Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 53
Текст из файла (страница 53)
3АмечАния О ВАРНАцпонных пРинципАх 259 положительной, либо отрицательной. Поэтому обращение в нуль первой вариации функционала не означает, что функционал достигает при этом экстремального значения. С функционалом Лагранжа дело обстоит иначе. Вторая, вариация его выражается следующим образом: 2,) де.. де Н ы Фигурирующая под интегралом квадратичная форма положительно определенна для любой разумной модели материала, для которой справедлива теорема единственности (4 8.4). Можно показать, что если функция П всюду строго выпукла, т.
е. если ага квадратичная форма положительна всюду, функционал имеет абсолютный максимум для истинного поля перемещений. Если в» есть некоторое поле перемещений, не представляющее собою решение рассматриваемой задачи теории упругости, а и» вЂ” истинное поле перемещений, то у» (к<) ~ '~з <в<<' (8.8.1) Для линейного закона упругости 1 дбг 2 де< деа< Н А< ( <<).
Эта квадратичная форма положительно определенна, третья и следующие вариации функционала Тч тождественно равны нулю; таким образом, докааывается неравенство (8.8.1), которое носит не локальный характер. Аналогичным образом доказывается, что функционал Кастильяно для истинного напряженного состояния принимает минимальное значение Уо (о< ) ( Ус(оц). (8.8.2) Вариационный принцип Лагранжа представляет собой прямой реаультат применения к упругому телу начала возможных перемещений. Пусть тело находится в равновесии под действием внешних сил )г< ИТ<, которые совершают работу на перемещениях и».
Внутренние силы, т. е. напряжения — а«, совершают работу на соответствующих им обобщенных перемещениях ец. Введем в рассмотрение систему воаможных перемещений би„которые непрерывны вместе со своими первыми пронзводными и обра<цаются в нуль при х< ш бю Виртуальная работа всех сил, включая внутренние, должна быть равна нулю, следовательно: ) г"<би< д(г+ ) Т<би,. дд — ~ и,. бе др= О. (8.8.3) Но бц = дУ/дсц, поэтому пцбец = И7, при х< енЯ поверхностный интеграл обращается в нуль, тогда какпрн л<ш УтТ<=Т, поэтому (8,8.3) можно ваписать в виде 67„= О, где ӄ— функционал Лагранжа (8тдб).
Для вывода варнационного принципа Кастильяно, рассмотрим воображаемое напряженное состояние бац такое, что бац, » = О, боцл< = О, з» <н Бг. Значения, которые принимают величины бац на части поверхности 8„, могут быть произвольны. Поскольку состояние бпц удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, приняв за внртуальные перемещения истинные перемещения и< и соответствующие 17а 260 Гл. з. теОРия Упругости. ОБщие уРавнения деформации ем = и<», »>. Получим — ~ биме» ду+ ~ бо..идиа <4У= О, (8.8.4) а так как ео = дФ)до»ь то бимсы = бФ, и уравненпе (8.8.4) может быть ааписано в вйде баа=О, где фунционал <, определяется формулой (8.7.6). б 8.9. Обобщенные силы и перемещения ~ Р»и»Л'+ ~ т»и г)8= Р,д,.
(8.9.1) Здесь 4<, — обобщенные перемещения. Рассмотрим несколько примеров. 1. Сосредоточен>»ая сила. Предположим, что на части поверхности ЬЯ приложена распределенная нагрузка постоянной итенснзности Т<. Положим Р< = Т<1»8. Будем неограниченно уменьшать размер площадки йд, стягивая ее к точке поверхности М, и одновременно будем увеличивать Т< так, чтобы произведение Т<ад оставалось постоянным. В пределе мы получим сосредоточенную силу с компонентами Р».
Теперь по теореме о среднем ~ Т,.и» дл = и»(М') ГТ» дл= и»(ЛП) Р<.. а'а ан Здесь М' — точка, принадлежащая площадке йо. В пределе точка М' совпа- дает с точкой М. Таким образом. С<» = Р», а» = и»(М). П р п м е ч а н п е. В линейной теории упругости перемещение в точке приложения сосредоточенной силы бесконечно велико, как будет показано далее (4 11.2). Это не должно влиять на данное выше формальное определение (>< и а<. На сосредоточенную силу мои<но смотреть как на совокупность трех сил, каждая из которых направлена параллельно одной из координатных осей.
Но можно рассматривать зту силу как одно целое, нриняв Для стержневых систем вариациокиые принципы Лагранжа и Кастильяко были уже установлены выше, а именно в 3 5.2. Там же упоминалось о воэможности построения Омешанеых вариационных принципов, в формулировке которых участвуют как силы, так и перемещения. Способ доказательства был подобен тому, который изложен в $8.8.
Во всех реальных случаях действующие иа тело силы могут быть представлены как линейные функции конечного числа или счетного множества параметров, которые мы будем называть обобщенными силах»и и обозначать»дз. Работа сил иа вызванных ими перемещениях может быть всегда представлена следующим образом: 5 з.з. ОБОБщенные Гилы и певезтещения 26$ ва обобщенную силу величину Е = 1/С,'+ Е,'+Е,'.
