Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 47
Текст из файла (страница 47)
т. ОвшАя теОРия деФОРмАции и нАпРяжении При выборе знака перед радикалом учтено, что О,) О,. Теперь получаем следующие формулы для главных напряжений: Из этого же треугольника видно, что 2О12 ь62а = 11 22 (7.6.3) Последняя формула определяет угол 2а с точностью до слагаемого, равного я; пзтому для а получаются два значения, разнящиеся на я/2. Таким образом, мы находим сразу два угла а, и а, между осью х, и осями 7 и 2 соответственно и не можем *) Терминологическая неточность, ставшая традицией. меняется направление нормали, т. е.
угол а, и изображающая точка в плоскости О, т описывает замкнутую кривую. Формулы (7.5.4), (7.5.5) задают параметрическое уравнение этой кривой, представляющее собою окружность. Центр ее находится на оси О в точке с абсциссой (О, +о,)/2, радиус равен (О,— О,)/2.
Для построения этой окружности следует построить на оси О точки 1 с абсциссой О, и 2 с абсциссой О,, На отрезке 1 — 3 как на диаметре строится окружность, называемая кругом Мора* ). Следует запомнить простое правило; если угол между нормалями к площадкам есть а, то дуга между точками круга Мора, изображающими напряжения на этих площадках, измеряется углом 2а, отсчитываемым в противоположном направлении. Так, на рис. 7.5.1 угол а от осн $1 к нормали и отсчитывается против часовой стрелки, дуга 2а на рис. 7.6.1 от точки 1 к точке и берется по часовой стрелке.
Напряжение на площадке и', составляющей с площадкой и угол, равный я/2, изображается на диаграмме точкой, диаметрально противоположной точке и. Круговую диаграмму можно построить и тогда, когда заданЫ напряжения О 2 в неглавных осях координат. Построим точку х1 с координатами о„и о„и точку х, с коордипатами от, и — О,т, как показано на рис. 7.6.2. На отрезке, соединяющем эти точки, как на диаметре, построим окружность. Центр ее будет лежать на оси о на расстоянии (О„+о„)/2 от начала координат. Пометим индексами 1 и 2 точки пересечения окружности с осью О, дуга 1х, измеряется углом 2а, направление главной оси номер 1 получим, откладывая угол а от оси х, в противоположном направлении. Радиус круга равен (О, — О,)/2, он представляет собой гипотенузу заштрихованного треугольника. Отсюда следует о, — О, = ) (΄— О„) + 4О,2. (7.6.1) З 7.7. РАЭЛОХ1ЕЕИЕ ТЕНЗОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ 227 сделать выбор между ними.
Поэтому более удобны следующие формулы, вытекающие из рассмотрения треугольников 2х1М или х,1М: а о — с 72 а о — а с з 1$ (7.6.4) Из рассмотренпя круга Мора сразу ясно, что касательное напряжение достигает наибольшего по абсолютной величине зна- чения на площадках, составляющих с главными площадками угол Ы4.
На круговой диаграмме им соответствуют точки р и д. Величина этого касательного напряжения равна (и, — О1)/2, как было показано в Э 7.5. Очевидно, что точно такая же диаграмма будет изображать тензор двумерной деформации. Если задано трехосное напряженное состояние о, > О, > с„круговую диаграмму Мора можно построить для трех Рис. 7.6.3 плоскостей 12, 28 и 18, как показано на рис. 7.6.3. Наружный круг проходит через точки (О„О) и (О„О) плоскости от и заключает внутри себя два других круга.
Можно показать, что для всех площадок, ориентированных произвольным образом, точки, изображающие напряженные состояния, будут находиться в заштрихованной области. Доказательство будет приведено в з 49.2, где этот факт понадобится. б 7.7. Разложение тензора на девиаторную и гидростатическую составляющие По-прежнему для определенности будем вести речь о тензоре напряжений, хотя теория распространяется на любые симметричные тенэоры второго ранга. Положим ~1= ом = ЗО. (7.7.1) Величина о, а также тензор обо называется гидростатической составляющей тенэора напряжений, а разность Ое = Оз — О611 (7.7.2) называется девиатором тензора напряжений.
Девиатор не меняется от приложения всестороннего растяжения или сжатия. Действительно, если дополнительно приложено гидростатическое дав- Р ление р, то Оп = ΄— рбя, О' = Π— р, О71 = Оп. П~ 228 гл. т, овщАя теОРия деФОРмАций и нАПРяжений Совершенно аналогично определяется девиатор тензора деформаций. Здесь Зе=Е,=ее представляет собою относительное изменение объема при деформации. Первый инвариант девиатора вследствие определения тождественно равен нулю Х,=о. Второй инвариант девиатора определяется следующим образом: А'"и = (ап — бзза) (ан — бна).
