Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 48
Текст из файла (страница 48)
233 Гл. ь ОБщАя теОРия деФОРмАций и нАпРяжений риантными составляющими, тензор напряжения следует задавать контравариантными составляющими, для того чтобы в третьем интеграле уравнения (7.4.3) под интегралом был инвариант Оееэ. Теперь уравнения равновесия (7.4.4) примут вид ОИ,+Г'=О, а граничные условия (7.4.5) ООЛ. = Т'. > Ковариантное дифференцирование контравариантного тензора производится по правилу И до~ ~ И и м О,'А = — + Гмп + Гмо . дхь Напоминаем определение символов Кристоффеля второго роДа. Если Ро — метРический тензоР, это значит, элемент ДУги имеет вид Язе э Ах! Ях1 то Гь — — Гьья, ГА. = — ( —. + — — — !. (7.8.3) «в 1 (дзьв ддм ддцЧ 2 (, дхе дхА дхе /' При определении символов Кристоффеля второго рода часто бывает более удобно пользоваться непосредственно геометрическими соображениями, связанными с формулами дифференцирования базисных векторов деь —.
= Г,'~ер дх~ Именно так удобно поступать в случае декартовых или сферических координат. Последнее замечание в этой связи будет относиться к тому случаю, когда криволинейные координаты ортогональны. Вместо естественного базиса ед — — и ю векторы которого имеют разную длину и, вообще, разную размерность, бывает удобно воспользоваться местным базисом, образованным единичными векторами зь = еь/ у ИАА (не суммировать).
Тогда «физические» компоненты вектора или тензора, т. е. компоненты по отношению к локальной декартовой системе координат, определяются следующим образом: а' ='Р дца == а;, А' ='Р яияиА =;-у=А» хн У Уигц (не суммировать).
Имея дело со столь простыми системами координат, как цилиндрическая или сферическая, можно проделать всю намечен- д Т.з. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 233 1 ( 1 ди, дир ие~ 1 /дие 1 ди,'! (7.8.4) ее '! + /~ .. = — ~( — + — — ). = 2 '! ° дЕ д. г/ *= 2 (д. ° дЕ/. Дифференциальные уравнения равновесия: да„1 да„е да„, а„— а„ вЂ” + — — + — + — "~+У =О дг г де др г т да„з 1 дае дае, — + — — + — *+ — а.е+ г'е = О, дг т де др г (7.8.5) да„1 дает да, 1 — + — — + — + — а +г' =,О. дг г де др т б.
С1дерические координаты деР сррл+ г' В1ЙР 6 сйр'+ г' дбР. Компоненты деформации: ди„1 ди, и, иа 1 диа и е„= — ", е,р — — —.— "+ — '+ с$8б —, ее —— — — + — ' дг' гз!ВО дф г г' где гР 1 ди, и,р е, = — ( —.— ' — — "+ 2 Р,гз!ВО дф /1 сто- 2 (,г ди, ) р 1 ди„ие дие! е,о = — ~ — —" — — + — /, (7.8.6) 2 ~ г де г дг /' иа дие! — с18б+ —, г гз!ВО дф ди, де Дифференциальные уравнения равновесия: да„1 да 1 да„2а„— а — а + а„а с!Е 0 — + — — + — — + + г", = О дт те!ВО дф г де г г % да„1 да 1 да о За„+2а ос!яе + + + + Р~ = О, дг те!ЙО дф г де г (7.8.7) да,о 1 да о 1 доо за,о + (ао — а ) с!з о + ' ' +Р~=О. дг + гр!в О дф г д!Р г ную выше цепочку выводов. В элементарных руководствах обычно приходят к цели более коротким путем — выделяют бесконечно малый элемент, сообщают ему перемещение и находят деформации, прикладывают к его граням напряжения и составляют уравнения равновесия.
Предлагая читателю сделать соответствующий вывод формул тем или иным способом самостоятельно, приведем адесь лишь окончательные результаты. Физические компоненты векторов и тензоров мы будем отмечать не цифровыми индексами, а буквенными нижними индексами, соответствующими обозначениям криволинейных координат. Одноименные индексы удваиваться не будут.
а. Цилиндрические координаты ~Ь'=дгР+дзР+гРдОР. Формулы для компонент тензора деформации: ди, 1 дие и„ди, е,= — ', ее= — — + — ", е,= — ', дг' г де г ' * др' 234 Гл. ъ ОвщАя теОРия деФОРмАций и нАПРяжений Ь 7.9. Геометрически нелинейные задачи Откажемся от ограничения малостью компонент тензора поворота, которое до снх пор всюду принималось. Теперь мы должны пользоваться нелинейными выражениями (7.2.3) для компонент тензора деформации. Введем опять напряжения как множители Лагранжа и составим уравнение равновесия, совершенно аналогичное уравнению (7.4.3), а именно, г»би»»»г'+ ~ Т»би,<<Б — — ) нпб(и»,, + и»Я + ИА,»пал)»<г' = О 1 Г или Т»ЬИ»<»О— в О»»(би»3+ би;,, + иь,»бид,; + из,; Ьиз,») <»У = О, (7.9Л) Выражение а<»(би«,+ И»,<биь») может быть записано в виде ац(б„, + ие <) бие ь (7.9.2) Аналогично ац(би», < + ие» бик <) = ац(б<ц + ие») Ьиа о Заменяя обозначение немого индекса и используя симметрию тензора ац, находим, что это второе выражение равно первому, т.
