Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Дифференцируя по е„, разлагая в ряд экспоненту и удерживая лишь первые два члена в разложении, получим тр ам = Епм + — ~Е81„еЕОр,п„ирз ем. (8.6.7) е Составляющие тензора четвертого ранга, заключенные в скобки в формуле (8.6.7), представляют собою адиабатические модули упругости, которые больше чем изотермические. Для металлов 3 ЗЛ.ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ гбЗ вта разница весьма мала, величина ее для одноосного растяжеиия была оценена в $ 2.9, зта оценка сохраняет порядок величины и для общего случая. Дифференцируя (8.6.6) по Я, полагая Я=О и удерживая два члена разложения экспоненты в ряд, найдем изменение темпе- ратуры У вЂ” Т 1 о т — — Епд,ид,еесь з е (8.6.8) 3 8.7.
Вариационные уравнения теории упругости Система уравнений теории упругости и граничные условия представляют собою уравнения Эйлера и естественные граничные Условии некоторой вариационной задачи. Построим следующий функционал: Х = ~~а77(еп — — и;; — — и,;) — П(еп) + Р7и;~ 8)7+ + ~ Т;и77)$ + ) они, (и; — и;) еде. (8.7,1)7 Разница между адиабатическим и изотермическим модулями объясняется тем, что при деформировании температура меняется н происходит температурная деформация, приложенные напряжения должны не только вызвать заданную деформацию, но и компенсировать температурную. Преобразование Лежандра позволяет получить энтальпию как функцию напряжений и энтропии и свободную энтальпию как функцию напряжений и температуры.
Таким образом, потенциалом напряжений для изотермического процесса служит свободнан энергия, для адиабатического — внутренняя энергия. Аналогичным способом получаются различные потенциалы деформаций длн изотермического и адиабатического случаев. Коли теплоизоляция отсутствует или же процессы не настолько медленпы, чтобы все время существовало температурное равновесие с окружающей средой, часть механической энергии, превращающейся в тепло, будет рассеиваться. Совместное рассмотрение уравнений теории упругости с температурными членами и уравпений теплопроводности позволяет ставить так называемую связанную задачу термоупругости. Обнаруживаемые при этом эффекты незначительны и в эксперименте их трудно отличить от эффектов, связанных с внутренним трением. Поэтому исследование эффекта температуры в теории упругости почти всегда основывается на уравнениях Дюамеля — Неймана (8.6Л), в которых модули упругости считаются постоянными и ке зависящими от характера термодинамического процесса.
254 Гл. 8. ТеОРия упРугости. Овщие уРАВнения Будем рассматривать в этом функционале и<, ве и ае как независимые функциональные аргументы и приравняем нулю вариацию этого функционала ц(вц 2 8888 ~58/+ оц ~бац 2 биу 2 Ьи~,8)— 58/ — — Ь.ц+ р8ь,~~а +~~ т,б,йз+ т + ( Ьацп;(и,— и~8) 8)у+ ~ оцп;бил. (8.7.2) вз ве Приравняв нулю множитель при Ьое в объемном интеграле, получим $ 'ц = 2 (п8ц + пя8) т. е. уравнение (8.4.4). Приравнивая нулю аналогичный множитель в поверхностном интеграле, получим граничное условие (8.4.5) Ф и8 = И8, Х8ЕНЯ .
Точно так же, поскольку (8,7.2) справедливо при любых аначе- ниях Ьес, из него следует уравнение (8.4.2) дЦ де, ' Теперь преобразуем с помощью интегрирования по частям ин- 1 (' теграл к. ) Оц(би;~+ Ьик8) ЫУ. Вследствие симметрии тензора а» он равен ) оцби;,8(г' = — ) оццби,йУ+ ~ оцп~биЖ. У У в С учетом выполяенного преобразования, а также уравнений (8.4.4), (8.4.2) и условия (8.4.5) вариация функционала перепи- жется следующим образом: ЬУ = ~ (оц, + Г;) Ьи;ИР— ) оцп;би;йб + 1 в„+вт + ) Т;Ьи,сну + ) оцп~би~ИЯ, (8.7.3) вг ви отсюда, вследствие произвольности вариаций Ьи~, получается ац;+ Г8 = О, х8 ЕЕ У, оцп; = Т;, х; ее $т, т.
