Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 36
Текст из файла (страница 36)
5.82 Рвс. 5.8.1 пустимых состояний; если конец вектора 9 оказывается в этой области, усилия в пластических элементах из условия статики должны быть больше предельных, что невозможно. Некоторой другой комбинации пластических элементов соответствует прямая сс).
Часть плоскости, находящаяся справа от сд и отмеченная наклонной штриховкой, будет опять-хаки областью недопустимых состояний. Следовательно, границей области допустимых состояний является ломаная аясо с углом в точке т, меныпим чем я. Продолжая это построение, мы всегда получим .выпуклый многоугольник и выпуклый многогранник в общем и-мерном случае. Ь 8.8. Выпуклость пОВеРхнОсти текучести х69 Вообще, число элементов, которые могут переходить в пластические состояния,не обязательно конечно. В балке, несущей распределенную нагрузку, момент может достигать предельного значения в любом сечении.
Мысленно заменим гладкую балку стержнем с надрезами на расстоянии гз, как показано на рис. 5.8.2. В таком стержне пластические шарниры будут возникать только в надрезанных сечениях, число их всегда конечно, поэтому поверхность текучести представляет собою многогранник. По доказанному, для талой балки будет справедлив ассоциированный закон течения. Перейдем теперь к пределу при гь - О; мы получим исходную балку, для которой поверхность текучести будет кусочно гладкой поверхностью, и распределение скоростей будет подчиняться ассоциированному закону.
В качестве примера рассмотрим задачу о совместном действии изгиба и растяжения или сжатия на стержень прямоугольного сечения. Обозначим продольную силу через Дь изгибающий момелт через Дь высота сечения пусть будет Ь, ширина Ь, смещение нейтральной оси 5. Тогда 11 представляет собого удлинение средней линии, дз — кривизну. Очевидно, что о, = ~дз. Эпюра распределения напряжений показана на рис. 5.8.3. Подсчитывая продольную силу и изгибающий момент, найдем О = 2(ЬОю (З = ( — — (з) Ьо Исключая отсюда 5, получим условие предельного состояния 0 з ( Ь $ 3 Р((З (г)= —,+ — ' — 1=0, М = — а, гУ =ЬЬО. з) )уз М т 4 т' т т т Легко проверить справедливость ассоциированного закона течения. дР 2Ог дР 1 дР дР Действительно, — = —, — = —, отсюда, —: — =ь.
Поскольку дО )уз' дО М ' ' д(> ' дОз мы имеем дело с двумя обобгценными силами в сечении, поверхностью Рис. 5.8.3 Рис. 5.8.4 нагружения будет кривая в плоскости )УМ, состоящая из дуг двух парабол (рис. 5.8.4). Вектор е направлен па нормали к кривой. В точках А и В наиравлепие нормали неопределенно, следовательно, вектор скорости О может принимать любое направление внутри угла, образованного нормалями к каждой иа парабол в точке их пересечения. Действительно, если стержень 170 гл.
5. евшие сВОЙстВА сткгжнввых систем переведен в пластическое состояние путем растяжения, то деформация его будет не обязательно деФормацией товько растяжения. Он может одновременно изгибаться произвольным образом, единственное органнченне состоит в том, чтобы при этом не было разгрузки, следовательно, была л 2 -~~) 9 5.9.
Статический метод определения предельной нагрузки Возможными состояниями системы, состоящей из пластических элементов, будут такие, для которых условие текучести не нарушено Д9) ~0. Пусть совокупность сил (гг соответствует допустимому состоянию. Бесчисленное множество допустимых состояний можно построить, например, следующим образом. Освободим столько внутренних связей, сколько нужно для того, чтобы система стала статически определимой, заменим эти связи их реакциями, которым припишем любые значения, но такие, чтобы ни в одном из элементов системы усилие не превыша- ь ло предельного.
После этого силы определятся из условий равновесия. Случайно может оказаться, что допустимое д-р ~ состояние является истинным, т. е. таким, которое соответствует текучести системы. Р Вообще, конец вектора 9е лежит внутри поверхности текучести, как показано на рис. 5.9Л. Истинное состояние текучести Рис.
5.9Л изображается вектором чг, а соответствующая скорость направлена по нормали к поверхности в точке М. Вследствие выпуклости поверхности текучести вектор Ч вЂ” гге всегда составляет острый угол с вектором д. Поэтому скалярное произведение их положительно: (УУ вЂ” (9е) 9 ) О. (5.9Л) Из неравенства (5.9.1) вытекает приближенный метод определения предельной нагрузки. Запишем неравенство (5.9Л) в следующем виде: Е9~Е 9.
