Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Несмотря на ато точность оценки получается довольно высокой. Если ваять в качестве и(с) функцию выражающую прогиб балки от равномерно распределенной нагруаки, будут выполнены и динамические граничные условия. В точном и приближенном решениях прн етом совпадают третьи знаки. 6 6Л1. Динамическая устойчивость. Следящая сила Бифуркационный критерий устойчивости, рассмотренный в 3 4.4, как мы выяснили там, не всегда дает ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости равновесия. Неполнота этого критерия связана с тем, что он устанавливает возможность или невозможность смежного состояния равновесия, тогда как при потере устойчивости, вообще говоря, может наступить не новое состояние равновесия, а состояние движения системы. Поэтому естественная постановка задачи устойчивости состоит именно в изучении возможных движений механической системы.
Возвращаясь к проблеме устойчивости сжатого стержня, напишем уравнение колебаний такого стержня следующим образом: —, (~~„М + Р—" + рг" д и = 0. (6.11Л) Вывод уравнения (6.11Л)' не отличается от вывода (6.8Л), нужно только заметить, что в данном случае да и дзМ д= — РР— + — 3 дг дз тогда как )и =-Рп так же, как в 3 4.2. ГЛ. Я. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ Рассмотрим простейший пример балки постоянного поперечного сечения, свободно опертой на двух концах.
Если длина балъи есть 3, мы удовлетворим уравнению (6.ИЛ), приняв и = яг гяур =я(п — е . Подставляя это выражение в уравнение, находим (6.И.2) Здесь Р, — первая критическая сила. Формула (6.И.2) показывает, что при Р(Р, ю действительна; таким образом, балка может лишь совершать колебания около положения равновесия. При Р)Р, гз становится мнимой и движение стержня апериодично, прогиб неограниченно растет со временем. Таким образом, парадокс, связанный со статической постановкой задачи устойчивости, оказывается разрешенным, хотя существование и величина критической силы предсказываются правильно и статическим решением. Следующий пример будет относиться к такой задаче, когда статическая постановка вообще ни к какому результату не приводит.
Это задача об устойчивости под действием так называемой следящей силы, т. е. силы, приложенной на конце стержня и направленной по касательной к его оси (рис. 6А1.1) . Дифференциальное уравнение (6.И.1) остается для этого стержня справедливым при следующих граничных условиях: Рве. б.т1Л Р(0) = Р'(0) = О, Р" (1) = и" ()) — О. (6А1.3)' Последнее условие означает, что перерезывающая сила на конце обращается в нуль. Выясним, прежде всего, недостаточность статического критерия в этом случае. Для этого примем в уравнении (6.И.1) рР= О, получим (при Е1.= сопяь) ег Интеграл этого уравнения Р = А + Вг + С я|в йг + В соя кг.
Используя условие при г = 1, получим — Сй' яш И вЂ” Вйг соя И = О, -СЬ' соя И + РЬ я)п И = О. 207 з зль слвдящая сила Приравнивая нулю определитель системы, найдем з1п И с се И ) й6 1 — созИ зшИ~ Единственный корень этого уравнения й = О, следовательно, и = 0; таким образом, критической силы в смысле Эйлера стержень, нагругкенный следящей силой, не имеет, согласно статическому критерию он всегда будет устойчивым. Будем теперь искать решение динамического уравнения (6.11.1) в виде и = Л(з) е'"'. Функция 2(г) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (Е7„2" ) " + РХ" — рРез*Я = О. (6.11.4) Решение его Я =А эш 5,э+ В сов р,э+ С эЬр,я+1) сЬ5,з.
(6.11.5) Здесь 5, и 15, — корни соответствующего (6.11.4) характеристического уравнения, которое мы здесь не выписываем. Для неизвестной 5' получается квадратное уравнение, имеющее один положительный и один отрицательный корень, которые зависят от жесткости, длины и массы стержня, а также от силы Р. Функция Я(з) удовлетворяет граничным условиям (6.11.3). Подставляя (6.11.5) в эти граничные условия, получаем однородную систему уравнений, которая имеет нетривиальное решение, если определитель ее равен нулю. В данном случае равенство нулю определителя приводит к нетривиальному результату, множитель в показателе экспоненты ге находится как функция сжимающей силы Р.
