Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(7.2.7) 1 еп = им,й = 2 (иьз+ ид1). (7.2.8) Выясним теперь геометрический смысл компонент деформации ее. Для этого выведем формулу, дающую изменение угла между отрезками, направленными в исходном состоянии по единичным векторам т и и. Обозначим через дг и бг соответственно эти элементы, через Ыг и бг — длины элементов, через О— угол между ними. Тогда 71гбг = 71зба созб. После деформации Нг' = Нг + ди = (бп + и, 7) 7)х;е, и аналогично бг' = (бм + иь7) бх;еп Положим 71г'бг' = сааб'(1+ е ) (1+ е ) йгба. В результате но- лучим соз О'(1+ е„) (1+ е„)' — сов 6 = е„'(т,П + т и )'.
(7 2 9)' Положим п,=1, пз п,=О. Тогда по формуле (7.2.6) находим е ееэ Вся теория существенно упрощается, если принять, что не только деформации ее«1, но также вращения ве«1, а следовательно, иь7«1. По существу это предположение делалось в части 1 книги, где рассматривались стержневые системы. Там же были приведены немногочисленные примеры, когда углы поворота и деформации имели различный порядок малости ($ 4.6). Теперь в формулах (7.2.3) можно выбросить квадратичные члены и мы получим следующие выражения для компонент деформации: 218 гл. 7. ОвщАя теОРия деФОРмАций и нАПРяжений Итак, компоненты деформации с одноименными индексами представляют собою относительные деформации элементов, направленных по осям координат, Положим теперь П,=Х, п,=п,=О, т,=$, т,=т,=О.
Тогда О= я/2. Положим О'= я/2 — 7„, 7„ь $. Пренебрегая величинами второго порядка малости, получим Тм 2е„. Итак, компоненты деформации с равными индексами представляют собою половины изменений первоначально прямых углов между соответствующими координатными осями. Величины 7и называют сдвигами. Вообще, если векторы т и и ортогональны, то из (7.2.9) следует 1 1 еп (гПП + гПП ) е| ги П1 (7.2 ХО) 5 7.3. Определение перемещений по заданной деформации и,; = ее+ ве.
Теперь перемещение точки ЛХ находится квадратурами м и~ =- и'; + Л (еи, + вв) 35А. мю В действительности величины во неизвестны и наша задача будет состоять в том, чтобы преобразовать (7.3.1), исключив иа (7.3 1) Шесть компонент тензора деформации выражаются по формулам (7.2.3) или (7.2.8) через три компоненты вектора перемещения. Поэтому следует ожидать, что любые шесть функций координат ее нельзя принять за компоненты деформации, они должны для этого удовлетворять некоторым соотношениям.
С другой стороны, если деформации заданы как функции координат и действительно возможны в сплошном теле, нужно ожидать, что перемещения точек тела могут быть определены, конечно — с точностью до перемещения как жесткого целого. В этом параграфе мы выведем формулы Чезаро, решающие именно вторую задачу, т. е. задачу определения перемещений по данной деформации.
При этом попутно мы установим те условия совместности, которым должны удовлетворять заданные компоненты деформации. Предположим, что перемещение и~ некоторой точки тела ЛХ,(х,) задано, ищется перемещение точки М(х). Соединим точки ЛХ, и М произвольной кривой, будем обозначать текущие координаты этой кривой $,. Величины компонент деформации еч($,) на этой кривой заданы. Предположим на время, что заданы также компоненты тензора вращения во($~). Считая перемещения малымн в указанном выше смысле, заметим, что из (7.2.7) и (7.2.8) следует э 7.з.
ОпРеделение пеРемещений по деФОРмАции 247 этих формул компоненты вращения. Таким образом, нужно преобразовать интеграл м м ) юодо6д =,~ ЮзЖП (7.3.2) мр м, Положим дф~=-Ы(хр — $о). Здесь х; — координаты точки М, в которой ищется перемещение. Подставляя в (7.3.2) и интегрируя по частям, получим м м ) вполз = оо,', (х; — х';) + ) юп д (х, — з;) д$д. (7.3.3) мр м, В результате интегрирования по частям в выражении (7.3.3) о появились еще трн константы юп в добавление к введенным ранее величинам и~о. В формулах (7.3.3) фигурируют не сами компоненты тензора вращения, а их производные по координатам.
Оказывается, что производные от роэ выражаются через производные от компонент деформации ео с помощью следующих тождественных соотношений: (7.3.4) юм д = е„д — емл. В справедливости (7.3.4) легко убедиться, подставив вместо ее и во их выражения (7.2.8) и (7.2.7).