Отсюда следует: :и = Хн- Я~ = Х вЂ”.3" (7.7.3) Точно так же, опуская элементарный вывод, запишем ХЦ,=ХН,-Х Х -Ы:. (7.7.4) Если представить величину ~п через главные напряжения, мы получим 2~Н- 3 1 = — [(а~ — аз)з + (аз — аз)зз+ (аз аз) 1. 1 ао — — — (аз + аа + аз) =- а. 3 По формуле (7.И9) т, = — [(а, — а,)з+ (а, — оз)' + (а, — а,)'[Из. (7.7.5) 3 Таким образом, Хн = Зто (7.7.6) Величину октаэдрического сдвига мы определпм по формуле уз 3[(е,— е,)'+(е,— е,)'+(е,— е,)']''.(7.7.7) Простое и наглядное истолкование этой величины можно получить следующим образом.
Вычислим напряжение на площадке, равнонаклонной ко всем трем главным осям. Будем называть эту площадку октаэдрической, а действующие на ней напряжения октаэдрическими напряжениями. Для октаэдрической площадки п, = — и, = и, = 1/УЗ. По формуле (7.4.7) З 7.7. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕНЭОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ 229 Поэтому — з Е77 = — 4 УЗ (7.7.8) Разница между формулами (7.7.5) и (7.7.7) связана с тем, что компонентами тензоров являются касательные напряжения и половины сдвигов, значит величина ТЗ соответствует 72/2.
Итак, нормальное з и касательное напряжения на октаэдрической площадке представляют первый инвариант тензора напряжений и второй инвариант девиатора наиболее е. с1 простым и естественным образом. Отметим еще одно истолкование величины второго инварианта девиатора тензора напряжений, принадлежащее В. В. Новожилову. Вычислим сред72 нее квадратичное значение касательного напряжения на поверхности сферы. Рис. 7.7.1 Воспользуемся для этого формулой (7.5.2), приняв в ней н1 х1lг. Вычисляя интеграл ) ЗЧО, мы встретимся с интегралами двух типов: 1,-2(~ — — *,)22, 1,— 22' — *, 22.
Очевидное преобразование приводит 7, к следующему виду: ЯЗЗ'22 Х 21+Х 2 1 З Отсюда следует, что = — 72 ((О, — ОЗ)'+ (Оз — Оз)'+ (пз — О1)') 1 Таким образом, октаэдрическое касательное напряжение отличается от среднего квадратичного касательного напряжения только множителем, который легко вычисляется, но не будет нам нужен. Возвращаясь к октаэдрической плоскости, попытаемся зафиксировать не только величину, но и направление октаэдрического ьасательного напряжения. Приложим к телу гидростатическое напряжение с интенсивностью ( — О), тогда на главных площадках будут действовать напряжения а, о,— О, О,=О,— О, О,=О,— О, а на октаэдрической площадке нормальное напряжение исчезнет, тогда как касательное сохраняет свою величину т,.
Обозначим через (1 еди- 231 З 7.8. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ напряжений: О, = о+ у'2тзсозй, / 2И1 Оз =о+ ~2тзсоз~, З 4Л1 Оз = О+ У278 соз ~0 — — ). (7.7.9) Угол 6 называется углом подобия девиатора тензора напряжений. Величины О, т, и 6 могут быть приняты за систему инвариантов тензора напряжений, величину 9 легко связать с третьим инвариантом девиатора. Действительно, в главных осях ~~д~111 = (О, — О,)'+ (О, — О,)'+ (О,— О,)'. Подставляя сюда (7.7.9), получим з — тз сов 377.
и1 (7.7.10) з 7.8. Общие криволинейные, цилиндрические и сферические координаты Вся приведенная выше теория напряжений и деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволинейным координатам е;=ги, по отношению к атому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. Формулы (7.2.3) и (7.2.8) сохраняют силу: 1 ем = — (и19+ и;,1 + и8,1имд), или еп = — (игл+ нк1), но теперь индексы после запятой обозначают коварнантное диф- ференцирование дз1 и19 = — ' — ГИНЮ (7.8.1) Если вектор перемещения и тензор деформации задаются кова- Заметим, что формулы (7.7.9) по существу представляют собою форму представления решения кубического уравнения с коэффициентами 1о йм Х,; это регпение было известно давно вне связи с теорией симметричных тензоров второго ранга.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
