Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 34
Текст из файла (страница 34)
'2 Рй) '2 О Замечал, что величины ри, Рм, бзо Равны пУлю, мы можем высказать общее правило, что произведение симметричной эпюры па антпсииистрпчкую равно нулю. Величина 322 оам пе попадобптсн, существенно лишь, что Р22 ть О. Составим систему уравнений (5.5.1): — аХ +2аХ + — га =О, 5 з 2 3 4 3 1 1 4 3 Х„=-О, 5 2а Х + 4аХ -'- — доз — О, о Решение этой системы х — ч 1 Х 3 ' 3 24 й з.з. мвтод сил и мвтод пегемвщении $64 Суммарная эпюра изгибающих моментов построена на том же рис.5,5.1. Совершенно аналогичным образом, отправляясь от вариационного принципа Лагранжа, получают уравнения метода перемещений; это не что иное как уравнения (5.4А) и (5.4.2), записанные в форме, содержащей явно коэффициенты жесткости *). Действительно, У есть квадратичная функция от д, хц а именно: У= 2 сцх«х)+смх«й+ 2 с«чч ° Р Отсюда А сцх«+ с««а = О, сцх = О.
(5.5.2) Первый пример предыдущего параграфа по существу представляет собою пример на применение уравнений (5.5.2). Для определения величин сц следует заметить, что из (5.3.1) вытекает следующее заключение. Предположим, что на систему наложены дополнительные связи, такие, что все свободные перемещения хг = О, х, = 1 И 1 Ф «.
ТОГда См ПрЕдСтаВЛяЕт СОбОЮ рЕаКцИЮ гх связи, запрещающей перемещение хь а сцд есть реакция этой связи на действие внешней сиРис. 5.5.2 лы. Вообще, нахождение сц и с««требует решения статически неопределенных задач с болыпим числом лишних неизвестных, но в частных случаях результат получается очень простым. Рассмотрим, например, изображенную на рис. 5.5.2 раму. Как легко видеть, эта рама трижды статически неопределима (по две составляющих реакции и 4Я гЕ1 ус =1, 11 = —, гУ =— ГВМ А 1 ~ а а1 Рис. 5.5.4 Рис. 5.5.3 реактивному моменту в каждой заделке — шесть неизвестных и три уравнения статики).
Пренебрегая продольной деформацией стержней, убеждаемся, что единственная кинематическая переменная, определяющая состояние системы, есть угол поворота узла А. Будем говорить, что система один раз кинематнчески неопределима. Это значит, что при применении метода *) Мы воздерживаемся от употребления терминов «каноническая система метода сил» илн «каноническая оистема метода перемещений«, чтобы избежать упрека в неканоничности обозначений.
11 ю н гас сов $62 ГЛ. Ь. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ перемещений иам придется решать только одно уравнение. Для составленяя этого уравнения нам понадобятся решения вспомогательных задач, представленные на рнс. 5.5.3. Предоставляем читателю решить этн задачи любым способом, например так, как это было разъяснено з $3.8. Для нахождения величины см наложим связь, предотзращающую поворот. Теперь вертикальный стержень останется ненагруженным, з горизонтальный окажется в положении, изображенном на рис.
5.5.3, б. Поэтому см — — ®/8. Для нахождения величины сн повернем узел на угол ю й убрав силу ф Обз стержня окажутся в состоянии, изображенном на рнс. 5.5.3, а, а следовательно, 421„8Е1„ х= х Ю Подставляя сп н со з единственное теперь первое уравнение (5.5.2), найдем 8К!„рг — "з+ — =О, С 8 отсюда ~з ~з мы„' Теперь не составляет труда построить эяюру изгибающих моментов, изображенную на рнс. 5.5.4.
й 5.6. Жесткопластическое тело В предыдущих разделах мы неоднократно рассматривали задачи о предельном разновески стержней и стержневых систем из идеально-пластического материала. Основная трудность при решении этих задач состоит в том, чтобы правильно определить положение пластического шарнира в l' е балке или установить, какие именно стержни перейдут в пластическое состояние, если мы имеем дело с фермой. йтожно, конечно, как мы иногда де- О лали, рассмотреть сначала упругое состояние системы.
Наиболее напряженный элемент первым перейдет в пластическое состояние при возрастании Рнс. 5.6й внешних сил. После этого мы дол- жны рассматривать состояние упругопластическое, чтобы выяснить, какой элемент перейдет в пластическое состояние во вторую очередь, и продолжать подобным образом до тех пор, пока мы не дойдем до исчерпания несущей способности системы. Такой путь чрезвычайно сложен и громоздок, к тому же он Вносит элемент, являющийся для теории предельного рановесия чунздым, а именно представление о переходе от упругого состояния к пластическому.
