обе части формулы (4.7.5) на площадь поперечного сечения стержня Р.
Слева мы получим крмтическое напряжение о,. Величина г= Й/Г, имеющая размерность длины, называется радиусом инерции сечения. Введем безразмерную величину )., называемую гибкостью стержня: Л=— )4( Г Формула Эйлера перепишется следующим образом: (4.9.1) ') мы не будем делать разницы между пределом упругости и пределом пропорциональности, оба зти термина употребляются здесь в одном п том яте смысле (см.
1 1.8), м 4.9. ТзотеРя устОЙчиВОсти по схемн ИАРИАИА 49б Для длинных и тонких стержней Л велико, следовательно, критическое напряжение мало. Предельным для применения формулы случаем будет тот, когда О, равно пределу пропорциональности О.. Формула (4.9Л) справедлива тогда, когда Х ) куЕ/а,. Так, например, для малоутлеродистой стали при О, = 2000кгс/см' предельное значение Х равно приблизительно 100. У более коротких стержней потеря устойчлвости происходит при напряжениях, превосходящих шредел пропорциональности, т.
е. в пластической области. Состояние пластического тела, в отлпчне от состояния упругого тела, зависит не только от мгновенных значений нагрузок, но н от порядка их приложения. Поэтому, если для упругого стержня возможна лишь единственная постановка вопроса устойчивости и сила Эйлера является единственной критической силой, то в пластической области возможны различные определения неустойчивости и, следовательно, различные критические силы. Первые решения задачи об устойчивости сжатого стержня за пределом пропорциональности (Энгессер, Ясинский, Карман) относятся к следующей постановке. Стержень напружается центральной сжимающей силок, прикииваются меры для того, чтобы пе произошло выпучивания и процессе нагруженпя.
Когда сила достигает значения Р, она удерживается постоянной и стержню сообщается малый прогиб. Равновесие стержня под действием силы Р устойчиво, если этот прогиб исчезает после устранения вызвавшей его причины, .и неустойчиво, если прогиб увеличивается до тех пор, пока не установится новая форма равновесия. стержня с искривленной осью.
Приближенное исследование, основанное на лннеаризованном уравнении изгиба, по существу не позволяет решать вопрос об устойчивости пли неустойчивости какой-либо формы равновесия, это исследование дает возможность найти такое значение наврузки, при котором равновесие является безразличным. Именно этой задачей было фактически заменено исследование устойчивости упругого стержня в з 4.2. Итак, предположим, что сжимающее напряжение в стержне есть О. Будем считать, вопреки обьпгновению, сжимающие напряжении положительными.
Предположим теперь, что стержень изогнулся. Рассматривая потерю устойчивости по отношению к малым возмущениям, введем в рассмотрение изменение напряжения ба. Так как сжимающая сила при потере устойчивости остается неизменной по предположению, то в Одной части сечения будет бо)0, в другой ба<0. Там, Т1де бо>0, мы двигаемся вверх по диавраыме сжатия (ркс.
4.9Л). Если бо достаточно мало, элемент дуги можно заменить элементом касательной и принять бо = Е,бе. (4.9.2) Здесь Е, = до!де — касательный модуль. гл. 4, устоичивость сткгжнввых систкм В области, где бо ( О, происходит разгрузка и зависимость между приращением напряжения и приращением ~деформации изображаетсл прямой, па|раллельной начальному, упругому участку диаграммы (~рис. 4.9Л). Поэтому здесь бо = Ебе.
(4.9.3) Будем предполагать сечение симметричным (рис. 4.9.2) относительно плоскости наименыпей жесткости. Считаем, что при Рис. 4.9.2 Ркс. 4.93 потере устойчивости справедлив закон плоских сечений; поэтому бе = хд, где д — расстояние точки, принадлежащей сечению, от нейтральной оси пп, положение которой заранее неизвестно. Так как сжимающая сила при потере устойчивости по предположению остается постоянной, то (4.9.4) Ось пп делит сечение на две части, в одной из этих частей справедливо соотношение (4.9.2), в другой — соотношение (4.9.3) между бо и бе.
Разобьем интеграл в условии (4.9.4) соответственно этому на два интеграла, заме~ням в пих бо через бе и воспользуемся законом плоских сечений. Получим Е, ) хт) ИЕ + Е ) хЧ И' = О, или ЕЯ, + ЕЕ,= О. (4.9.5) Здесь Я, и Я, — статические моменты площадей Е, и Е, относительно оси пп (оба считаются положительными).
