Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Если Р(ОО ч», ..., ч )(О, никакого течения нет, д =О. К системе, состоящей из упругопластических элементов, нельзя приложить такие нагрузки, что г'((»,))0; если такие нагрузки в действительности приложены, необходимо решать задачу уже не статики, а динамики, т. е. Вводить в рассмотрение силы инерции. В пространстве сил каждая комбинация внешних нагрузок изображается точкой с координатами ч;; если точка находится внутри поверхности текучести, система остается жесткой, если точка находится на поверхности, происходит текучесть. Состояния, изображаемые точками вне объема, ограниченного поверхностью текучести, невозможны. Состояние текучести достигается вследствие того, что достаточное число элементов системы переходит в пластическое состояние.

Это значит, что обобщенное уси- 3 зл. услОВие текучести и пОВБРхнОсть текучести 155 лие в соответствующем элементе В, достигает предельного значения В„н соответствующая обобщенная скорость г, становится отличной от нуля. Пусть число этих элементов есть т. Задаривая скорости т., мы можем всегда найти скорости точек приложения внешних сил дь причем они будут выражены через г, линейным образом: е5 = аиг.. Мощность внешних сил есть фдь она должна равняться мощности, необходимой для пластического формоизменения В„т,; таким образом, (5.7.3) Предположим теперь, что мы немного изменили величины внешних сил, но таким образом, что они продолжают удовлетворять условию текучести (5.7Л).

Если при атом в пластическом состоянии остаются те же элементы, то скорости т, останутся прежними. Останутся прежними и скорости дь но вместо (5.7.3) мы получим (5.7.4) (ф + бч,) д; = В.,т„ поскольку внутренние силы В., сохраняют постоянное значение. Сравнивая (5.7.3) и (5.7.4), находим дбч =о. С другой стороны, из условия того, что (), + 55 удовлетворяет уравнению (5.7Л), следует — ба=О. дР др. Таким образом, дГ Д. =) —. д05 (5.7.5) Рвс. 5.7.1 Соотношение (5.7.5) называется ассоциироеанныл законом течения. Смысл этого термина состоит в том, что закон течения тесно связан с условием текучести, он ассоциерован с этим условием. Величины с, можно рассматривать как составляющие вектора в и-мерном пространстве.

Зтот вектор имеет совершенно определенное направление, устанавливаемое формулой (5.7.5), но величина его неопределенна. Если строить вектор с компонентами д, в пространстве сил, то соотношение (5.7.5) означает, что вектор скорости направлен по нормали к поверхности текучести. На рис.

5.7.1 изображен кусок поверхности текучести; совокупность сил, действующих на систему, изображается вектором 9 если система находится в предельном состоянии, то точка ет, конец 166 ГЛ. Ь. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ вектора 9, лежит на поверхности текучести. Вектор гу с компонентами о, направлен по нормали к поверхности текучести в точке 2)Х. Поясним изложенное на нескольких простых примерах. Е Система из трех стержней (рис. 5.7.2) нагружена двумя силами г)г и Сг. Поскольку силы приложены в одной точке, их геометрическая сумма, вектор гр, является вектором силы в иаображающем пространстве, которое з данном случае просто представляет собою плоскость чертежа. Точно так же вектор с компонентами 8~ и сг представляет собою вектор сиорости точки А в обычном смысле. Для того чтобы система превратгьтась в механизм, необходимо, чтобы два стержня перешли в пластическое состояние и тем самым получилн возможность неограниченно деформироваться.

Третий стержень останется жестким и будет вращаться около точки закрепления. Таким образом, существует только три направления возможного движения точки А в соответствии с тремя возможными попарными комбинациями перв- шедших в пластическое состояние стержней. Переберем все этн возможности. а. Стержни 1 и 2 находятся а состоянии текучести, вращается сгерзгснь 8.

Вектор скорости точки А перпендикулярен стержню 8, следовательно, у~=лазар, Сг=хвглр. При вращении стержня 8 против часовой стрелкн, стержни 1 н 2 будут оба растягиваться. Пам достаточно рассмотреть только ату возможность. 2 л l Усилия в стержнях 1 и 2 при атом одинаковы и равны гт, = О„Р, усилие в стержне 8 нас не кнтередг сует. Спроектируем зсе силы на направление, пер- пендикулярное к стержню 8.

Получим 81 ()~ сов))+С>,вгпр = ~гу,(згп))+ ып (гь+ Р)). га) Знак минус в правой части соответствует вращению стержня 8 по часовой стрелке. б. Стержни 1 и 8 находятся в пластическом сос! таянии, вращается стержень 2; скорость точки А направлена по горизонтали, следовательно, и 41 = Л, йз = О. Если стержень 1 удлиняется, то стержень 8 будет укорачиваться, следовательно, усилия в них разных знаков.

