Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 51
Текст из файла (страница 51)
растягивающей силы от деформации. Пример неустойчивости такого рода был рассмотрен в з 4Л3. Для геометрически нелинейных систем теорема единственности несправедлива: нарушение единственности соответствует потере устойчивости упругого тела. Рассмотрению подобного рода задач в элементарной постановке была посвящена вся четвертая глава. 248 ГЛ.
8. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБШИЕ УРАВНЕН<<Я й 8.5. Уравнения теории упругости в перемещениях и в напряжениях Уравнения (8.4.1) — (8.4.4) можно привести к системе трех уравнений для нахождения трех неизвестных компонент вектора перемещения и». Для этого, прежде всего, комбинируя (8.4.3) и (8.4.4), запишем $ Оп — — — Е«ы (им<+ и<,ь) ° (8.5.1) Внесем (8.5.1) в уравнения (8.41) и получим следующую систему: Ец«(иа ц + и, «)+ 2Е» = О.
(8.5.2) Эти уравнения образуют систему шестого порядка. Для изотропного тела по формуле (8.2.6) Е»я< = Хбцб«+ 2рб«бв. Подставляя в (8,5.2), вычислим по отдельности входящие туда суммы боб<»иа, ц " иа и 6,<. Действительно, множитель бцб«отличен от нуля только тогда, когда у = < и 1= «. Точно также бцб,и< я= ил„» 6,<, 6»,бви„ц — — и, <А = 6<и», 6«6«и< и= ими= 6<. В результате для изотропного тела получаем систему уравнений, которую обычно называют уравнениями Ламе, (Х+ р) 6, + )АЬи< + Е< = О.
(8.5.3) В большинстве задач теории упругости можно считать объемные силы отсутствующими и полагать Е< = О. Действительно, объемные силы выражаются обычно весьма простыми функциями от координат (например, сила тяжести), и нахождение частного решения уравнения (8.5.3) труда не составляет. Это частное решение может быть любым, вся разница будет сводиться к изменению граничных условий, которые теперь ставятся уже для однородной системы (8.5.3). Нахождение решения этой системы при ааданных граничных условиях и составляет основную трудность. Сделаем некоторые заключения о свойствах функций иц вытекающие иа (8.5.3). Полагая Е< = О, продифференцируем каждое из уравнений по соответствующей координате х< и произведем 249 З ЗВ.
УРАВНЕПИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ свертку по индексу ». Получим ЛО =О. (8.5.4) Таким образом, объемное расширение в упругом изотропном теле при отсутствии массовых сил есть гармоническая функция. Взяв теперь оператор Лапласа от левой части уравнения (8.5.3) при Р» = О, убедимся в том, что й»хи; = О. (8.5.5) Каждая из компонент вектора перемещения представляет собою бигармоническию функцию от координат. Однако не следует думать, что задача теории упругости может быть сведена к интегрированию системы (8.5.5) или что величина 0 может быть найдена по известным методам решения уравнения Лапласа.
Величина 6 никогда не бывает задана на границе и определить ее, решая задачу Дирихле, не удается. Система (8.5.5) представляет собою систему двенадцатого порядка, тогда как исходная система (8.5.3) шестого порядка. Чтобы определить бигармоническую функцию, на границе области необходимо задать два условия, например, и, и ди»/дп, т.
е. нормальную проиаводную от иь тогда как для решения системы (8.5.3) достаточно задать только величины и, в каждой точке поверхности. Относительно легко построить три бигармонические функции, принимающие на границе заданные значения, но вообще они не будут удовлетворять уравнениям (8.5.3). Постановка граничных условий для уравнений Ламе особенно проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упругости, т. е. когда на поверхности задано и; = и».
Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука выразить напряжения через деформации, т. е. первые производные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким образом, на границе оказываются заданными некоторые линейные комбинации из первых производных функций и„которые мы выписывать не будем. С другой стороны, за неизвестные можно принять компоненты тензора напряжений. Дифференциальные уравнения равновесия, которые мы переппшем, положив равными нулю объемные силы в соответствии со сделанным вьппе замечанием (8.5.6) Ов, » = О недостаточны для определения напряженного состояния в упругом теле.
Недостающие уравнения можно было бы получить сведующим образом. Выразим деформации через напряжения и подставим полученные выражения в уравнения совместности (7.3.7) и (7.3.8). Однако поскольку уравнения Ламе уже выведены, мы можем прийти к цели более коротким путем. 250 ГЛ. 8. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ Перепишем уравнения Ламе в виде Вычислим теперь оператор Лапласа от компоненты деформации Леа = — (Ли;; + Ли; 8) =- — — 8 а. (8.5.7) С другой стороны, из уравнений закона Гука (8.3.1) следует Х е" = — а" — — 88" и 2Р а 2 мг 1 Леа = — Лаа. Р При написании последней формулы учтено, что ЛО = 0 (8.5.4).