(5.9.2) Знак равенства возможен только тогда, когда выбранное статически возможное состояние совпадает с истинным. В случае, если на систему действует только одна сила (3, неизвестная скорость й' в обеих частях неравенства (5.9.2) сократится и мы 171 5 аз. стати«!вский мктод получим е- о*. Таким образом, нагрузка, соответствующая произвольному статически возможному состоянию системы, меньше, чем предельная нагрузка. Этот вывод остается справедливым и для системы сил, действующих на тело, если сравниваются нагрузки, отличающиеся пропорциональным ивменением всех сил. Рассматривая различные статически возможные состояния, мы будем находить различные нагрузки, каждая из которых является приближением снизу для истинной предельной нагрузки.
Наилучшим приближением, согласно докааанной теореме, будет то, для которого нагрузка получается наибольшей. Упругое состояние системы, при котором предел текучести достигнут в одной или нескольких точках, является по определению статически возможным. Действительно, при решении задачи о нахождении упругого состояния мы должны были позаботиться о выполнении уравнений равновесия; при этом условие текучести нигде не было нарушено и только в отдельных точках это условие достигнуто.
Соответствующее вначение внешней нагрузки представляет нагрузку, определенную по способу допустимых напряжений (с запасом прочности, равным единице). Таким образом, мы имеем совершенно строгое доказательство того, что расчет по предельному состоянию приводит к ббльшим вначениям допускаемой нагрузки, чем расчет по допустимым напряжениям. Метод приближенного определения предельной нагрузки путем подбора статически возможного состояния мы будем называть статическим методом.
Если нам представляется возможность перебрать все статически возможные состояния и найти такое состояние, которому соответствует наибольшее значение нагрузки, то это значение будет точным. Рассмотрим в качестве примера неразрезную балку, состоящую из двух равных пролетов и нагруя«енпую яо всей ее длине сйлошной равномерно распределенпой парузкой с (рис. бгд2). Величину этой нагрузки требуется найти. Обозначим через Х реакцию крайней опоры. Давая Х всевозможные значения, мы переберем все статически возможные состояния балки.
Условие того, что наибольший изгибающий момент равен М„ позволит определить для каждого значения Х величину нагрузки о,максимальная нагрузка будет соответствовать предельному состоянию. Изгибающий момент в сечении с координатой з равен ( 3 М„= Хз — — дз . 2 Максимальное значение момента, как легко видеть, достигается при з '= з~ = Х/д, (М*) « *= Ха((2д). Требуя, чтобы модуль атого момента не превышал М„получим Х з« ) 2М ' 172 ГЛ. 5. ОВЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С другой стороны, максимальное значение момента может быть достиг путо иа средней опоре при х = й Оно равно Х1 — дп/2. Из условия, что абсолютная величина этого момента не превышает Ми найдем Х дз ( 2 — + 2 — з.
Введем безразмерные величины й =др/М, и Х Х1/М,. Полученные нера. венствв перепишутся таким образом: (в) чьи,2(1+ Х). (б) Нв рис. 5.9.3 штриховкой показана область, в которой выполняются неравенства (а) и (б). Наибольшее значение нагрузки соответствует точке А, где пересекают ся парабола рв = '/зХ' и прямая д* = 2(1 + Х). Абсцисса этой точки Х Х1 2(1 + 72), соответствующее значение нагрузки д~ = 6 + 472, максимальное зна- у" чение момента в пролете достигается при Х з =з = 1 — ~ 1('Р'2 — 1).
1 Я д 234ХУ/( Рис. 5.9.3 Рис. 5.9.2 Анализ подобного рода становится затруднительным, если система имеет более высокую степень статической неопределенности, когда приходится искать максимальное значение предельной нагрузки как функции нескольких параметров. $5ЛО. Кинематически возможные состояния и кинематический метод определения предельной нагрузки Для того чтобы статически возможное состояние жесткопластической системы было действительным состоянием предельного равновесия, нужно, чтобы это состояние было в то же время кинематически возможным; это значит, что свобода пластической деформации, связанная с переходом отдельных элементов в пластическое состояние, должна иметь возможность реализоваться на самом деле.
Обращаясь к примеру, рассмотренному в предыдущем параграфе, мы заметим, что состояния, соответствующие внутренности заштрихованной области на рнс. 5.9.3, отвечают условию того, что система остается жесткой. Кривая а соответствует тому случаю, когда в пролетах образовались пластические шарниры. Этого еще недостаточно, чтобы балка получила воэ- з а!О. кинематичнскин мнтод 173 можность свободно деформироваться (рис. 5ЛОЛ, а). Если мы рассматриваем статически возможное состояние, удовлетворяющее условию (б), пластический шарнир получается над средней опорой, этого опять-таки недостаточно для того, чтобы балка превратилась в изменяемую систему (рис. 5.10Л, б). Только тогда, когда пластические шарниры возникнут в пролетах и над средней опорой, что соответствует точке А диаграммы рис. 5.9.3, балка получает возможность деформироваться так, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
