Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Квадратичная форма Ф имеет необходимым образом следующий вид: 1 Ф = — Ьп(Ы., где Ь„образуют симметричную матрицу. Обобщенные перемещения 264 ГЛ. З. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ выражаются следующим образом: о, = Ь„,ч,. (8ЛО.З)', Свойство симметрии коэфр»ициентов в соотношении (8.10.3) было обнаружено Максвеллом и сформулировано в виде соот- ветствующей теоремы. Теорема Бетти представляет собой по существу иную формулировку теоремы Максвелла. Пусть к одному и тому же Р телу сначала приложена система сил»е„которой соответствуют Р перемещения д„ потом система сил ч»., которой соответствуют перемещения т ° Тогда работа сил первой системы на перемеще- ниях точек их приложения, вызванных действием сил второй си стемы, равна работе сил второй системы на перемещениях точек их приложения, вызванных действием сил первой системы.
Действительно, У Ф Р д,»~', = Ь,,О,б»„о,о, = Ь,„О„К. Вследствие симметрии матрицы Ь,. правые части равны, отсюда следует (8Л0.4) Ф .е. = Д.а. Это же соотношение можно записать в иной форме ~ Ре»й»ЫУ+ ~ Т,й»йБ = ~ Р»й»»)У+ ~ Т»и,с(Е. У 8 У 8 (8.10.5) Тождество (8.10.5) представляет собой простое следствие симметрии тензора модулей упругости или тензора податливостей. Действительно, положим в правой части (8,10.5) Т» — — о»зп» и преобразуем поверхностный интеграл в объемный. Учитывая, что У напряжения пп удовлетворяют вместе с силами Е» дифференциальным уравнением равновесия, получим ') Е»й1»)У + ~ Т»й»д3 = ') о»зе»»аУ = ) Епз»еые»з»)У. (8.10.6) У 8 У У Выражение в правой части симметрично относительно верхних индексов «штрих» и «два штрихаэ, поэтому, преобразуя левую часть (8Л0.5) подобным образом, мы получим в точности такое же выражение.
Все приведенные теоремы — Клапейрона, Максвелла и Бетти были уже доказаны в з 5.3 для частного случая стержневых систем. С помощью формулы (8Л0.6) можно получить очень простые результаты, относящиеся к вычислению средних значений ком- Р понент деформации в напряженном упругом теле. Положим оп= =совзФ. Тогда по закону Гука находятся ен = сове$» а по из- 1 злп 3АмечАния О 3АдАчАх теОРии упРуГОсти 265 вестным значениям постоянных компонент деформации находятся Ф перемещения ио Введем обозначения для средних значений компонент деформации ео, вызванных действием сил )г! и Т«, 1 (' (еп) = — ) е«1!»г'. !' У) У Тогда из формулы (8Л0.6) следует ТО«» = — „(~ГЩ«Г»~ ГЩ«З~. !85»2! ),У т Нижеследующий пример взят из книги «Математическая теория упругости» Лява, который приводит его со ссылкой на оригинальную работу Бетти.
Цилиндр высотой Ь произвольного поперечного сечения поставлен на горизонтальную плоскость и деформируется под действием собственного веса. Обоавачим ось цилиндра индексом 3, положим о з — — о, а остальные ком- Ф поненты напряжения примем равными нулю. Тогда е о/К пз = охз(К. Но формуле (8.10.7) 1 Г озз о(е )= — ) РЗ К г" «)хз. о Здесь р — плотность, х — ускорение силы тяжести, р — площадь сечения. Отсюда рге ( зз) ЗК Эта величина представляет собою уковочекие цилиндра.
Чтобы вычис- лить изменение его объема, положим он — — обер тогда Зе' = 0' о/К, мз = ох»/(ЗК) и по формуле (8.10.7) л 1 Г о о(0> рг х Р8х, е отсюда ргйоз <0> = —. 6К 8 8.11. Замечания о задачах теории упругости В 8 8.4 была сформулирована задача теории упругости, которая состоит в интегрировании системы уравнений с частными проиаводными при определенных граничных условиях. Общие методы интегрирования этой системы составляют пре)Пгет математической теории упругости, этим методам посвящена огромная литература и в настоящем курсе мы не имеем возможности идти в этом направлении слишком далеко.
