Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Аналогичным образом строится кубический инвариант и следующие за ним. Очевидно, число независимых инвариантов тензора любого ранга ограничено. Мы не будем заниматься подсчетом их числа. з. Признак тензорного характера величин, зависящих от индексов. Совокупность величин А;,»,, » составляет тенэор ранга Ь в том случае, если в результате свертки их по правилу тензора с любым тензором В;А...; ранга р мы получим тенэор ранга Ь вЂ” р.
В частности, если а;,— компоненты Ь проиавольных век~~р~~, тО А;,», .;„Образуют тензор, если свертка А»,» „,»ьа»,а»,... а»е представляет собою скалярный инвариант. Это правило широко применяется в приложениях. и. Тензоры баь еяа и т,з. Единичный тензор или тензор Кронекера определяется так: бц — — 1 при»=у, бц — — О при»чь». Очевидное тождество а, = бца» доказывает тензорный характер бц. Тензор третьего ранга ецл или тензор Леви-Чивита определяется следующим образом: еца О, если среди индексов по крайней мере два одинаковы: ец, =1, если порядок индексов соответствует четной перестановке, т.
е. порядок их есть 1, 2, 3, 1, 2, ... ...; еж = -1, если порядок индексов соответствует нечетной перестановке 3, 2, 1, 3, 2, ... 9 Ек ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 2И Исходя из данного определения, легко проверить, что епча;Ьзе1 = а Х Ь. Согласно установленному выше правилу величины еч, действительно представляют собою тензор. В двумерной области тензору Леви-Чивита соответствует тензор 7 в такой, что 7„=7„=0, 7„= — 7м = т. Легко убедиться в том, что свеРтка тензоРа 7„1 с вектоРом а опРеделЯет вектоР, равный по величине вектору а, но повернутый на угол Ы2 по часовой стрелке.
к. Симметричные и антисимметричные тенворы второго ранга. Тензор называется симметричным относительно пары индексов, если он не меняется при их перестановке. Тензор называется антисимметричным, если при перестановке пары индексов он меняет знак (как, например, тензор Леви-Чивита). Тензор второго ранга симметричен, если Ач = А;„ тензор Вч антисимметричен, если Во = — Вв. Любой тензор второго ранга может быть разложен на симметричную и антисимметричную части Ам = — (Ап + А11) + — (Ап — А11) = А(н> + Арпр (7А.5) 1 1 Операцию выделения симметричной и антисимметричной частей тензора мы обозначаем, заключая индексы в круглые и квадратные скобки соответственно. Заметим, что ещАО — — О, еч,Ав — — ев,А,вв Если а есть произвольный вектор, то Аю,а,а, — = О; отсюда следует (7А.6) л.
Главные оси и инварианты симметричного тенвора второго ранга. Для каждого симметричного тензора второго ранга можно найти такой базис е1(оси координат х;), для которого все составляющие тензора с различными индексами исчезают. Три отличные от нуля компоненты с двумя одинаковыми индексами мы будем отмечать одним единственным индексом А„=А; (не суммировать).
У Направление оси х1 будем задавать единичным вектором чо Три вектора ч< образуют ортогональный базис, величины А, являются корнями кубического уравнения де1 ~!Ач — бчА!! = О или, в развернутом виде А ' — 1 А' + 1вА — Гз = О. Величины 1о Гм 1, представляют собою инварианты тензора А». 14в 272 гл. ь Овп»АЯ теОРиЯ деФОРмАций и нАпРЯжений С другой стороны, можно построить систему инвариантов А», Ап, Аол по общему правилу А» =Ае, Ап =А»А >, А»»» =АОАИА„. Каждая из двух систем инвариантов полна в том смысле, что любой четвертый инвариант выражается либо через 1„1, и 1>, либо через А», Ап, Ап», например: 1, = А», 1з = — (А» — Ап), 1з = 6 (А» — ЗА»АЦ+ 2АП»). м.
Антисиламетричнь»й тенгор еторого ранга как вектор. Анти- симметричный тензор»е>» имеет три различных отличных от нуля компоненты: вм = — а>», а»»> = — ь»>», ь»» = — ь»». Положим р» = = '/,е>»>о»>». Легко проверить, что ри= юзо Рв = а»»а. Р> = »о»>> Наоборот, вектору р> соответствует антисимметричный тензор ь»>» с>»»рА Поэтому векторное произведение»в Х г может быть записано в виде апг;е». н. Радиус-вектор и тенгор инерции.
Вектор х, называется радиусом-вектором. Образуем мультипликативный тензор х,хь умножим его на скалярную весовую функцию»»(х,) и проинтегрируем по объему Р'. В результате получим тензор, называемый тензором инерции 1п = ) )»х»х;й»'.
