Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Формула и способ Редея Умножим каждое из них на а, и просуммируем по индексу в, после чего найдем в' из получившегося уравнения ~ч~', с. а а) в~ = ~~ твав (6.4Л) Если ав =- а„то по формуле (6.4Л) мы получим для в' точь ное значение вв) если а, — произвольное число, то для в* по этой формуле получится некоторая величина, вообще говоря, не являющаяся частотой каких-либо колебаний системы.
Представим теперь произвольную конфигурацию системы разложением ее по собственным формам: а, = а,"ив. Внесем это выражение в числитель формулы (6.4Л). Получим спа;а; = сыска,'иви,. Переменим порядок суммирования, выделив сначала сумму св)а,'. По формуле (6Л.6) эта сумма равна в,'твам Теперь мы Определение собственных частот колебаний упругой системы становится чрезвычайно затруднительным тогда, когда число степеней свободы велико и уравпение частот имеет высокий порядок.
Уже раскрытие определителя требует большого труда, не говоря о нахождении корней уравнения частот. В то же время для приложений часто бывает достаточно знать наименьшую первую частоту, так называемую частоту основного тона. Ее можно найти с достаточной для практики точностью, пользуясь приближенным методом Рэлея. Выпишем уравнения (6Л.6) ввт;а, — ~~.", спа) = О.
3 бв. ФОРМУЛА И СПОСОБ РЭЛЕЯ можем выделить сумму ~~ т;айаг — — бж. Таким образом, мы по- а А лучим Х; Х а 2 епа,а; л, Фаиа. Преобразуем теперь знаменатель формулы (6.4 г) Х * — Х '' т;а~ —— л, т;а;а;иьи,. Меняя опять порядок суммирования, найдем .т,' т~а~ —— ~~э~ иа. Таким образом, формула (6.4Л) может быть переписана так: 1+ — „' —,' + — „' — ' +... Х "А Так как Ф, < в,«... ы., то каждый член числителя больше соответствующего члена знаменателя, и мы получаем неравенство оР) ы, или я~е (6.4.2) ~ч~ ~т,.аа где а; — произвольные числа. Знак равенства возможен только тогда, когда и, = и, =... = и. =6, т. е. конфигурация системы в точности соответствует первой собственной форме. Неравенство, устанавливаемое формулой (6.4.2), и является содержанием теоремы Рэлея.
Задаваясь совокупностью амплитуд а„которая, на наш взгляд, близка к первой собственной форме колебаний, мы находим по формуле (6.4.2) приближенное значение квадрата первой собственной частоты, представляющее собою верхнюю оценку. Заметим, что числитель в формуле (6.4.2) представляет собою удвоенную потенциальную энергию системы при перемещениях аь знаменатель же представляет удвоенную кинетическую энергию, вычисленную в предположении, что скорости равны перемещениям.
Особенно простым становится применение этой формулы тогда, когда совокупность величин а, представлена как совокупность перемещений от действующих на систему сил (),. Тогда потенциальную энергию можно вычислить по теореме Клапейрона. Обозначая перемещение от сил ~), через о., перепишем формулу Рэлея следующим образом: (6.4.3) 2 В числителе суммирование идет по тем точкам, где приложены силы, в знаменателе — по точкам, где сосредоточены грузы. ГЛ.
6. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 186 Обратимся к примеру 6 6.2 и вычислим для рассмотренной там системы первую частоту свободных колебаний приближенно, по формуле Рэлея. Сначала зададимся формой кривой ярогнба, соответствующей одной силе (7, приложенной посередине.
При этом 11 (Да 16 (да Р1 Рз ' Рз з 12 Е! ' з 12 Е! По формуле (64.3) (7 "з Е! О'< = 0,386 — „ т (Рз ) „з ( Рз) ' аз ' О < 0,622 з! Г Е! таз Отличие от точного решения О1= 0,617УЕЦ(та') составляет всего 0,8с . Если взять за форму прогиба упругую линию балки, нагруженной тремя одинаковыми силами в точках 1, 2, 3, т. е. статическую кривую прогиба балки от собственного веса, то три знака приближенного решения совпадают с точным. ьч 6.5. Нижние оценки для частоты основного тона ( =з) + А ( =з) + ...
= О, то А, = — Дот~+ бтзтд+ ... + р„„т„). С другой стороны, коэффициент прн втором по старшенству члене в алгебраическом уравнении равен сумме корней его с обратным знаком 1 1 1 А= — —, в 011 Оз Оо Отсюда 1 / 1 1 1 ,ЗДДдэвв Оо Выражение, заключенное в скобки, всегда положительно, поэтому справедливо неравенство — <() т +6 т +...+6„эт„. (6.5А) Од Рассматривая пример в 6 6.2, мы убедились, что собственные частоты довольно сильно разнятся по величине, поэтому формула (6.5.1) может быть использована для приближенного определения первой собственной частоты. При рассмотрении определителя (6.1.7) коэффициент при неизвестной 1/Од в старшей степени, а именно в степени л, равен ( — 1)".
Легко сообразить, чему будет равен следующий коэффициент при (1/Од)"-'. Если раг крыть определитель по элементам первого столбца или первой строки, то / 1 ~о-1 мы обяза~ельно получим член () т ( — з~ ( — 1)" д, но аналогичные члены получаются при раскрытии определителя по элементам любой другой строки или столбца. Поэтому если уравнение частот имеет внд б Е.Е. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ 187 Обращаясь к числовым данным уполгянутого примера, получим 1 та 17 та и/ Е/ з ~(9+ 16+9) 12Е7 = 6 Еу, юг) 0,594 )/ — з.