9 4.2. пОтеРя устОйчиВОсти по схиме клРмлнл 137 Вычислим теперь момент относительно оси пп, создаваемый дополнительнысяи напряжениями ба: 6М = ) бау с(Е = х (Е,1, + Е1,). (4.9.6» Здесь 1, и 1, — моменты инерции площадей г2 и Ез относительно оси пп. Формула (4.9.6) выражает вависимость между изгибающим моментом и кривизной. В упругой области эта зависимость дается следующим соотношением: (4.9.7) Здесь Š— модуль упругости, 1„— момент инерции относительна центральной Оси х. Перепишем формулу (4.9.6) таким образом, чтобы она выглядела аналогично вышеприведенной, а именно: 61я = К1„х. (4.9.8) Величина К называется приведенным модулем нли модулем Кармана, при этом Е1 +вг 1 (4.9.9» (4.9ЛО» Величина Е, зависит от положения точки тия, следовательно, от напряжения а„. Таким ный модуль К является также функцией а„; эта величина находится в результате решения уравнения (4.9ЛО) .
на диаграмме сжал образом, приведен- у( ) л Вычислим приведенный модуль для прямоугольного сечения с высотой й и шириной Ь (й(Ь). Пусть высота золы (~ 11 догрузки будет $й, высота зоны разгрузки (1 — 3) й (рис. 4.9.3). Тогда Рис. 4сй3 Как видно, приведенный модуль зависит не только от материала, но и от формы поперечноге сечения. Теперь можно рассматривать потерю устойчивости сжатого стержня совершенно так же, как потерю устойчивости в упругой области Я 4.2). В дифференциальном уравнении ягзгиба (4.2Л) в соответствии с (4.9.8) нужно будет заменить модуль упругости Е модулем Кармана Е.
В результате для нритнческого нацряжения вместе формулы (4.9Л) получается следующая: 2К ак о2 Гл. 4. устОЙчиВОсть стегжневых систем 138 Подставляя зги выражения в уравнение (4.9.5), лолучнм $ЗЕ~ — (1 — $)ЗЕ = О. Отсюда следует 1 $= Момент инерции всего сечения относительно оси з равен Ыггг!2, моменты инерции частей сечения относительно оси вл г Ььзаз ьИ вЂ” цзьз з 5 По формуле (4.9.9) модуль Кармана з,Ег з К=4~(1 — ь) + — $1 Е Подставив сюда значение 5, найдем (4.9.11) $ 4ЛО. Потеря устойчивости за пределом упругости— схема продолжающегося нагружения е;ггг, йг еййй И сследование устойчивости сжатого стержни приводит к установлению некоторой зависимости меясду критическим напряжением и гибкостью.
Пока напряжение меньше предела упругости, зта вавпсимость дается формулой (4.9Л), за пределом упругости — формулой (4.9.10), если считать справедливой ту постановку задачи, для которой она была г ййггр получена. г Будем откладывать критиче- йгггггггрОулг скос напряжение по оси ординат, гибкость — по оси абсцисс. Для Уййй напряжений, меньших чем предел упругости, формула (4.9Л)' дает кривую гиперболического типа (рис.
4Л0.1). Для напряжел ннй, больших чем предел упругости, кривая построена по формуле (4.9.10) . Для построения нужно иметь точную диаграмму сжатия материала; пользуясь этой кривой, можно для данного сечения определить приведенный модуль как функцию сжимаю- з РПО. схемА пРОдолжА1Ощегося ПАГРюкения 1З9 щего напряжения.
При построении кривой удобно вычислять гибкость Л, задаваясь различными значениями сжимающего напряжения. В первой, работе Энгессера (1889 г.) формула для критического напряжения отличалась от формулы (4.9.10) тем, что в ней вместо приведенного модуля К фигурировал касательньш модуль Е,. На возможность образований зон разгрузки при потере устойчивости обратил внимание Ф. С.
Ясинский, после чего Энгессер переработал свою теорию н ввел приведенный модуль К. Относительно недавно, в 1947 г., старое решение Энгеосеуа, отброшенное самим автором, получило новое освещение в работе Шенли. Представим себе, что стержень нагружается непрерывно возрастающей силой; когда сила достигает некоторого значения Р„ стержень начинает искривляться, но одновременно с искривлением происходит дальнейшее сжатие, так как сила продолжает увеличиваться. В результате разгрузки не происходит, напряжения растут во всех точках сечения, быстрее с вогнутой стороны и медленнее с выпуклой. Зависимость между приращениями напряжения и деформации определяется поэтому касательным модулем ЕО В результате критическое напряжение находится иэ следующего уравнения: (4.10Л) На самом деле, как будет показано ниже, разгрузка происходит, по не сразу, как в схеме Кармана, а постепенно; пока прогибы малы, зона разгрузки мала, она растет с ростом прогиба.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