В плоском случае прн»» 1 получаем моменты инерции плоской фигуры 1аз = ~ хахзйд. 8 Эти величины встретились нам выше при изложении теории изгиба (з 3.3). о. Аензорь» как результат дифференциальных операций. Производная от скалярной функции точки >р(х>) определяет вектор Огай»р = ~ е». Обозначая — = >р,», мы можем обращаться с инд>Р дз де» дексами после запятой как с обычными тензорными индексами. Если задано дифференцируемое векторное поле о,(х„), в результате дифференцирования получается поле тензора второго ранга о, »(х,). После свертывания отсюда получается скалярный инвариант — дивергенция вектора и »П Полагая о = бхай»р или и,=»р», получаем тензор второго ранга 5 Ъз.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ 213 ~р э, и как его свертку, дифференциальный инвариант — лапласиан функции <р Ь7 $в. Вспоминая, что оператор го1 О может быть представлен как символическое векторное произведение оператора «набла» и вектора в, и используя определение е-тензора, получим го$ О = еиьвь;еп 5 7.2. Общая теория деформаций Излагаемая ниже теория деформаций носит чисто геометрический характер и не связана с какими-либо предположениями о свойствах деформируемой среды. Будем рассматривать точечное преобразование евклидова пространства, в результате которого точка М (х) сопоставляется точке Лт'(х'). Будем говорить, что материальная точка М переместилась из точки пространства с радиусом-вектором х в точку с радиусом-вектором х', хотя для кинематической теории вводить понятие материальной точки не обязательно.
Деформация области пространства У задана, если Ф величины х7 заданы как функции от х~ж У. Будем считать зти функции непрерывными и деформируемыми всюду, кроме, может быть, некоторых поверхностей Х в объеме г". Будем считать так- Р же, что если функции х;(х,) неоднозначны, то можно выделить однэзначную ветвь. Величины х„т. е. декартовы координаты материальной точки до деформации, можно сохранить в качестве индивидуальной характеристики материальной точки, меняющей свое положение в пространстве.
Поэтому они играют двойную роль: их можно рассматривать как декартовы координаты по отношению к неизменному базису либо как криволинейные координаты в деформированном пространстве; координатные линии в этом пространстве представляют собою кривые, образованные теми точками, которые до деформации принадлежали прямым, параллельным координатным осям. Положим Ю х,— х; = и7(х„). Вектор и называется вектором перемещения. Будем относить этот вектор к Ортогональному базису, связанному с декартовой системой координат хь Эта оговорка существенна для дальнейшего, так как в принципе можно относить его к базису, образованному касательными к координатным линиям х;в деформированном состоянии. Мы не будем вставать здесь на этот второй путь.
214 Гл. 7. ОБщАя теОРия дефОРмАций и ИАЦРяжении Если элемент дуги до деформации есть йг, после деформации он станет равным Йг . Положим »»е' — »»е е= ге Величина е называется относительной деформацией элемента йг. Элемент дуги в криволинейных координатах выражается следующим образом: Йг' = Йх,йх, = Ь»,йх;Йх». Элемент дуги после деформации йг'г = Йх»йх, = (йх» + йи») (йх» + йи») = Йгг + 2йх»йи» + Йи»йи» Но Йи» = и,йх», поэтому Йх,йи» = и», »Йх,йхь Для вычисления произведения йи» йи» заменим в нем немой индекс. Тогда Йи»йи»=йи»йи„= им»ие»йх»йхь Итак, Симметричный тензор е»», определенный формулой (7.2.3), называется тензором деформации. Теперь (7.2.2) можно переписать следующим образом: Йг" — Йг' = 2еойх»йх» или, с учетом (7.2.1), 2е,.
ее,.»»х. (1+ е)г — 1 = »»е (7.2.4) Величину, стоящую в левой части, можно принять за меру деформации. Почти во всех теориях, которые будут рассматриваться далее, деформации можно считать малыми, е»1. Пренебрегая е', иэ (7.2.4) получим следующий результат: е» йх,.йхг е= де (7.2,5) йг" — Йг'=(2и, »+ и, »ие»)йх»йх». (7.2.2) Выражение, заключенное в скобки, представляет собою тензор, это можно утверждать на основании правила (э) $7.1.
Действительно, левая часть (7.2 1) есть инвариант по определению. На основании правила (7.1.6) в выражении (7.2.2) несимметричный тензор можно эаменить его симметричной частью. Положим П 2 (»»»»+ иг»+ иА»идг) (7.2.3) а 7.2, овщая теоРия деФОРМАпии 215 Заметим, что если направление отрезка дг задано единичным вектором п, то дх,Яг=п,— направляющие косинусы этого отрезка, н формула (7.2.5) принимает вид (7.2.6) е = ееп;пь Задание тензора деформации позволяет определить изменение длины любого линейного элемента, следовательно, полностью задает геометрию деформированного тела. Антиспмметричная часть тензора, фигурирующего в формуле (7.2.2), называется тензором вращения и определяется следующим ооразом: 1 юб = — (ииг — и7,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