е. уравнения равновесия (8.4Л) и граничное условие (8.4.6). 255 З 8.7. ВАРИАПИОННЫЕ УРАВНЕННЯ Принимая часть естественных условий вариационной задачи за предварительные условия, мы получим варпацпонные уравнения или вариационные принципы более частного характера, когда функционал зависит от меньшего числа варьируемых параметров.
а.Вариационный принцип Рейснера. Предположим, что варанее выполнены условия (8.4.2), следовательно, о„ представлены как функции деформаций еи и предполагается существование обратной зависимости. При этом природа этих величин не уточняется, т. е. не предполагается, что они выражаются через перемещения по формулам (8.4.4). Тогда входящая под интеграл комбинация оиеа может рассматриваться как функция от ое, так жв как и величина К Вследствие (8Л.4) ооее — 67(ео) Ф (ое).
Теперь функционал е перепишется следующим образом: »ае = ) ~ — — оц (иц; + и; ») + Ф (оц) + Р»и»~ »)У + ГГ 1 1 + ~ Т;и»а»Я+ ( о»»пз(и» вЂ” и,*)а»Я. (8,7.4) Индексы при обозначении функционала указывают на то, что он выражается через независимые функции ое и иь Варьируя эти аргументы, найдем б гие = ~ ~ — 2 боц (и»,7 + иь») — 2 оц (би»ц + Ьи; ») + 1 1 + е бо»»+ Р»би»~»)У+ ~ Т»би»»(Я+ + ~ Ьоцп;(и — и,') а»Я+ ~ о»,п»бн»»)Я. зи зи Приравнивая нулю множитель при бо„в объемном интеграле, сразу получаем 1, дФ 2 (и», + 77») =е —, Еа»7 Учитывая, что вследствие (81.5) ЬФ/дое — — еи, зто равенство представляет собою (8.4.4). Точно так же отсюда получается граничное условие при х» ~ Я„ и» = и». ПРежде чем приравнивать нулю множитель при би, необходимо Выполнить интегрирование по частям, как и в предыдущем слу- 256 Гл.
з. теОРия упРугости. ОБщие уРАВнения чае. После этого вариация функционала с учетом обращения в нуль членов, содержащих боо, примет вид, в точности совпадающий с (8.4.3); из произвольности би, вытекают дифференциальные уравнения равновесия и граничные условия при х, ~и Б;, как это было показано выше.
б. Вариационный принцип Лагранжа. Предположим, что заранее выполнены уравнения (8.4.4) и геометрическое граничное условие (8.4.5). Тогда функционал (8.7Л) приведется к следующему виду: Хи = ~ [ — (у (ем) + р';иь] й(т + ~ Т~и;йБ. (8.7.5) Функционал (8.7.5) называется функционалом Лагранжа, он зависит только от вектора перемещения иь поскольку фигурирующие в выражении (8.7.5) компоненты деформации предполагаются выраженными через перемещения. Прираеняем нулю вариацию функционала Лагранжа 6У = ) ~ —,—,, б и + Рьб '~ Л'+ ~ Т,'б 1аБ = О.
У зт Положим дгт дгм — = оп. Пока что на это равенство мы будем смотреть просто как на переобозначение для производных дП/бее. Теперь можно написать дгт — бец = а„.бец = Оцби; р Подставляя в выражение для 6У, и выполняя интегрирование по частям, найдем Ы„= ~ (ом; + р~) би;йт' — ~ оцн,би,йБ + ~ Т~ би~йБ. У е зт Но второй интеграл равен нулю на части поверхности Б„, так как геометрическое граничное условие на этой части предполагается выполненным и би,=О.
Поэтому из условия равенства нулю вариации бг„вытекает уравнение равновесия ае,+Р;=О и граничное условие Р спи; = Т,, х;ЕЕБГ. в„Вариационный принцип Кастильяно. Предположим, что выполнены дифференциальные уравнения равновесия н граничные условия на части поверхности Б„кроме того деформации свя- $8Л. ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ааны с напряжениями законом упругости. Последнее предположение делалось при выводе функционала Рейснера (8.7.4), поэтому мы примем за отправный пункт именно этот функционал, а не самый общий (8,7Л).
