Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Таким образом, ю' — постоянная величина. Для функций Т(1) и Х(х) получаются следующие, уже обыкновенные, диффе- ренциальные уравнения: Т+ се'Т= О, Х" +~ Х=О. с Общий интеграл первого уравнения Т =А з1псе1+В сов ю1. Отсюда видно, что сэ представляет собою круговую частоту свободных колебаний. Осталось определить функцию Х(х). Общий интеграл уравнения (6.6.5) Х = С, зш — + С, соз — *.
(6.6.6) с з с При определении констант этого уравнения из граничных Условий мы сталкиваемся с тем же положением, что и при решении задачи устойчивости. При однородных граничных усло- Гл. з. кОлеБАния стегжнепьтх систем 190 виях для определения констант С, и С, получается система однородных уравнений, имеющая тривиальное нулевое решение. Нетривиальное решение существует только при определенных значениях ю, которые и являются собственными частотами. Прежде чем перейти к примеру, выясним возможные виды граничных условий: а. Закрепленный конец, и =0 при любом (, следовательно, Х= О. б. Свободный конец, с = О, следовательно, е =дп/дх = О, а так как Т(г) вообще не равно нулю, то Х' = О.
в. На конце прикреплен груз массы М. Применяя принцип Даламбера, приравняем силу инерции груза внутренней силе в концевом сечении: д Мд Г. Ег.д~ или — МТХ = ЕЕТХ'. Исключим отсюда У с помощью уравнения (6.6.4) и сократим на общий множитель Т(г). Получим В качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях стержня длиной й один конец которого закреплен, а на другом имеется груз массой М (рис. 6.6.2). у Рис.
6.6.2 Рис. 6.6.3 Помещая начало координат в точке з = О, находим сразу, что постоянная Сз в уравнении (6,6.6) равна нулю. Подставляя значепие Х = = С, з1п(юз(с) в граничное условие на конце з = й где прикреплен груз, находмм е1 М ю, ют) С ~соз — — — — з(п — ~ = О. с рР с с Если С, = О, никаких колебаний нет, колебания возникают только тогда, когда обращается в нуль выражение, заключенное в скобки.
Обозначим гл. э. колввлния стигжневых систим 192 стержня в любой фиксированный момент «повторяет в соответствующем масштабе функцию времени о(0, «). Первый член в решении Даламбера (6.6.2) представляет собою такую прямую волну; перемещение и(0, «)=/(«), заданное на конце, повторяется в любом сечении л со сдвигом по времени.
Но решение Даламбера содержит второй член — обратную волну. Эти обратные волны появляются в стержнях конечной длины в результате отражения от другого конца стержня. Для решения задач такого рода применяется метод харак- Ф теристик. По классификации, т" принятой в теории дифферент циальных уравнений, уравнение продольных колебаний (6.6.1)' относится к гиперболическому Р типу; характерная особенность К гиперболических уравнений со- стоит как раэ в том, что для Ю них существуют решения типа волн. Рис.
6.7Л Определим из (6.6.2) скоро- сти с = ди/д«и деформации е=ди/дх. Заметим, что по закону Гука с=о/Е, поэтому вместо естественного условия, когда на конце стержня приложена сила Р и, следовательно, напряжение равно Р/Р, можно говорить о том, что на конце задана деформация е. Дифференцируя (6.6.2), получим Умножим второе соотношение на с, после чего сложим и вычтем получившиеся уравнения. Найдем и+ се = 2д'($), о — се = 2/'(6). (6.7 1) Здесь принято $ = «+ х/с, ц = « — х/с. Величины $ и ц называются характеристическими координатами, а линии $=сопз«и ц =сова«в плоскости х, « — характеристиками. Будем называть линию з(ц =сонэ«) положительной характеристикой, линию ц Д = сопз«) — отрицательной характеристикой.
Предположим теперь, что в двух точках плоскости х, « (точки р и д на рис. 6.7 1) заданы значения и„ею и„е,. Проведем через точку р положительную характеристику ц = сопз«, через д отрицательную характеристику $ = сопз«. Вдоль положительной характеристики постоянна разность о — се, вдоль 193 5 зл. РАспРОстРАненне пРОдОльных волн отрицательной — сумма и+се. Таким образом, и„— се„= Рз — се„и„+ се„= и, + се,. (6.7.2)' Из уравнения (6.7.2) находятся значения скорости н деформации в точке т, Р и е . Уравнения (6.7.2) и служат основой метода характеристик для решения уравнения продольных колебаний при заданных начальных и граничных условиях. Рассмотрим задачу о стержне конечной длины 1, одному концу которого внезапно сообщаем скорость у, которая поддерживается далее постоянной.
