Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В рассмотренном примере й = 2. Предположение об однородности напряженного состояния при решении задач концентрации напряжений не обязательно. Действительно, если поле напряжений меняется в аависимости от координат, то всегда можно указать характерную длину, на которой происходит это изменение, и если размер концентратора достаточно мал по сравнению с этой характерной длиной, то напряженное состояние можно считать однородным и переносить граничные условия на бесконечность. Проиллюстрируем это на примере вращающегося диска. Формулы (8Л2.9) указывают, что распределение напряжений в диске неоднородно, характерная длина. на которой они меняются, есть радиус диска Ь.
При 3 + т г = О о = оез = 8 Рв Ь . Если з центре диска сделано отверстие радиусом а, причем а П Ь, то следует ожидать, что максимальное напряжение будет вдвое больше. Не составляет труда решить задачу о диске с центральным отверстием точно. Для этого нужно определить константы з формулах (8.12.9) из граничных условий: о, = О при г = а и при г = Ь. После несложных вычислений, находим 3+,)' з з а'Ь' о„„= — рв Ь +а — — — г 3+т з з з аЬ 1+Зт о = — рв Ь+а+ — — — г ее= 8 3+о /. При г= а сев — — + рв'Ь (1+ 4 ( (3+т)Ь / 3+о ЕСЛИ а -~ О, ОВЕ -в 4 рВ Ь, т.
Е, ОКаЗЫвавтСя РОВНО ВДВОЕ бОЛЬШЕ, ЧЕМ для сплошного диска. В рассмотренном примере мы смогли оценить эффект концентрации и в том случае, когда отношение а/6 произвольно. Вообще такие задачи, когда размер концентратора сравним с Размером тела и расстоянием от концентратора до границы, оказываются существенно более сложными, в болыпинстве случаев Результат удается получить лишь с помощью численных методов. 18 Ю. Н, Равотзоз 274 ГЛ.
8. ТЕОРИЯ УНРУГОСТИ. ОВШИЕ УРАВНЕНИЯ 4 8.14. Концентрация напряжений у сферической полости 81 и; = и„(г) —. (8.14 4) Дальнейший ход решения должен был бы заключаться в следующем. Выражения для и; подставляются в уравнения Ламе при Р;= О, каждое из этих трех уравнений приводится к одному и тому же дифференциальному уравнению для функции и„(г).
Это будет уравнение второго порядка, следовательно, два независимых частных решения определяют его общий интеграл. Естественно ожидать, что эти частные решения, как и в осесимметричной задаче, будут степенными функциями от г. Чтобы Рассматриваемая ниже задача представляет собою пространственный аналог той плоской задачи о концентрации напряжений, которая была рассмотрена в предыдущем параграфе. Всеконечно упругое пространство растягивается во всех направлениях равномерно, в этом пространстве содержится сферическая полость радиусом а. Употребляя термин «упругое пространство», мы должны представить себе тело достаточно больших размеров (линейный размер Ь) на границе которого приложена нагрузка, создающая в нем равномерное растяжение во всех направлениях с интенсивностью О. Если тело не содержит полости, т.
е. нет второго характерного размера, с которым можно сравнивать размер тела 7, нет необходимости говорить о том, велик этот размер пли мал. Но если речь идет о концентрации напряжений около полости радиусом а, коэффициент концентрации будет зависеть от малого параметра а/Ь и при стремлении этого параметра к нулю будет стремиться к некоторому конечному значению, которое не может зависеть ни от а, ни от Ь.
В примере с вращающимся диском в з 8ЛЗ этот предельный переход был сделан явно, что оказалось возможным ввиду простоты задачи. Вообще, полагают этот малый параметр равным нулю с самого начала, это можно сделать, либо считая размер а бесконечно малым, либо размер 7 бесконечно большим. Делая второе предположение, мы приходим к представлению об упругом пространстве, т. е. об упругой среде, заполняющей все пространство.
Поставленную задачу естественно решать в сферических координатах; воспользовавшись уравнениями (7.8.6) и (7.8.7), можно решать ее в декартовых координатах и лишь окончательный результат представить в сферических. Мы пойдем по этому второму пути. При наличии сферической симметрии перемещения направлены по радиусам, выходящим из центра симметрии, и величина перемещения зависит только от расстояния точки до центра симметрии г. Компоненты перемещения и1 будут проекциями вектора радиального перемещения и„на направления соответствующих осей, т. е.
