Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В результате подстановки этого выражения в уравнение движения получим а; — гоз ~ Цт;а; = 0 (6Л.5) или готт;а; — ~~~ спа; = О. (6Л.6) з Будем отправляться для определенности от уравнений (6Л.5)', хотя те же результаты можно получить, если использовать уравнения в форме (6Л.6). Рассматриваемая система — это система п линейных однородных уравнений для и неизвестных а„а„..., а„амплитуд свободных колебаний системы. При произвольных значениях ю существует лишь тривиальное решение: а,=а,=... а =О.
Условие существования нетривиального решения состоит в равенстве нулю определителя системы 1 — — з+6 т В„з = О. (6Л.7) $ з + бпп'пп 3 6Л. СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ 179 Уравнение (6Л.7) представляет собою уравнение степени п относительно ес', которое имеет и корней, каждый из которых определяет собственную частоту системы. Таким образом, упругая система имеет столько собственных частот колебаний, сколько у нее степеней свободы. Мы будем предполагать, что все корни уравнения (6.1.7) различны.
Действительно, корни могут быть равными только тогда, когда коэффициенты податливости и массы грузов принимают совершенно определенные значения; достаточно немного изменить массу одного из грузов или жесткость какого-либо элемента системы, как корни станут различными. Таким образом, случай равных корней не может представлять каких-либо качественных особенностей, и нам нет необходимости на нем останавливаться. э 6.2. Собственные формы колебаний Условимся нумеровать корни уравнения частот в порядке воз- РаотаНИЯ, таК ЧтО ЕС, < Фа « ...
Ф . ЕСЛИ ТЕПЕРЬ ВНЕСТИ В УРаВ- пения (6.1.5) или (6.1.6) величину со = эса, эти уравнения будут иметь отличное от нуля решение а а а Ом аз ° ° э аа. Совокупность амплитуд, соответствующих определенной собственной частоте, называется собственной формой колебаний. Очевидно, что собственная форма определяется с точностью до постоянного множителя. Собственные формы колебаний обладают свойством ортогональности; выбирая соответствующим образом числовой множитель, их можно сделать ортонормированными, так что ~ лсса1ас = бм.
(6.2Л) с Для докааательства заметим, что уравнения (6.1.5) или (6Л.6) имеют точно такую же структуру как (6.1.1) или (6Л.2). Но теперь, вместо прогибов иь в них фигурируют амплитуды ас, силы, вызывающие прогибы, равные амплитудам, определяются так: Рс = юалссес. Применим теорему Бетти (см. з 5.3), принимая за первое состояние системы собственную форму с номером й, за второе состонние форму с номером й Получим по формуле (5.3.4) асР, = асРс асса или ачба ас асс са Фа ~~ ЯСсасас = Юс ~~ ЛСсаса„ 126 гл.
В. колевлння стегжневых систем Но это равенство невозможно, так как в левой части все слагаемые положительные. С другой стороны, величина юе, полученная в результате решения уравнения (6.1.7), всегда положительна. Действительно, положим в (6Л.5) а;= а;, ю = юю умножим на т~а~ и просуммие руем по индексу й Получим, опуская верхние индексы, ~тгаг = юе ~(лз,аг) (тза;) рн. г с1 (6.2.2) Сумма, стоящая в левой части, равна единице, а сумма в правой части представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы, нагруженной силами т,ао Но каковы бы ни были силы, энергия всегда положительна, поэтому двойная сумма в правой части полоягительна при любых значениях амплитуд ао Поэтому юеа также необходимым образом должно быть положительно.
Пример. Балка иа двух опорах длиной 41 несет три одинаковые массы, расположевпые иа равных расстояниях между собою и от опор (рис. 6.2.1). Прежде всего строим зпюры моментов от едииичкых сил и находим козффициеиты влияния по способу 4 5.3 гы гю 4 ' б~з гз 12 4 з 7 з Е1"р = — а ~ ЕгРхз — — а . зз 3 12 Запишем матрицу коэффициентов влияния следующим образом: 9 11 71 16„.1= 11 16 11~Х 7 И 9~ 12Е1' 12Е1 1 Обозначим — з — з = з. а так как по предположению ю„Ф юе это равенство возможно лишь при условии (6.2Л).
До сих пор мы молчаливо предполагали, что все корни уравнения частот — действительные и положительные числа. Сейчас мы можем это доказать. Действительно, предположим, что ю~е— комплексное число. Тогда обязательно найдется второй корень ю~г, являющийся комплексным сопряженным числом. Амплитуды собственной формы с номером й будут такясе комплексными числами видаа~= а,+ 1рг, амплитуды собственной формы с номером 1 будут комплексными сопряженными числами а; = аг — фы Подставляя а; и а; в условие (6.2Л), мы получим р ~ гага;аг — — ~~'~ те (сгг + рг) = О. е 6 Е.з.
СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ КОЛЕБАНИЙ 181 Уравнение частот (бй.7) примет следующий вид ! 9 — з 11 7 11 16 — з 11 =О. 7 11 9 — з Рис. 6.2.2 Рис. 6.2.1 число так, чтобы было выполсобственные формы колебаний любое число; подберем в каждом случае это нано условие нормирования. Нормированные будут следующие: 0,500 0,708 дт аз — ' ат=в 0,708 дз )/ ° 0,500 з у-) 0,708 аз ~— д =О, з Раскрыв определитель, получим следующее кубическое уравнение: зз — 34зз+ 78з — 28 = О. Корни этого уравнения з~ 31,56, *з = 2, зз = 0,444.