Соответствующее трансцендентное уравнение мы не выписываем, исследование его довольно сложно и может быть выполнено лишь с помощью численных методов. Результат исследования состоит в следующем. При малых Р для гс получается два действительных значении, с увеличением Р эти корни сближаются и при Р =Рэ сливаются в один действительный корень. При Р)Р„величина ю становится комплексной, следовательно, прогиб неограниченно растет. Для критической силы Рэ разные авторы дают слегка отличающиеся значения. Полагая 20Пк Р ж— в з 3 мы сделаем ошибку, которая, по-видимому, не превысит 0,25%. ЧАСТЬ 11 УПРУГОЕ ТЕЛО ГЛАВА 7 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ 3 7Л.
Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление общих принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности.
Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач.
В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев зти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно.
Предполагая, что читатель знаком с основами тензорной алгебры и тензорного анализа, напомним некоторые свойства тензоров в евклидовой трехмерном пространстве. При пользовании прямоугольными декартовыми координатами исчезает разница между ковариантными и контравариантными величинами, поэтому мы будем пользоваться только нижними индексами. Будем обозначать координаты точки и соответствующие оси координат одной З 7.». ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 209 н той же буквой с разными индексами: х„ х, и х,. Соответственно базисные единичные векторы будут е„ ею е„ они образуют правый трехгранник. а. Определение вектора а а=ее»+о е,+ае,. б. Вектор в двумер»ьом пространстве а = а,е, + а е, = а„ео. Условимся считать, что если немой индекс представляет собою греческую букву, суммирование производится от единицы до двух. в.
Преобразование компонент вектора и новому базису. Если задан второй ортогональный базис е;, то а = а»е» = а;е;. (7Л.2) При этом в ан =е,ер г а» = ана», а» = амат, (7.1.3) г. Определение тензора ранга й. Тензором ранга й называетси совокупность величин, зависящих от»г индексов А»,;,,»А таких, что при преобразовании координат, т. е.
переходе от базиса е; к е; и обратно они преобразуются по формулам А,,;А = а,,;,а;,;,... а,А,АА;,;, (7ЛА) А; »»А —— а;,»,а;,»,... а;„;АА;,;, д . П ри меч ани я. 1. В пункте (а) вектор был определен как экстенсивная величина или сумма произведений вида (7А.(). Эта сумма может быть интерпретирована геометрически как сумма векторов, но ей можно придавать и чисто формальный смысл. С другой стороны можно было не прибегать к такого рода представлению, определив вектор как тройку чисел, отнесенных к данному базису и преобразующихся при изменении базиса по формулам (7А.З). Аналогично тензором можно называть не совокупность скалярных величин А», а экстенсив или символическое произ- »1»2.,.»А' ведение А = А. .
е. в. ... е »1 2'''»А »1 »2 А 2. Мы будем здесь рассматривать только такие преобразования координат, которые оставляют систему координат правой. Это избавит нас от необходимости различать векторы и псевдовекторы, тензоры и псевдотенэоры. 14 Ю. н. Работков По повторяющемуся индексу производится суммирование от $ = 1 до 1 = 3. Немой индекс, по которому производится суммирование, может быть обозначен любой латинской буквой а»е» = а;егь (7.1Л) 21О гл' т' ОвщАя теОРия деФОРЖАций и ИАЦРяженнй д.
Мультипликативнь»е тензоры. Если А;,;,.л есть тензор ранга к, В;; ,; — тенэор ранга р, то величины С..=АВ »а»а "»а»ааа" »Р»а»а"'»ь»ага- аз образуют тензор ранга й+р. В частности, если заданы два вектора Ь, и ац то величины ааЬ, представляют собою компоненты мультипликативного тензора второго ранга. е. Свертывание тензоров. Приравнивая два индекса, мы производим суммирование по индексу, в результате получается новый тензор, ранг которого на две единицы меньше. Подобная операция получения тензора ранга й — 2 из тензора ранга Ь называется свертыванием.
Если Ь = 2, то в результате свертывания получается скалярный инвариант. Так, свертывая мультипликативный тензор ааЬА получаем скалярное произведение векторов а и Ь, аЬ=аА. ж. Построение инвариантов. Свертывая тензор второго ранга Ац, получаем его первый инвариант Ан. Образуя мультипликативный тензор четвертого ранга АцАаь можем свернуть его по двум парам индексов: а, Ь и», 1 или», 1 и у, Ь. Таким образом, получают два квадратичных инварианта АцАц и АцАЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