з зл4. нАпРяжения у сФеРическои полости 275 упростить дело, будем сразу искать перемещения в виде И, = Г"Хз (8.14.2)' и попытаемся удовлетворить уравнениям Ламе. Заметим предварительно,что дг дг а) г = х1хз = г хз, следовательно, г — = хз, б) бпх,= х,; в) бв = б«+ б22 + бм = 3. Дифференцируя (8.14.2) по хь найдем и =пГзх,хг+ 1' б (8.14.3) (8.14.4) Отсюда О = и2л =(п+ 3) г". из= Сг+ гз х1. (8.14.5) Сравнивая с (8.14Л), находим радиальное перемещение С и, = С,г+ — ',. (8.14.6) Получим теперь формулы для напряжений.
Заметим, что при п = — 3 9 = О, при п=О по формуле (8.14.4) 9= 3; эту величину нужно умножить на С2. Величины ее представляют собою суммы выражений, определенных формулами (8.14.3) при п= О и п= — 3, умноженных на соответствующие константы. Подставляя в формулы закона Гука, найдем хх Оз 21 Ом = С1 (3Х + 2р) бп + Сзр — 3 — з + — 'з /. (8Л4,7) гз г Вырежем мысленно элемент, изображенный на рис.
8Л4.1. Две грани его принадлежат поверхностям бесконечно близких 182 Выражение для и,„симметрично относительно индексов 1 и у, поэтому и,; = изь следовательно, ее=и;Р Продифференцируем выражение для и2; по х„. Получим, учи- тывая замечания а) и б), изи= п(п — 2)г" 'хзтхз+ пг' '(хбп+ хвге+хзб21).
Для подстановки в уравнения Ламе нам понадобится выражение Лис= игв. ПРоизвеДем свеРтывание пРеДыДУЩего Равенства по индексам 1 н й. После приведения получим Ои1=п(и+3)г" х,. Подставим О и Ли2 в уравнение Ламе. В результате получится п(п+ 3) (й+ 2р)г" 'х, =О. Это равенство возможно при п = О и п = — 3; таким образом: 276 гл. з. ткогия мп угости. окщик угявккпия концентрических сфер радиусом г и г+аг, остальные грани вааимпо ортогопалькы и ориентированы произвольным образом. Нормальные напряжения ка сферических элементах мы обозначим п„это есть радиальное напряжение. Нормальные напряжения ка других гранях одинаковы, обозначим их по Касательные иа- пряжекия отсутствуют.
Это за- 3 ключекие есть необходимое следствие предполагаемой центральной симметрии, в касательзт ной плоскости к сфере нельзя указать предпочтительного иа- 0 правления. Мы можем напра- вить оси координат, как покаРис. 8.14.1 зало ка рисунке, ось х, — по радиусу, оси х, и х, — параллелько нормалям к остальным граням. Тогда координаты элемента будут х„О, О, г =х„о„= о„о„= осе = пн Подставляя в (8Л4.7), получим 2Ср С,р пт = С,(ЗЛ + 2)г) — †'з , и, = С, (ЗЛ + 2)г) + 'з ° (8.14.8) С помощью формул (8.14,8) можно регпить задачу о полой сфере под действием наружного и внутреннего давления, совершенно аналогичную рассмотрекпой ранее задаче о трубе.
Мы ие будем выписывать относящиеся сюда формулы, которые получаются элементарно. Отметим двз частных реже — ия, представляющих определенный интерес, а. Концентрация напряженна около сферической полости, Положим С1(8Л+ 2р) = са Из формул (8И4,8) следует, что при т-час напряженное состоявие стремится к состоянию всестороннего растяжения (или сжатия) напряжением оа Сферическая полость имеет радиус а, лри т = а с, = О.
Отсюда следует — 2Ср=ао, о =о (1+2 2 е т о л тз Напряжение о~ достигает максимального значения (с~) „= е/есе ври т = = а; таким образом, козффициеит концентрации равен 3/2. б. Центр расширения. Положим С~ = О и будем считать тело кеогрзиичеллым. На поверхности сферы радиусом а перемещение ит по формуле (8И4.6) равно Се/а'. Умножив величину перемещения иа площадь поверхности сферы, мы получим изменение ее объема 4итпае = 4пСе = ЬУ.
Следовательно, Ст = Ь(т/(4п). Таким образом, решена следующая задача. В бесколечвое упругое пространство вставлена абсолютно жесткая сфера радиусом а. Радиус ее увеличился вследствие каких-то причин так, что объем сферы получил приращение Ь'т'. Напряжения во всем упругом 5 зл4. напряжения у сФеРическОЙ пОлОсти 277 пространстве даются формулами ЕУ р а = — — —, т яя „з~ ЕУ р с = —— 4л гз (8.14.9) которые имеют смысл, конечно, только при г) а. Существенно заметить, что в эти формулы радиус жесткой сферы а не входит, напряжения и перемещения в произвольной точке зависят только от того, как изменился объем жесткого включения, но не вависят от размеров включения. Поэтому радиус а можно сделать сколь угодпо малым, можно даже перейти к пре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