Внеся выражение для Лес в (8.5.7), получим Лаз+ 2(Л+ р) Е,„= О. Теперь осталось лишь заменить 8 через а с помощью (8.3.4). Окончательно получим Лам+ ам=О, или Лам+ ам=0. (8.5.8) 6(Х+ Р) 3 ЗА+ 2Р 8+т Уравнения (8.5.8) называются уравнениями Бельтрами — Митчела (более точно — Митчел получил их для отличных от нуля объемных сил, что не вносит сколько-нибудь существенпых осложнений.
По указанным выше причинам нам казалось бесполезным приводить зти более полные уравнения). Свертывая (8.5.8) по индексу 8, убеждаемся, что Ла=О. (8.5.9) Беря оператор Лапласа от (8.5.8), находим ЛЛОО = О. (8.5 10) Соотношения (8.5.9) и (8.5.10), конечно, немедленно следуют из (8.5.4) и (8.5.5). Система уравнений Бельтрами — Митчела — зто система 12-го порядка. Произведя дифференцирование при их выводе, мы искусственно повысили порядок исходной системы. В результате оказывается, что возможные решения системы (8.5.8) порождают класс функций более широкий, чем возможные решения задачи теории упругости. Решения системы (8.5.8) не обязательно удовлетворяют уравнениям равяовесия. Это ясно хотя бы из следующего примера.
Пусть напряжения — произвольные линейные функции координат аа — — ач,х„. Поскольку уравнения (8.5.8) содержат лишь вторые производные от ао, зги уравнения будут выполнены тождественно при любых значениях постоянных аем 251 з з.з. темпкглтугные эФФккты Но подставляя цц = ач„х„в уравнения равновесия, мы найдем, что эти постоянные связаны тремя условиями вида аьц = О. Если на всей поверхности тела заданы усилия, граничные условия задают на поверхности линейные комбинации искомых функций, т. е. напряжения. Но если заданы перемещения точек поверхности, то сформулировать граничные условия в напряжениях в общем виде невозможно; эти условия будут содержать некоторые интегралы от напряжений и их производных, которые получатся, если в формулы Чезаро внести выражения деформаций через напряжения по закону Гука.
Иногда, например, в плоской задаче теории упругости соответствующие преобразования удается довести до конца. з 8.6. 'Температурные эффекты Всякое твердое тело расширяется при нагревании и сокращает свои размеры при охлаждении. Если к телу при этом приложены силы, они совершают работу; таким образом, тепловая энергия превращается в механическую. Применение к упругому телу законов термодинамики показывает, что возможно и обратное превращение.
Будем исходить из опытного факта, состоящего в том, что упругая деформация и температурная деформация аддитивны. Поэтому пц = Ецц(ен — иппТ). (8.6.1) Здесь ам — тензор коэффициентов термического расширения, ЬТ = Т вЂ” Т, — изменение температуры. Соотношения Дюамеля— Неймана (8.6.1) мы будем принимать за первичный опытный факт. Постоянные Ецп определяются при Т = Т„ЛТ = О, т. е. в изотермических условиях. Если ЬТ не мало, то Ец„и ац должны рассматриваться как функции температуры; мы будем считать разность ЛТ настолько малой, что модули и коэффициенты расширения могут считаться постоянными. Таким образом, (8.6.1) представляют собою закон термоупругости в изотермических условиях.
Для обратимого процесса дЧ' д'т пп — — —, Я= — —. дец ' дТ Здесь Ч' (ец, Т) — свободная энергия, Š— удельная энтропия. Интегрируя (8.6.1), находим 1 'х'= — Е1 менем — Епмамец. (Т То) + ~(Т) (8.6.2) и, следовательно, Я = Еццо., ец — )'(Т). (8.6.3) ,Внутренняя энергия, как известно, выражается следующей 252 ГЛ. 8. ТЕОРИЯ У11РУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ формулой: (7 = — Епмепем + ЕИУАа81еОТ8 + ) (Т) — Т)' (Т). (8.6.4) При фиксированной деформации изменение свободной энергии совершается только за счет поступления в упругое тело тепла извне, следовательно, )(Т) — Т)'(Т) = с Т.
Здесь с. — теплоемкость при постоянной деформации, которую мы считаем постоянной, как и другие параметры, если приращение температуры невелико. Дифференциальное уравнение для функции )(Т) получилось таким же, как в теории газов, интегрируя его,находим 3(Т) — с,Т)п Т, подставляя в (8.6.3), получаем выражение для энтропии Е = ЕН81ггмеп+ с, 1Я т —. Т (8.6.5) о Аддитивная постоянная в выражении для энтропии выбрана так, чтобы было 8 = О при 8„=0, Т = Т,.
Теперь, разрешая (8.6.5) относительно Т и подставляя в (8.6.4), находим 1 (у — Г,,ы ы „') Г(ем, Е) = — Енр~епеы+ Е 1ыехиеОТ8 + с, ехР ( (8.6.6) дер де1 Как известно, ОП =- —, Т = —. В адяабатическом процессе 8 =сопзс, при Т= Т, было 8=0, следовательно, в (8.6.6) следует принять Я=О. Соотношение между Ое и еее в этом случае получается вообще говоря нелинейным, но сохранение этой нелинейности не имеет смысла, поскольку нелинейные члены имеют тот же порядок, что и отброшенные ранее малые величины, например, изменение модулей с температурой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
