Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Для тела, не содержащего трещины, т, = О, т,= т„следовательно, П 1 о (У Здесь с15 — элемент площади поперечного сечения, интегрирование распространено по всей плоскости хо хо. Для тела, содержащего трещину, то ос т1 112 )~с — с Оба эти интеграла расходящиеся, значения пх бесконечно вели- ки, но разность 1 ~(~о о о) оказывается конечной, ее можно вычислить непосредственно. Этот прямой путь оказывается не самым простым. Другой способ, которому мы н последуем, состоит в следующем.
Окружим трещину произвольным контуром Г в плоскости хь х, и выделим из неограниченного упругого пространства цилиндр, основание которого ограничено контуром Г. Вектор касательного 200 Гл. 9. АнтиплоскАя деФОРмАция, кгучение, изГиБ напряжепия в плоскости х„х, в точке контура Г разложим на составляющие: нормальную к контуру т„и касательную т,. На боковой поверхности цилиндра будут действовать касательные напряжения, равные т и направленные вдоль образующей.
Их можно рассматривать как внешние силы по отношению к цилиндру, поэтому упругая энергия на единицу длины цилиндра найдется по теореме Клапейрона П = — ~ т„иада. г Г г Теперь можно сделать предельный переход, удаляя контур Г в бесконечность. Очевидно, что 51 будет также стремиться к бесконечности, но нас интересует не величина У, а разность между с1, и 11.
Заметим, что форма контура Г при этом безразлична, ее нужно выбирать из соображений удобства и простоты интегрирования. Пусть, например, контур Г будет окружностью радиусом г с центром в начале координат (рис. 9.5.1). Тогда т„= та соз О+ т, зш О. (9.5.2) В 2 9.3 мы нашли, что 'г 19 т,— 1т,=— У" Рис.
9.52 На контуре окружности )г! = г; если !г!» с, то а 1-1/а / т, — 1та — — — 1та 1 — — '! = — ага ! 1+ — + .... (9.5.3) а) 9~ 2а Отделяя действительную часть от мнимой, получаем а / а ~ = — т,— ',аш20+ ...; т,=т,!1+ — ',соа20+ .... (9.5.4) 2г Теперь, по формуле (9.5.2) с т = т а(п 0 1 — — + ... (9.5 5) 2„а Для вычисления иа нужно разложить выражение (9.4,1) функции ш в окрестности бесконечно удаленной точки, т.
е. при больших значениях !г! с ю(г) = — т,аг 1 — —, + ... 219 Удержим только первый член в этом рааложении и отделим 9 вв, освоеождвнив энвРгпи пРп РаскРытии тРсвдины 289 действительную часть. Получим о ив =- — г з Рв 6 + . Н (9.5.6) Теперь, по теореме Клапейрона 2 . 2 П = — ~ г' ~ 1 — — ) з1 по 0 НО =,— ~ г — —, с ) л. о Очевидно, что при неограниченном увеличении г величина У стремится к бесконечности, притом за счет первого члена в скобках. Положив в формуле для У с = 0 мы получим энергию цилиндра, не содержащего трещины, У = — г'я.
о о 21в Разница энергий тв У вЂ” У= — — с и о в о 2 и (9.5.7) пе зависит от радиуса г, следовательно, можно считать г бесконечно большим. При выводе формулы (9.5.7) иы удержали лишь первые члены в разложениях для т„т, и ив. Легко сообразить, что дало бы удерживание следующих членов. Третий член в рааложении (9.5.5) будет содержать в знаменателе г', второй член в рааложении (9.5.6) будет содержать множитель 1/г.
При вычислении У следующие слагаемые будут поэтому обяаательно содержать отрицательные степени г, которые обращаются в нуль при предельном переходе, когда г устремляется к бесконечности. Энергия тела, содержащего трещину, меньше чем энергия тела, которое трещины не содержит. Если длина с трещины увеличивается, то происходит освобождение упругой энергии.
Если половина длины увеличилась на Лс, то из (9.5.7) следует т,'о дв ьтУ = — и — ' твс = — — твс. (9.5.8) И 1в Соотношение (9.5.8), выраженное через коэффициент интенсивности К, получено нами для конкретного частного случая— трещины длиной 2с в бесконечном теле, нагруженном равномерно распределенными усилиями на бесконечности.
Однако полученный результат совершенно универсален, он справедлив для любой трещины, так как освобождение энергии происходит в области, непосредственно примыкающей к концу трещины. Чтобы показать это, поступим следующим образом. Сделаем разрез вдоль оси впереди трещины на отреаке длины Лс (рис. 9.5.2). Чтобы края разреза не разошлись, к ним нужно приложить распреде- 19 Ю Н. Рвсотнов 290 Гл 9 Антнплоскхя десэоРМАция ИРучение изгив ленные силы, интенсивность которых равна касательному напряжению в неразрезанном теле, т.
е. вычисляется по формуле (9.3.4) при О = 0 К )'2лг Будем теперь уменьшать зти силы, края разреза начнут расходиться. Когда силы обратятся в нуль, мы получим ту же трещину, что в исходном состоянии, яо передвинутую вправо на длину Лс. Берега трещины в новом положении показаны на рисунке штриховой линией. Перемещение ис будет определяться формулой (9.3.2) при О=я и при перенесенном на величину Лс начале координат; таким образом, К / 2 Ряс. 9ь22 и = — ь — (Лс — х) . и л т лс' По теореме Клапейрона, изменение упругой энергии равно половине работы сил т на перемещении и,; таким образом, Ас ЛП= — 1 тн,Ы .