266 ГЛ. 8. ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБШИЕ УРАВНЕНИЯ Однако следует отметить здесь те цели, которые имеются в виду при отыскании решений. Приближенные методы отыскания напряжений и деформаций в упругих телах, основанные на частных гипотезах простейшего характера, принято относить к тому, что называется сопротивлением материалов, Примером может служить приближенная теория растяиэения н изгиба стержней, изложенная в гл. 2, 3 и 5. Теория упругости позволяет получить точное решение задачи изгиба для определенных случаев и сравнить его с приближенным; таким образом, находится строгая оценка погрешности элементарной теории. Однако существенно больший интерес представляют такие задачи, для решения которых элементарные гипотезы не могут привести к цели.
Типичный пример — задача о кручении призматического стержня. Если принять для кручения такую же гипотезу плоских сечений, которая была принята для изгиба, окажется, что верный результат получится только для того случая, когда сечение представляет собою круг или круговое кольцо; для других форм сечения зта гипотеза приведет к очень грубой ошибке. Точно так же никакие элементарные предположения не позволяют найти напряжения в толстостенной трубе, подверженной действию внутреннего давления. Можно привести много примеров других элементов конструкций, для которых напряжения и деформации нельзя определить с помощью элементарных приемов, а нужно использовать уравнения теории упругости.
Не всегда удается получить точное решение задачи теории упругости, даже если зто возможно — не всегда имеет смысл им пользоваться. Часто оказывается, что та точность, с которой известны граничные условия задачи, делает практически бессмысленным стремление к большой точности самого решения. Поэтому наряду с точными методами математической теории упругости раавиваются упрощенные приближенные теории, подобные, например, технической теории изгиба, рассмотренной нами ранее.
Вариационные принципы теории упругости позволяют указать путь для построения таких приближенных теорий рациональным образом. В последнее время открылась новая обширная область приложения теории упругости к физике твердого тела. Идеальный кристалл с правильным расположением атомов упруг. Всякие нарушения правильности кристаллической решетки приводят появлению поля напряжений, которое с достаточной степенью точности может быть изучено методами теории упругости.
В следующих главах, посвященных решению задач теории упругости, основное внимание будет обращено именно на эту сторону, будут приведены некоторые результаты, которые необходимы для понимания современных точек арения иа механику неупругих деформаций и разрушения. 8 злз. Одномегные 3АдАчи — тгквы н диски 267 э 8Л2. Одномерные задачи в трубы н диски Последнее уравнение немедленно интегрируется, мы получаем о,.=С/г, но при г=а или г= Ь о„=О, к поверхности трубы приложено только нормальное давление. Поэтому должно быть С=О и, следовательно, о,.=— О. Поскольку сечения остаются плоскими, осевая деформация е., постоянна. Деформации, радиальная и окружная, выражаются соответственно по формулам (7.8.4) ли е аг ' а еее = —.
г ' (8.12.2) Заметим, что условие совместности получается из (8.12.2) чрезвычайно просто, для этого нужно исключить из этих соотношений и. В результате получим агее 'ее — + ""=О. Йг г (8.12.3) Наиболее простые решения задач теории упругости, как и других механических теорий, получаются тогда, когда искомые функции зависят от одной только координаты и дифференциальные уравнения в частных производных становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Таких задач немного и они обычно служат пробным камнем при выяснении степени эффективности той или иной теории, решение их относительно просто и результат решения обозрим. В качестве одного из простейших примеров рассмотрим задачу о толстостенной трубе под действием внутреннего давления. Обозначим: а — внутренний радиус трубы, Ь вЂ” внешний радиус, д — давление (рис. 8Л2Л).
Будем считать, что труба очень длинная и к торцам ее приложены растягивающие силы Р. Вследствие принципа Сен-Венана можно утверждать, что поперечные сечения ее останутся плоскими и напряженное состояние будет во всех сечениях одинаково. Очевидно, что эту задачу следует рассматривать в цилиндрических координатах, т. е. пользоваться уравнениями э 7.8, считая, что искомые функции зависят только от радиуса г.
Тогда уравнения равновесия (7.8.5) принимают вид 268 гл. 3. ТеОРия упРугости. Овщие уРАвнения Теперь нужно написать соотношения закона Гука агг = и (Огг У (О22 + ОЕЕ)1 1 еез = — (озз — т (О,„+ О„Ц, 1 е = — [о„— У (оез+ о„)) = сопзс. (8Л2.4) Решение системы (8Л2.1), (8.12.4) и (8Л2.2)' или (8.12.3) можно провести разными способами. Если нас интересуют в первую очередь напряжения, скорее всего к цели приводит следующий прием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