Картину раопространения волн удобно рассматривать в плоскости х, 1, как показано на рис. 6.7.2. Вся эта картина расположится в полосе шиоины 1. Правый конец можно считать либо свободным, либо неподвижно закрепленным. Разберем оба эти случая. На рнс. 6.7.2 проведены характеристики $ и ч, которые разбивают полосу на треугольники. Основания этих треугольников занумерованы, при этом отрезки на оси х = О нумеруются четными цифрами, а на оси х = 1 — нечетными. Сами треугольники обозначены буквами а, Ь, с, ..., отреаок 1 = О, зля (О, Ц отмечен индексом О. Точки, принадлежащие соответствующим отрезкам или областям, мы будем отмечать теми же индексами.
С Конец х = 1 свободен. На оси х = 1 о = О, следовательно, ев = ел = еь = ... = О. При =О, ее=ил=ел= .. =У. Йа отрезке оси с = О, х ж (О, 1), и = О, е = О. г Проведем характеристику положительного направления 01. На ней постоянна разность е — се, значит ил — се, = ев — сеь. Но еь = еа = О, е~ = О, 0 д ле значит г, = О. Любая внутренняя точка области а соединяется двумя характеристиками либо с отрезком О, либо Рис. 6.7.2 с отрезком 1, где и = О, е = О.
Поэтому е„= О, е = О. Отрезок 2 соединяется отрицательной характеристикой либо с отревком О, либо с отрезком 1, на каждом из этих отрезков е = О, е = О, поэтому ив+ се, = О, отсюда ег = — У/е. Любая точка области Ь соединяется двумя характеристиками с отрезком 2, поэтому еь + сеь = гь + сеь, (6.7.3) эь — сеь = эь — сев.
Отсюда следует сь = еь еь = е,. Установленное правило носит совершенно общий характер; если на отрезке вертикальной оси скорость и деформация сохраняют постоянные значения, то в треугольнике, огравиченйом характеристиками, проходящими через крайние точки этого отрезка, скорость и деформация сохраняют те же значения. Вообще, если на отрезке 2 заданы переменные значения скорости и деформации, в правых частях уравнений (6.7.3) будут фигурировать разные вначения еь и ев, соответствующие тем точкам, из которых выходят характеристики.
Но решение внутри треугольника, ограниченпого характеристиками, полностью определяется заданием функций и(г), е(1) на отрезке 2, оно не зависит ни от предшествующей истории, ни от дальнейшего изменения этих функций. Это свойство характеризует гиперболические уравнения или гиперболические системы. После сделанного замечания нам будет достаточно соединять характеристиками положительного н отрицательного направления попеременно отрезки линии * = О и х =- 1, а именно: З3 Ю.
Н, Рабстясз ГЛ. Э. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 194 на линии 2 — 3: оз = оз — сез 2У, ез = О, на линии 3 — 4: У+ се, = оз+ сез = 2У, е, = У/с, Иа ЛИНИИ 4 — 8: оз = о4 — сез = О. Итак, в треугольниках а, Ь, с, ... скорости п деформации чередуются следующим образом: Ь с 4 е )г 2г' )г 0 У е 0 — — 0 — 0 —— с с с В треугольнике е будет состояние покоя, так же как в треугольнике а, поэтому в следующих треугольниках состояния чередуются в той же последовательности.
2. Канву х = ( неподвижно закреплен, о = О. На участках О, 1, 2, а следовательно, в треугольниках а и Ь состояние будет тем же, что и в предыдущем случае. Составляя условие на характеристики 2 — 3, найдем, что на отрезке 8, а следовательно, и в треугольнике с имеем — се, = 2Р, е, = = — 2 г'/с.
Заметим, что совершенно безразлично, сообщена ли концу х = 0 скорость г', или к нему приложено внезапно напряжение о = — Ее, = — Ер/с. При отражении от аакрепленного конца, как мы установили, значение приложенного напряжения удваивается. Дальнейший анализ производится точно таким же опособом, как и в первой задаче, мы остановимся на первом отражении от закрепленного конца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