0 Множитель 1/2 сократился, потому что расхождение берегов равно 2ин как видно из рис. 9.5.2. Подставляя выражения т и ан найдем Ьс Кз Г 0 Интеграл в этой формуле легко вычислить, он равен я/2, поэтому К ЛП = — — Лс. 2в (9.5.9) Разница между этой формулой и формулой (9.5.8) объясняется тем, что в первом случае изменение длины трещины равнялось 2Лс, трещина расширялась влево и вправо с сохранением симметрии. При выводе формулы (9.5.9) предполагалось, что трещина распространяется вправо на длину Лс, и только.
9 9.6. Кручение круглых стержней Рассмотрим тело, представляющее собою длинный цилиндр с осью, параллельной оси хм сечение его в плоскости х„хс ограничено контуром Г или несколькими контурами Г,. Предположим, что боковая поверхность стержня свободна от напря- 291 5 З.З. КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ жений, а к торцам приложены усилия, статически эквивалентные паре сил с моментом М. Вспоминая техническую теорию изгиба балок, основанную на гипотезе плоских сеченйй, предположим, что и при кручении плоские сечения остаются плоскими, они только поворачиваются одно относительно другого.
Будем считать, что концевое сечение х, =О неподвижно. Сечение, отстоящее от него на расстоянии х„поворачивается на угол, пропорциональный расстоянию, а именно Ох,. Величину О можно назвать погонным, т. е. приходящимся на единицу длины, углом закручивания. Из рис. 9.6.1 видно, что и, = — дх,х„и, = дх,х,. Отсюда следует, что е„= — Ох„ ем = Охь все остальные компоненты деформации равны нулю. По закону Гука все комнонепты напряжения, кроме ао и СРо равны нулю; обозначая эти компоненты так, как было принято выше в з 9.1, найдем Рис.
9.6.1 т1 = — рахн тз = 1гдхо (9.6.1) Напряженное состояние оказывается того же типа, что в случае антнплоской деформации, поэтому уравнения равновесия (9.1.2) и граничные условия (9.1.3) сохраняют силу. Выражения (9.6.1) тождественно удовлетворяют условиям равновесия. Граничное условие на боновой поверхности (91.3) дает после подстановки в него (9.6.1) п,х, — п,х, = О, или 1п~'.и =х:хь Это условие означает, что нормаль к контуру в данной точке направлена так н<е, как радиус-вектор точки, значит — контур представляет собою окружность. Итак, формулы (9.6.1) дают только решение задачи о кручении стержня, сечение которого ограничено концентрическими окружностями, значит либо сплошного круглого стержня, либо трубы.
Вектор касательного напряжения, компоненты которого даются формулами (9.6 1), направлен перпендикулярно радиусу-вектору и величина его т == )гбг (гз = х~ + хз). (9.6.2) На элемент площади по' = гЫгйр действует сила т иЯ = 1гдг2дгйр, она создает момент относительно оси х, на плече г, следовательно, усилия в каждом сечении статически эквивалентны паре 19з 292 Гл. 9. АнтиплоскАя деФОРИАция, кРучение, нзгив сил с моментом о ео Выражение ~ ~„о ( в (ло ло) о е, называется полярным моментом инерции площади сечения.
Таким образом, для трубы мы получили следующую зависимость погонного угла закручивания от крутящего момента: М (9.6.3) Теперь величина напряжения на радиусе г выражается следующим образом; т=~ (9.6.4) ур' э 9.7. Кручение стержней некруглого поперечного сечения Предположение о том, что поперечное сечение стержня при кручении остается плоским, вполне аналогично такому же предположению в элементарной теории изгиба балок, которая была изложена в третьей главе. Но применительно к задачам изгиба это предположение выполняется во всех случаях с практически достаточной точностью, оно позволяет определить основные при изгибе напряжения — нормальные к плоскости сечения.
Некоторое искривление поперечных сечений может происходить за счет касательных напряжений, по эти напряжения, как было пока- вано, относительно невелики. Для кручения, когда возникают именно касательные напряжения, поперечные сечения действительно остаются плоскими только тогда, когда сечение ограничено концентрическими окружностями, как зто было рассмотрено в з 9.6. Чтобы построить решения в общем случае, добавим к напряженному состоянию (9.61) напряженное состояние, соответствующее антиплоской деформации по формулам (9.1.1).
Получим (9.7.1) т4 = из — рдхо, т, = и,о + рдх4 и выберем функцию и так, чтобы было выполнено соответствующее граничное условие на поверхности цилиндра, которое 293 5 ал. кРучение некРуглых стеРжнен принимает следующий вид: т, и, + тапа = О, х„ш Г, à — контур сечения цилиндра. Подставляя сюда (9.7Л), получим идп, + е,п, — рЮ (х,п, — х,п,) = О или ди — = рб (х,п, — х,иа).
(9.7.2) Таким образом, решение задачи о кручении свелось к задаче Неймана — нахождению гармонической функции и в области, ограниченной контуром Г, по заданному значению ее нормальной производной на контуре. Пусть теперь Р— функция от х„, гармонически сопряженная с и(х„), т. е. связанная с ней соотношениями Коши — Римана, п.а Е,а Рд Заменяя в (9.7.1) производные от и производными от Р, получим т, = Р а — ааОХ„та = — Рд + )аОХР Граничное условие (9.7.2) преобразуется к следующему виду: д Здесь символ — обозначает дифференцирование по дуге контуда ра г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