Теперь формулы (7.3.д) переписываются следующим образом: ид = и; + оде (х; — хр) + о ос од м + ~ [е;д + (х; — $;) (е;д; — еми)) овд. (7.3.5) мо Они решают задачу об определении перемещений по заданной деформации в том случае, когда интеграл не зависит от пути интегрирования. Для этого нужно, чтобы подынтегральное выражение представляло собою полный дифференциал. Это будет в том случае, если выполняются следующие соотношения: е„,и — едди — е.,м+е„,;,=О. (7.3.6) Заметим, что условия (7.3.6) можно было получить проще, а именно составляя условия интегрируемости выражения для компонент тензора юо, производные которых заданы формулами (7.3.4).
Левая часть уравнения (7.3.6) представляют собою тензор четвертого ранга, но этот тензор обладает высокой степенью симметрии и он эквивалентен симметричному тензору второго ранга, подобно тому как антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен вектору. Действительно, условие (7.3.6) можно 218 гл. 7. ОБШАя теОРия деФОРмАций и нАпРяжении переписать следующим образом: (7.3.7) 8ц = с„„св„е„ „„ = О. Чтобы получить условие (7.3.7), следовало бы ввести вместо тензора вращения эквивалентный ему вектор, далее представить тождество (7.3.4) с помощью з-тензора и записать условия интегрируемости этих тождеств как условие равенства нулю ротора вектора, используя еще раз обозначение соответствующей операции с помощью е-тензора.
Мы не будем следовать этому пути, а просто проверим, что нз 81 соотношения (7.3.6) на самом деле остается только шесть. Положим з = й= 1, 1= г = 2. Получим из (7.3.6) е,з „+ езз, зз — 2е„„= О. (7.3.8) Два других соотношения первой группы уравнений совместности получаются круговой перестановкой индексов. Первое из соотношений второй группы получим, приняв ~ = й = 1, у 2, г = 3. Оно будет следующим: (7.3.9) Сзз, зз = (ем, з см, з Сзз, з),з. Два других соотношения получаются также путем круговой перестановки индексов. При других комбинациях индексов соотношения совместности (7.3.6) выполняются тождественно. Такой же непосредственной проверкой убеждаемся, что (7.3.8) и (7.3.9) следуют из (7.3.6).
Тензор Яц, образованный из тензора е„по формулам (7.3.7)', называется тенэорозз яесовместносги. Вообще, можно допустить, что в теле реализуется такое деформированное состояние, когда тензор деформации не выражается через вектор перемещений по формулам (7.2.8). Проще всего это можно представить себе следующим образом. Допустим, что из некоторых механических соображений нам нужно разделить тензор деформации на две з части,такчто еп = еб+ есь Так, например, е;з может быть темз пературной деформацией, тогда как деформации еп носят механический характер. Условию (7.3.6) удовлетворяет только сумз парная деформация, тогда как Язз.
= — 8;з. чь О. Отметим в заключение следующее тождество: Яц з=О. (7.3.10) Действительно, продифференцировав (7.3.7) по хь получим Оц, З = ЕЗЗ ЕлзЕЗЗ Последний множитель симметричен относительно индексов в, 7', предпоследний аптнсимметричен, поэтому свертка их равна нулю. 5 7.4. теоРия нАпРяжениЙ 219 з 7А. Теория напряжений Пусть на тело, занимающее объем У и ограниченное поверхностью Я, действуют объемные силы Р и поверхностныв силы Т. Это нужно понимать следующим образом. Обозначим через АР результирующую сил, действующих на алемент объема АУ. Тогда Р =1пп~ — ) Аналогично, если обозначить через А9 результирующую сил, действующих на элемент поверхности АЯ, то Т =11ш ( — ) Пш(;,) =О, ПшЯ =О; таким образом, на тело не действуют распределенные по объему или по поверхности моментные нагрузки.
Запишем уравнение равновесия в форме Лагранжа ~ Р4би4Л'+ ~ Т4би;г)Я = О. Р и (7.4 1) В уравнении (7.4.1) фигурируют только внешние силы, следова- тельно, оно выполняется не для любых перемещений би4 а толь- ко для тех, которые не сопровождаются деформацией. Действи- тельно, полагая би = бис + б4аХг, мы получим из (7.4.1) шесть обычных уравнений статики для равновесия абсолютно жесткого тела. В данном случае мы поступим иначе и запишем условие того, что тело не деформируется, следующим образом: Ьец = — (би4; + би; 4) = О. Уравнения (7.4.2) можно рассматривать как уравнения связи, при выполнении которых справедливо (7.41).
Составим уравнения равновесия при этих условиях как уравнения Лагранжа первого рода, введем множители Лагранжа, обозначив их ( — ов). Предположим, что эти пределы существуют. Приводя силы, действующие на элемент объема или элемент поверхности, к некоторой точке, принадлежащей атому элементу, кроме результирующей необходимо вводить также момент АМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