Соответствующие частоты / Еу I Е( Г Е1 в =0,6171/ — з, в =2,45 —, в =5,19 Уравнения для амплитуд собственных форм колебаний будут такие: д1 (9 — з) + аз 11+ дз.7 = О, а1 11 + дз (16 — з) + дз 11 = О, д,.7 + аз,11 +дз (9 — з) = О. Здесь нужно последовательно принимать з зь з = зз, з зз. Фактически всегда приходится рассматривать только два уравнения, в данном случае можно взять первое н второе. Одг 3 на иэ амплитуд может быть задана по произволу. Примем, например, дз 1 во всех случаях. Получим д~~ = 1, д~~ = 1,416, )1 дз = 1, 1 о а = — 1 аз=О, 1 дз = 1, дз 1 дз * 1 416 дз 1 а Выполнение условий ортогональности легко проверяется, Амплитуды каждой из собственных форм можно умножить иа ГЛ.
Е. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 182 0 500 0'708 в 0 500 1/т' ' 1/и ' в 1/т ' На рис. 6.2.2 иаображены найденные собственные формы колебаний. з 6.3. Главные координаты Рассмотрим проиавольную конфигурацию упругой системы с сосредоточенными грузами, имеющей п степеней свободы.
Эта конфигурация может соответствовать деформированному состоянию от действия произвольной системы внешних сил, может быть некоторой мгновенной конфигурацией, принимаемой системой в процессе движения, вызванного любыми силами при произвольных начальных условиях. Задать такую конфигурацию — это значит задать и перемещений а„ав, ..., а . Эти величины мы будем называть координатами системы. По определению и координат системы произвольны и независимы между собой. Но для того чтобы задать положение системы, существуют и другие возможности, любые и чисел, однозначно определяющих конфигурацию, могут быть приняты за координаты. В частности, за координаты можно принять произвольные линейные комбинации из величин а„, лишь бы они были независимы. Предположим, что собственные формы колебаний системы известны. Введем координаты ив, соответствующие данной конфигурации, следующим образом: д ас = а~ад.
(6.3 1) Для того чтобы показать законность выбора величин ив в качестве координат, нужно убедиться в том, что из уравнений (6.3.1) величины и„определяются.единственным образом. Свойство ортогональности собственных форм колебаний позволяет очень просто решить уравнение (6.3.д) относительно и„. Для этого умножим уравнение (6.3Л) на твав и просуммируем по индексу й Получим Х е*; —.Х в %1 ив т;а;а; = н.в тса;а;ид.
Заменим в двойной сумме порядок суммирования. В силу условий ортогональности и нормирования те суммы по т, которые относятся к неравным между собой )с и г, обратятся в нули, при г= во соответствующая сумма равна единице. В результате из всей двойной суммы останется один только член и, и мы получим и, = ~т;а;а',. (6.3.2) Введенные таким образом координаты и. называются главными координатами системы. 5 6.3. РлАвные кООРдиыаты 183 Рассмотрим простой пример, в котором свойство ортогональности собственных форм принимает наглядный смысл и введение главных координат становится естественным. Изображенная на рис.
6.33 рама несет груз на конце. Матрица коэффициентов влияния в атом случае будет такой: ~х — ' 6Е1 1 Положим з = — з — з. Уравнение частот будет следующим: «се~ ю зт — 106+ 7 = О. Корни его зс = 9,24, *з 0,76. Нормированные главные формы колебаний определнются величинами вша е~ ~= ат = з сс = 22'31'. соз а аз= — =, ~~ив Если через центр груза провести оси координат — горизонтальную ось в, и вертикальную осьвв величины еы ез и е, ез будут компонснтамипо осям лс и зз двух векторов ас и аз (рис.
6.3.1). Ортогональность собственных форм колебаний нужно понимать в атом случае буквально как ортогональность соответствующих векторов. Рис. 6.34 Направим оси координат ис и вз по векторам, соответствующим собственным формам колебаний. Для рассмотрения динамики системы оси кооРдинат ис и из более естественны, чем слУчайно выбРанные оси кооРдинат яс и вт, по оси ис происходят колебания с частотой юь по оси из — с частотой юь Произвольные колебательные двюиения груза естественно представлять 1 е =0333=, Ф е = — 0,923 =. з ат = 0 923 =, 1 з Ф 1 е 3/'ж соз а ~/лз вша ~/ш ГЛ. 6.
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 184 как результат наложения колебаний с двумя разными частотами в двух главных направлениях. По формулам (6.3.1) в рассматриваемом случае получаем и1 = ут(а, вш а+ ав сов а), ив — — ут( — а1 сов а+ ав в(п а). Это ке что иное, как формулы преобразования координат прк переходе от осей хь хв к осям иь ив, вкачкт, главные координаты системы — вто состввляющке вектора перемещения по осям и, к ив, умноженные ва постояяпую величину ут. В общем случае произвольной упругой системы главные координаты не находят такого простого и наглядного истолкования, если не прибегать к геометрической интерпретации при помощи многомерного пространства. Однако значение их полностью сохраняется. з 6А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