Проектируя все силы на горизонталь- Ю ное направление, найдем 0г = ~)У,(вгп сс + вш р). (б) в. Стержни 2 и 8 находятся в пластическом со- стоянии. При вращении стержня 1 протнв часовой стрелки усилия в стержнях 2 и 8 будут сжимающими, в противном случае растягивающими. Скорость точки А перпендикулярна стержню 1, следовательно, С~ = )ч сов сг, дг = — л вш и. Условие равенства нулю проекций всех сил на направление скорости з эл. услОВие текучести и пОВеРхнОсть текучести ф57 дает 01 сова — Оэа(па = З)7,(э1п а+ э(п(а+ р)).

(а) Н зависимости от комбинаций стержней, перешедших в пластическое состояние, мы получили три распределения скоростей и шесть условий текучести, каждое иэ которых линейно относительно О, и Оэ. Легко проверить, что соотношение (5.7.5) выполняется. Шесть прямых в плоскости Оь Оэ образуют шестиугольник, представляющий собою поверхность текучести. Н данном случае и = 2, пространство сил представляет собою плоскость, а поверхность в эамкиутый контур. Тем ие менее мы будем сохранять общую терминологию даже в двумерном случае и говорить о поверхности текучести.

, 4', На рис. 5.7.3 иаображена поверхность текучести для случая, когда а = Р = 45'. Эта поверхность состоит из гладких, в данном случае прямолипейвых участков, во имеет угловые точки, в которых производная ке существует и, следовательио, формула (5.7.5) неприменима. Выясним, что в действительиости происходит со стер- в г жвями, когда система действующих сил лзображается угловой точкой. Рассмотрим, например, точку т ка рис.

5.7.3. Нагрузка удовлетворяет одиовремекко и условию текучести (а) и условию текучести (б), следовательно, все три стержня находятся в состоявии текучести, однако скорость точки А пе вполне произвольна, ока долж- Рис. 5.7.3 иа быть такой, чтобы стержень 1 продолжал удлиняться (это относится как к условию (а), так и к условию (6), стержень 2 удлиняется (условие (6)), а стержень 8 укорачивается (условие (б)).

Это будет выполнено, если вектор скорости точки А лежит внутри угла, образованного прямыми, перпендикулярными к направлениям стержней 1 и д. На рис. 5.7.3 мы должны провести нормали к сторокам шестиугольника, пересекающимся в точке т, направление вектора скорости в точке т неопределенно, ко ои всегда находится внутри угла, образованного этими нормалями. В общем случае поверхность текучести есть гиперпоиерхность в к-мерном пространстве, она может состоять из гладких кусков, образующих в пересечении ребра. Пусть изображающая точка находится в пересечении двух гладких поверхностей Р,(ф) О, г"э((г,) = О. Товда формула (5.7.5) применяется два раза, и мы получаем следующий закон течения: дг" д дг" д,=),— '+2,— '.

д9э дОг ЗДЕСЬ Х, Н Хэ — НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ МНОжИтЕЛИ, КОТОРЫЕ МОГУТ ПРИ- нвмвть любые значения, но обязательно неотрицательные, чтобы вектор око~рости был направлен по внешней нормали к поверхности текучести. В противном случае мощность, затрачиваемая на пластическую деформацию, была бы отрицательна. 168 ГЛ. З. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ й 5.8. Выпуклость поверхности текучести Изложенные выше рассуждения, приведшие к установлению ассоциированного закона течения, основывались на том, что число структурных элементов системы конечно и существует конечное число форм перехода системы в предельное состояние.

На примере было выяснено, что поверхность текучести будет всегда представлять собою многоугольник, поскольку для любой формы перехода в пластическое состояние условие пластичности бу~дет обязательно линейным. Совершенно таков же положение возникает, например, в балке, нагруженной конечным числом сосредоточенных сил.

Эпюра моментов для такой бален кусочно-линейна, следовательно, мансимйльное значение момента может достигаться только в том сечении, Вде приложена сила. Число воаможных комбинацнй пластических шарниров конечно; для любой комбинации условие статики, связывающее значение внешних сил, будет линейным, поверхность текучести и в этом случае представляет собою многогранник и ассоциированный закон течения сохраняет силу. Покажем, что многогранник, представляющий собою поверхность текучести, будет всегда выпунлым.

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай двух 4, сил. Пусть некоторой комбинации элементов, перешедших в пластическое состояние в плоскости (~О Ом соответствует прямая аЬ (рис. 5.8Л). Тогда полуплоскость справа от линии аб (отмечено горизонтальной штриховкой) будет областью недо- Рис.

Характеристики

Список файлов книги