Соответствующее обобщенное перемещение представляет собою проекцию полного перемещения па направление силы чтут+ чзуз+ ~)зуз Действительно, работа может быть представлена следующим обраэовп е +е .+е .=а. 2. Сосредотрненнмй момент. К упругому телу прикреплена абсолютно жесткая шайба (рис, 8,9А). К атой шайбе приложены две параллельные Рис. 8.9А Ркс. 8.9.2 и противоположно направленные силы Р и — Р, расстояние между инки равно й. Работа этих сил А = Ри1 — Риз. Положим Р = ч/й, тогда и — и 1 з А=О Величина (и| — из)/й представляет собою угол поворота жесткой шайбы. Перейдем теперь к пределу, увеличивая безгранично силу Р и уменьшая плечо а так, чтобы момент Ч = Ргг оставался неизменным.
В пределе мы получим то, что называется сосредоточенным моментом, его можно принять ва обобщенную силу. Соответствуюпшм обобщенным перемещением будет угол поворота элемента, к которому приложен момент. 3. Произвольпая ноиеречная нагрузка р(х), действующая на балку. Как следует из результатов з 3.8 прогиб балки о(х) при любой поперечной нагрузке представляет собою функцию, непрерывную вместе со своей производной. Па рис. 8.9.2 иаображена балка, свободно опертая на двух концах, для нее функция о(х) удовлетворяет следующим граничным условиям: о(О) ° = оЯ = О, о",(О) = оо(1) = О. Поэтому функция о(х) представляется в виде равномерно сходящегося ряда синусов кратных аргументов: кях о (х) = ~~)'„дз з1п— Счетное множество коэффициентов ряда уз может быть принято за совокупность обобщенных перемещений.
Если р(х) есть нагрузка, то йпх 0„= ~ р (х) з(п — ах. о При этом функция р(х) должна быть только интегрируемой, она может 262 Гл. 8. Теория упРуГОсти. ОБщие уРАВнения принадлежать к классу обобщенных функций, т. е. седер>вать дельта-функции и их преиееедные; функция р(*) вообще не может быть представлена в виде тригонометрического ряда. Поскольку все уравнения теории упругости линейны, всякое решение задачи теории упругости, т.
е. напряжения, деформации н перемещения, выражается линейным образом через приложенные внешние силы. А эти силы, как мы выяснили, сводятся к конечному числу или счетному множеству обобщенных сил. Поэтому объемный интеграл, фигурирующий в выражении функционала Кастильяно (8.7.6), есть квадратичная функция от обобщенных спл ~Ф(ои) сЛг = Ф Я,). У Поскольку Ф(ое) представляет собой положительно определенную функцию ое, интеграл от нее по объему )г есть положительно определенная функция от ч.. Поверхностный интеграл в (8.7.6) выражает работу сил, приложенных к поверхности, ее можно также записать через обобщенные силы и перемещения.
В результате функционал (8.7.6) перепишется следующим обравом: Х, = Ф(ч,) — ч,д,. (8.9.2)' Пусть сила ч получила приращение бч, тогда из условия бу,=О получим дФ дО 3 — 62уа — Чтбйл = О, отсюда (8.9.3) В такой формулировке теорема Кастильяно ничем не отличается от теоремы, приведенной в у 5.2 для стержневых систем. Точно таким же способом, если считать заданными перемещения дь компоненты деформации представятся как линейные функции от ре поэтому ) (7 (ем) Н)т = 87 (дт).
Функционал Лаграняса (8.7.5) принимает вид 1. - — (7(йг)+ Оойь (8.9Л)' Варьируя только одно перемещение, например д, получим (8.9.5) 1 8.10. теОРемы клАпеиРОИА и ИАксвеллА — Бетти 263 При выводе формул (8.9.3) мы считаем заданными внешние силы, при выводе формул (8.9.5) считали заданными перемещения. Этим отнюдь не ограничивается общность соответствующих выводов. Если рассматривается задача со смешанными граничными условиями, то ее можно представить как задачу с заданными силами, только часть этих сил известна, а часть представляет собой силы реакции связей, которые заранее неизвестны. Будем обозначать неизвестные силы через Хн а соответствующие перемещения через хо Тогда по формуле (8.9.3) (8.9.6) Но если силы Х, неизвестны, то должны быть заданы перемещения точек их приложения х;, поэтому (8.9.6) представляет собою систему уравнений для нахождения неизвестных Х».
Обычно неизвестную реакцию можно выбрать так, чтобы соответствующее перемещение было равно нулю; такого рода примеры были приведены в з 5.2. й 8ЛО. Теоремы Клапейрона и Максвелла — Бетти Тот факт, что упругая энергия»»'=Ф представляет собою однородную квадратичную функцию от обобщенных сил или обобщенных перемещений, позволяет немедленно доказать две простые теоремы, а именно: Теорема Клапейрона. По теореме Эйлера об однородных функциях 25» = — д» = (»»у», дг» в»т» 2Ф = — ~)~ — — »»»д», доз отсюда 5' = Ф = — »,»»д». 1 (8.10Л) У'пругая энергия равна половине работы внешних сил на»лх перемещениях, Если не вводить в рассмотрение обобщенные силы и обобщенные перемещения, то можно переписать соотношения (8ЛОЛ) следующим образом: Ь = Ф » ) Р»и»»"" + '» ) 7»и»» 1»' 1 (8Л0.2) Теорема Максвелла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