е. (7.9.2). Поэтому условие равновесия (7.9.1) можно переписать следующим образом: ) г'»би»»»<<+ ) Т»бп»<»3 — ) Оп(бы+ из,») биь,;МУ = О. Р 3 Преобразуя третий интеграл путем интегрирования по частям и приравнивая нулю выражения, стоящие под знаком объемного и поверхностного интегралов, получим уравнения равновесия [сц(б„+ иь <) ) < = г"„ (7.9.3) и условия на поверхности [сц(6„<+ ИА <))я< = Т,.
(7.9.4) Для того чтобы составить уравнения (7.9.3) и (7.9.4), необходимо заранее знать перемещения и„или же располагать уравнениями связи трех перемещений с деформациями и суметь исключить компоненты поворота, так как и, < = е»< + с»»<. Соответствующая задача механики становится нелинейной. 3 1.а ГеОметРически нелинеЙные зАдАчи 235 В принципе можно было бы подойти к составлению уравнений равновесия в теле, претерпевающем конечную деформацию, иным способом. Если метрический тензор до деформации был яо, то после деформации он станет яо. Тензор конечной деформации в общем случае можно определить так: еп = —.
(ди — яп). При этом тензор ее можно относить как к начальному базису, так и к базису в деформированном пространстве. Это не одно и то же, поскольку переход к контравариантным и смешанным компонентам будет производиться по-разному. Далее можно определить контраварнантные компоненты тензора напряжений в деформированном теле н написать уравнения равновесия обычным способом Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Р брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде.
В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям ес. ГЛАВА 8 ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 5 8Л.
Упругое тело Будем называть упругим телом такое тело, у которого напряжение в каждой точке есть однозначная функция деформации оц = <рц(е, ). (8 г.1) Назовем путем нагружения или соответственно путем деформировання процесс изменения тензора напряжений или тензора деформаций в зависимости от некоторого монотонно возрастающего параметра, который мы назовем «временем». На самом деле реальное время при определении модели упругого тела никакой роли не играет; употребляя этот термин мы говорим лишь о последовательности событий, но не о их временной протяженности. Для наглядности тензор напряжений или тензор деформаций можно изображать векторами, составляющие которых равны компонентам соответствующих тензоров.
Положим, например, зз озз, зг=ом, зг=ом, аз=оп, г, = Ого гз = Ом, (8.1.2) е, = его е, = еав е, = емц е, = 2его е, 2его е, = 2еоь Тогда векторы и и е служат изображением тензоров напряжений и деформаций в шестимерных пространствах напряжений и деформаций соответственно. Впоследствии будет выяснено, почему в качестве е„е, и е, выбраны удвоенные компоненты тензора ец. Такое изображение не единственно; с одной стороны, можно было бы ввести не шестимерное, а девятимерное пространство, если не обращать внимание на симметрию тензоров оц и ец, обозначать, скажем, о„ и ом как разные компоненты вектора и и не умножать ец (~чьу) на два.
С другой стороны, нужно помнить, что представление тензора в виде вектора имеет лишь ограниченный смысл и пригодно только для определенной фиксированной системы отнесения; формулы преобразования компонент вектора и компонент тензора при изменении осей координат различны, поэтому, отнеся тензор напряжений или дефор- 6 ЗЗ. УПРУГОЕ ТЕЛО 237 наций к новым осям координат, мы получим совершенно другой изображающий вектор. Вместо того, чтобы изображать напряженное и деформированное состояние шестимерными векторами, мы могли бы ограничиться трехмерными пространствами, приняв ва составляющие соответствующих векторов главные напряжения и главные деформации. Формулировка общих закономерностей, связывающих напряжения и деформации, для главных значений соответствующих тензоров представляется наиболее простой и естественной, если материал изотропен (см.
$1.11). Если материал анизотропен, преимущества такого представления утрачиваются. Путь деформирования илн путь нагружения, таким образом, могут быть представлены как кривые, описываемые концами векторов а и е в соответствующих пространствах. Закон упругости, т. е. уравнения (8.1.1) устанавливают, в частности, что замкнутому пути деформнрования соответствует замкнутый путь нагруження и наоборот. Рассмотрим теперь такой класс упругих материалов, для которых работа, произведенная над элементарным объемом в замкнутом цикле по деформациям или напряжениям, равна нулю. В классической литературе именно это определение принималось за определение упругого материала; в современных руководствах по отношению к ним применяется термин «гиперупругие».
Сохраняя обычную терминологию, мы сохраним название «упругие» тела для таких тел, к которым относится не только первое условие, сформулированное в начале, но также требование отсутствия немеханических потерь энергии илн, наоборот, необходимости привлечения немеханической энергии извне при деформировании. В 3 7.4 было выписано выражение для вариации работы внутренних сил на возможных вариациях деформаций; если вариации деформаций заменить их действительными приращениями,мы получим элементарную работу внутренних сил на единицу объема илн изменение упругой энергии. Предположение о «гнперупругости» исключает влияние термических эффектов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
