Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 41
Текст из файла (страница 41)
3. По конур сгерзкнк х = О производигсл удар грузом 81, дзижуи/имск со скоростью У. Противоположный конец стержня * = ( неподвижно закреплен. После соударения груз будет двигаться замедленно, уравнение движения его можно записать так: 4(г М вЂ” — ЕРз = О. дг (6.7.4) 4" т,Л1 р М вЂ” — — се = 0 или — + — (г = О, гш [О, 2т). (6.7.5) дг т 44 Здесь р = оьР/М вЂ” отношение массы стержня к массе груза. Интеграл уравнения (6.7.5), действительный в указанном интервале и удовлетворяющий условию Ф'(О) = гз, есть у =у ехр( — — ). (6.7.6) Скорость убывает экспопелциально, деформация или напряжение на конце такиге убывают экспоненцпальпо до тех пор, пока не придет отраженная волна.
В промежутке времени С ш (2т, 4т) мы оказываемся на участке 4 диаграммы рис. 6.7.2. На участке 3, как мы уже выяснили, о = О, е = — 2о/с, где величина о соответствует точке отрезка 2, лежащей на соответствующей характеристике. Наша задача состоит в определении движения для момента д соответствующего точке П участка 4 оси ординат на рис. 6.7.2, поэтому скорость в точке Е должна быть отнесена к моменту г — 2т, Обозначим время прохождения длины стержня упругой волной через т, т = 4/с. При Г ( 2т, пока отраженная волна еще не возвратилась на копен х = О, иа этом конце выполняется условие е = — У/с.
Через У(с) мы ьудем обозначать скорость о(0, г), равную скорости груза. Перепашем уравнение движения груза следующим образом: 6 З.В. ДИНАМИЧЕСКИЙ ИЗГИБ СТЕРЖНЕЙ 195 следовательно, в точке С 2 е = — — У (г — 2т). е Составляя условие на характеристике РС, получим У(г) + се(г) = — 2У(г — 2т). Итак, (6.7.7) ее(г) = — У(г) — 2У(г — 2т), Вставляя з уравнение движения выражение (6.7.7) для се(Г) н заненяя У(à — 2т) пс формуле (6.7.6), получим следующее уравнение: ЕУ )г И 7 à — 2т~ — + — У= — 2 — У ехр( — р дг т г е ( т Интеграл его, удовлетворяющий начальному условию У(0) = У„есть У = У ~ехр ( — р — ) — — (г — 2т) ехр ( — р )1. (6.7.8) Теперь по формуле (6.7.7) можно вычислить деформацию в месте контакта с ударяющей массой, пропорциональную силе давления груза на стержень, г — 2т 1 ее(г) = — У ехр( — р — ) ~1+2 ехр29 ~1 — р — )1. (6.7.9) Это решение сохраняет силу до тех пор, пока деформация е(г) не изменит знака.
Приравнивая нулю е(г), определяемое формулой (6.7.9), получим сле- дующее выражение для соответствующего момента времени Г: г 1 2 —— 1+ 4 (2+ехр( — 2)г)). Для того чтобы отделение груза от стержня произошло именно з интервале г гн (2т, 4т), необходимо, чтобы было и ) 0,584. Прн ббльшей массе груза следует нродолжнть анализ, рассмотрев интерва- лы (4т, бт), (бт, 8г) н т. д. 9 6.8.
Динамический изгиб стержней При составлении дифференциального уравнения динамического изгиба стержня мы будем отправляться от дифференциального уравнения изогнутой оси балки, записанного в форме (3.8.5) д де~ — з Е1„—,'~ =д(з, 1). (6.8 1) дзз дз Единственное различие между уравнениями (3.8.5) и (6.8.1) состоит в том, что в последнем уравнении употреблен символ частной производной по координате. Теперь, рассматривая динамические задачи, мы должны считать, что прогиб и есть функция двух переменных — координаты х и времени и Уравнение (6.8.1) получено для случая равновесия балки, но его можно применить к случаю движения, воспользовавшись принципом Даламбера. 18е Гл. з. кОлеБАния стегжнзвьгх систем 196 Нагрузка д(х, ~) должна включать в себя силы инерции.
Ускод и рение элемента балки в сечении с координатой х есть —, сила дх д х инерции элемента длиной Иг равна — райх —; таким образом, дс сила инерции на единицу длины д х д = — рà —. дх Рассматривая только свободные колебания балки, когда возмущающая сила отсутствует, мы внесем это выражение д в уравнение движения (6.8.1) и получим следующее дифференциальное уравнение: д дх ди —, Е/„—,~+рг —,=О.