Преобразуем объемный интеграл — ) оц (ис; + и, с) с[)г = — ~ оц сис сс г'+ ~ оцп;ис с[8; с (' подставляя его в (8.7.4), получим Х„о = ) [(сцц+ Гс) ис+ Ф(ссн)) с[У' — ~ осСпСис ссо+ Й + ~ Т; и, с[Я+ ~ осбпДис — ис) Ю. зт ев Считая, что уравнения (8.4Л) и граничные условия (8.4.6) выполнены заранее, получим функционал, зависящий только от напряжений Хо = ~ Ф (оц) с[[г — ~ оцп и; саву.
(8.7.6) У да Функционал (8.7.6) называется функционалом Кастильяно. При варьировании этого функционала необходимо иметь в виду, что уравнения (8.4Л) и граничные условия (8.4.6) предполагаютсн выполненными. Поэтому должно быть босс > = О, Ьосспс = О, хс си 8,. (8.7.7)' Покажем, что условие 67.=0 влечет ва собою выполнение условий совместности для деформаций, которые пока что формально определены следующим образом: дФ е" = —. ц дос ' Варьируя функционал при условиях (8.7,7), мы воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа, т. е. будем рассматривать следующий функционал: )во = ) [Ф (оц) — Х; (оц,з + Рс)) с[сг— — ~ оцп;ис сс8 — ~ [Ас (ос,п; — Т,') с[Я. (8.7.8) Теперь вариации бее уже можно считать совершенно произвольными, т.
е. не подчиненными (8.7.7). Приравняем нулю вариацию 1? Ю, Н, Работвов 258 ГЛ. 8. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ этого функционала 6К, =- ) ( — — Лгд) боц <Лг — ~ боцп;и;«Я — ) )гбоцп; с(Я= О. У зз зт Преобразовав интегрированием по частям объемный интеграл, перепишем это условие следующим образом: 6К =- ~ ( — — Ль; ) боц <Лг+ ~ боцп (Лт — и; ) <)Я + + ~ боцп;(Лг — р,)с(Я, зт Отсюда дФ 1 ч д— — ец= 2 (Лгц+ ЛЛ<), Лг=и<, х<е=Я~, жц Л<=)г<, х< ИЯ . Таким образом, шесть формально введенных компонент деформации выражаются через вектор Л< точно так же, как определенные обычным способом компоненты деформации выражаются через вектор и,.
Теперь, зная ее, можно определить Л< интегрированием по формулам Чезаро и получить обычным способом уравнения совместности (7.3.5) или (7.3.6). Излипгне говорить, что введенный формально, как множитель Лагранжа, вектор Л< представляет собою в действительности вектор перемещения Л< — = и<. й 8.8. Некоторые замечания о вариационных принципах Вариацнонные принципы Лагранжа и Кастильяно были сформулнрованы независимо от общего варяацяонного уравнения 67 = О, где 7 выражается формулой (8.7й). Их называли и называют энергетическими принципамн, поскольку интеграл от (Г по объему есть упругая энергия, а для линейно-упругого тела, для которого принцип Кастнльяно был впервые сформулирован, Ф = (). Общая точка зрения, состоящая в тол<, что все уравнения теории упругости служат уравнениями Эйлера для некоторого функционала, была высказана Ващндзу в 1958 г., принцип Рейснера был открыт его автором в 1955 г.
Правда, позже было обнаружено, что общий варнацнонный принцип (8.7.2) был сформулирован еще в 1911 г. Хеллннгером, который опуолнковал его в издании, редко читаемом специалистами по теорнв упругости. Так или иначе принципы Лагранжа и Касгнльяно применяются в теории упругости чаще всего. Эти принципы имеют одно преимущество, состоящее в том, что онн являются окстремальнымн. Обращение в нуль первой вариации функционала означает, что величина этого функционала принимает стационарное значение, которое может быть максимальным нли минимальным илн пи тем, ни другим. Кслп вычислить вторую вариацию функционала (8.7.1] нлн функционала Рейснера, мы получим некоторую квадратичную функцию от вариаций боц, бац, би< в первом случае, би<, боц во втором. Вариацию этих аргументов можно всегда выбрать так, чтооы вторая вариация функционала была по нашему желанию либо аз.з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