1 Полученная нижняя граница отличается от точного значения на 3,74%. Формула (6.5.1) (со знаком равенства вместо неравенства) была получена из эксперимента Данкерли в середине прошлого столетия. Нижнюю оценку (6.5.1) можно как угодно улучшить, применив следующий прием. По формулам (6Л.5), меняя индексы, получим аг = юзбг,т,а,, Внесем это выражение в (6.1.5). В результате придем к следующей линейной однородной системе, которая совершенно эквивалентна исходной а — ю4~ЧЗ~6 () т/т а =О.
(6.5.2) Е4 Составляя определитель системы (6.5,2), получим уравнение частот, подобное (6Л.7), но содержащее уже не квадраты собственных частот, а их четвертые степени. Повторяя буквально приведенные выше рассуждения, найдем — ( рз.т.т + рз т т + ... 1 (6.$.3) 1 Неравенство (6.5.3) более сильное чем (6.5Л), потому что сумма 1/и~4+1/ю~~+ ... меныпе по сравнению с величиной 1/е~, чем аналогичная сумма обратных квадратов частот по сравнению с 1/ю . Обращаясь к тому же примеру, находим 1 з 1з 4 ( (121+ 256+ 121) ( 12Е/ / „ 1 / ЕТ отсюда т ) 0,615 )/ —. Теперь разница с точным решением составля- 1 ' таз ° ет всего 0,32% . Очевидно, что аналогичным образом, вместо (6.5.2), можно получить уравнение, содержащее шестые, восьмые я вообще любые четные степеви зп таким образом, точность нижней оценки можно неограниченно увеличивать. й' 6.6.
Продольные колебания стержней Перейдем теперь к изучению колебаний систем с непрерывным распределением масс. Простейшим примером здесь может служить задача о продольных колебаниях стержня постоянного ..поперечного сечения. Па рис. 6.6Л показан элемент стержня, который в недеформированном состоянии был заключен между сечениями тп и рд с координатами х и х+4(х соответственно. Фиксируя некоторый момент времени 1, когда сечение лтп занимает положение т'и', сечение рд — положение р'д', обозначим перемещение левого сечения, первоначальная координата которого была х, через и.
Смещение и является функцией двух переменных — времени 1 и координаты в недеформированном состоянии х, поэтому смещение сечения с координатой х+4(х будет 188 ГЛ. 6. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ и+ — "Ых. На том же рис. 6.6Л изображен элемент т'п'р'д' отдельно. Обозначим напряжение, действующее в сечении т'и', через о, тогда напряжение, действующее в сечении р'д', будет дс и+ — дх. Но изображенный элемент находится в движении, его ускорение равно д'и/дИ, масса рЕ дх, где р — плотность, Š— площадь поперечного сечения. Составим уравнение движения этого элемента ррах — = Š— сл. ди до Шз ди Но по закону Гука о =Ее, относительная деформация элемент'р' — тр ди та е= тр ди' — внося зто в уравнение движения и сокра щая на Едх, получим ди зди 3 3 —,— с —,=О. д1 ди (6.6Л) (6.6.2) Два слагаемых представляют собой две волны, бегущие с одинаковою скоростью в противоположных направлениях.
Хотя решение (6.6.2) является совершенно общим в том смысле, что любые движения стержня могут быть представлены Здесь с= уЕ!р. Обращаясь к $2.10, заметим, что с есть скорость распространения продольной упругой волны. Дифференциальное уравнение (6.6Л) называется волновым уравнением, оно описывает всевозможные динамические процессы в стержне, распространение волн, а также колебания. В 3 2ЛО мы рассмотрели вопрос о распространении волн, не прибегая к дифференциальному уравнению, сейчас мы имеем возможность получить те же результаты иным путем. Действительно, уравнению и (6.6.1) мы удовлетворим, положив и+ д и=/(г~х/с), где / — произвольная дважды дифференцируемая функция.
Но движение, описываемое найденРис. 6.6.1 ным решением, представляет собою распространение волн со скоростью с. Общее решение уравнения (6.6Л), принадлежащее Даламберу, имеет следующий вид; э З.З. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕВАНИЯ СТЕРЖНЕЙ 189 таким образом, при изучении установившихся колебаний оно неудобно, оно не позволяет простым способом обнаружить собственные частоты колебаний.
Метод, который мы применим для решения задач о колебаниях, называется методом разделения переменных или методом Фурье. Заметим прежде всего, что уравнение (6.6.1) линейно и его решения обладают следующими очевидными свойствами: 1. Частное решение уравнения (6.6Л), умноженное на произвольную постоянную, представляет опять решение этого уравнения. 2. Сумма двух (а следовательно, любого числа) частных решений есть решение.
Будем теперь искать частные решения уравнения (6.6Л) в виде произведения двух функций ТЯ и Х(х) и = Т(1)Х(х). (6 6.3) Подставим указанное выражение для и в уравнение (6.6.1): ТХ вЂ” с'ТХ" = О. Здесь точки обозначают дифференцирование по времени, штрихи — дифференцирование по координате. Разделение переменных состоит в том, что уравнение это записывают следующим образом: Т СХс Т Х Первый член представляет собою функцию только времени 1, второй член — функцию только координаты х, равенство возмож- но только в том случае, если каждая иа этих функций постоян- ная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