Действительно, в предельном состоянии те элементы, которые не достиг- з е.е. жвсткопллстичкскои твло 163 ли предела текучести, образуют кинематлчеоки изменяемую систему и малые упругие деформации этих элементов не играют никакой роли по сравнению со сколь угодно больепими деформациями пластических элементов. Поэтому в самом начале при определении предельного состояния мы можем принять за исходный пункт не схему упругопластичеслого материала, а схему материала жесткопластического, который совсем не деформируется при о ( а, и получает возможность неограниченной деформации при о = о,. Диаграмма зависимости между напряжением и деформацией для такого материала изображена на рис. 5.6.1.
Если встать на зту точку зрения, то иахоиеденне предельного состояния путем анализа упругого состояния представляется крайне искусственньви. Некоторые общие теоремы, излагаемые ниже, позволят решить поставленную задачу более црямыи и простым путем. Предварительно нам нужно несколько уточнить представление о жесткопластическом теле, которое будет лежать в основе дальнейших рассуждений, хотя окончательные результаты применимы и для упругопластического тела. Рассматривая изгиб, например балки из упругопластического материала без упрочнения, мы получаем диаграмму зависимости между изгибающим моментом и кривизной, состоящую из трех участков: упругого, упругопластического криволинейного и горизонтального участка, соответствующего исчерпанию несущей способности (см. рис. 2.5.2).
Переход от упругого состояния к полностью пластическому нас интересовать не будет; поэтому мы заменим эту диаграмму подобной той, которая изображена на рис. 5.6.1. Это значит, что мы считаем, как будто балка совсем не деформируется, пока изгибающий момент меньше чем М„и получает воэможность неограниченно изгибаться, когда момент достигает этого предельного значения. Здесь мы будем рассматривать систему пз жесткопластических стержней, работающих на растяжение — сжатие или изгиб.
В элементах этих систем возникают усилия и изгибающие моменты, в некоторых стержнях усилия могут достигнуть величины У, = о,Р, эти стержни потекут. В некоторых сечениях изгибаемых стержней момент достигнет предельного значения М„в этих сечениях образуются пластические шарниры.
При некоторой комбинации внешних нагрузок ~, система станет кинематически изменяеиой, причем для неограниченного течения системы в целом достаточно, чтобы она превратилась в механизм с одной степенью свободы. Для общности и единообразия рассуждений вместо усилий и моментов мы будем говорить об обобщенных внутренних силах В„которые достигают предельных значений Л„.
Если Н. = В„, то обобщенное перемещение г, становится неопределеннььи, как это видно из диаграммы ~рис. 5.6Л. Вместо того, чтобы говорить о перемещениях, нам будет удобнее говорить о скоро11а $64 ГЛ. 5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ стях перемещений, притом в тот момент, когда текучесть только наступила, перемещения еще малы и изменение геометрии несущественно. Скорость перемещения г, при В, =Л., тоже неопределенна, поэтому термин «скорость» понимается адесь В условном смысле: это есть производная от г, по любому монотонно Возрастающему параметру. Но каждый элемент, перешедший в состояние текучести, связан с жесткими элементами. Поэтому соотношение между скоростями деформации отдельных элементов будет уже не произвольным, а совершенно определенным; скорости г, находятся с точностью до неопределенного множителя.
з 5.7. Условие текучести и поверхность текучести Пусть на жесткопластическую систему действует система п внешних сил Д,. Условие достижения предельного состояния может быть записано в следующем виде: Р(ОО О., "., Е.) = 0. (5.7Л)' Уравнение (5.7.1) определяет в и-мерном пространстве сил поверхность, которую называют поверхностью текучести, это уравнение называется условием текучести. При достижении условия текучести точки приложения сил Ч, получают скорости д„которые находятся между собою в определенном отношении. Но величины этих скоростей остаются неопределенными, они известны лишь с точностью до общего множителя.
Правило, которое устанавливает распределение скоростей при наступлении текучести, называется законом течения. Общая запись закона течения может быть следующей: д~=Ц(()„), г, я=», 2, ..., и. (5.7.2) Здесь А — любой неотрицательный множитель. Существенное отличие закона течения (5.7.2) от закона упругости состоит в том, что течение наступает только тогда, когда силы ()„в точности удовлетворяют условию (5.7.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