дх дх ! дХ (6.8.2) Уравнение поперечных колебаний в отличие от уравнения продольных колебаний уже не гиперболическое, задачи о распространении поперечных волн носят совершенно иной характер, чем задачи о продольных волнах. Решение типа распространяю. щейся волны для уравнения (6.8.2) существует не для любой функции /(1 — х/с), а например, для функции такого вида: Р = з(па(х — — . с~' Скорость поперечной волны с найдется, если подставить это вы- раженпе в (6.8.2), а именно (при Е/ = сопзь): Как видно, скорость распространения поперечной волны неограниченно растет с увеличением частоты хо.
Но произвольно заданное начального возмущения вообще может быть разложено в ряд Фурье, содержащий члены со сколь угодно высокими частотами; таким образом, существуют возмущения, которые распространяются мгновенно. На этот результат нужно смотреть как на дефект уравнения (6.8.2), пригодного лишь для достаточно длинных волн. Если волны короткие, то, кроме инерции поступательного движения, следует учитывать инерцию вращения, а также влияние на прогиб пе только нормальных напряжений, но также и касательных напряжений от перерезывающих сил. Учтя эти факты, можно получить уточненное уравнение динамического изгиба, которое является гиперболическим и не допускает мгновенного распространения импульсов. г з.з, динлмичвскии изгив стигжнни 197 Возвращаясь к уравнению (6.8.2), применим к нему метод разделения переменных, положив в (г, г) = Т (г) Е (г).
Получим Т(Е1 Е" )" + рРТЕ= О. Здесь точки обозначают дифференцирование по времени, штрихи — дифференцирование по координате. Перепишем это уравнение следующим образом: т (д1„г")' =ш. т ртг Повторяя рассуждения, проведенные в аналогичном случае применительно к продольным колебаниям, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения Т+в'Т О, (Е1Е")" — го'рРЕ=О. (6.8.3), Первое уравнение показывает, что ю есть частота свободных колебаний балин. Интегрируя второе уравнение и составляя граничные условия для определения констант, мы убеждаемся, что эти константы не все равны нулю тогда, когда го принимает определенные значения, являющиеся собственными частотами балки. Условимся нумеровать собственные частоты в порядке возрастания, так что го,(в, < в,(... Каждому значению собственной частоты ю, соответствует собственная форма колебаний Е„(г), удовлетворяющая уравнению (6.8.3) при ю = ю„, а именно: (ЕХ„Еь) — вь~рРЕг = О.
(6.8.4) ) рРЕ„Ен(г = О. о (6.8.5) Для доказательства заметим, что уравнение (6.8.4) может быть истолковано как уравнение статического изгиба балки распределенной нагрузкой д„интенсивность которой равна вьгрРЕю Точно так же Е~ представляет собой статический прогиб балки от распределенной нагрузки В = олрРЕц Применим к стим двум состояниям балки теорему Бетти: ! ) Еь(г) д~(г) дг = ~Е~(г) дз(г) дгг (6.8.6) Конечно, собственная форма определена с точностью до постоянного множителя.
Собственные формы колебаний обладают свойством ортого нальности, которое совершенно аналогично свойству, докааанному в $ 6.2 для системы с конечным числом степеней свободы. Если Е„и Е, — две собственные формы колебаний, соответствующие разным собственным частотам в, и вь то $98 ГЛ. О. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ внеся сюда значения дд и д,, получим о о а~о ) рРЕОЕЕЬ = оэср ) рРЯД,оЬ. О О (6.8.7) Так как оддоь оь, это равенство возможно только при выполнении условия (6.8.5). Для определенности будем нормировать собственные формы колебаний, выбирая постоянный множитель таким образом, чтобы было ) рРЯ,'~Ь=1. о (6.8.8) Умножим обе части этого равенства на Е, и проинтегрируем по длине балки.
В силу условия ортогональности от ряда в левой части останется только один член с индексом 1, в силу условия нормирования этот член будет ново~ = ) дЯей. о Таким образом, о 1 Г ид = —, ~ ЯА7ез. 'од о (6.8ЛО) Разложение функции и(з) в ряд по функциям Уд(з) представляет собою в известном смысле обобщение разложения Фурье Аналогично тому как произвольная конфигурация системы с конечным числом степеней свободы представляется через собственные формы (з 6.2), упругая линия балки всегда может быть представлена в виде ряда по собственным формам ее колебаний.
Пусть и(з) есть некоторая функция, представляющая собою прогиб балки под действием нагрузки д(з). Функция и(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению изгиба (Е1„Р" ) " = д. Представим и(г) в виде бесконечного ряда Р (2) = ~~~~~ Яд ($) пд. (6.8.9) Внесем этот ряд в дифференциальное уравнение Хид(Е1 г ) = д. Воспользуемся теперь дифференциальным уравнением (6.8.4)', чтобы исключить производные от функций Ед. Получим ~ и~в„'рРЯд = д. 5 е.э. колеВАния БАлОк постоянного сечения х99 по тригонометрическим функциям. Если функция и(г) удовлетворяет тем же граничным условиям, что и функция Яз и четырежды дифференцируема, то ряд (6.8.9) сходится абсолютно и равномерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
