Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 63
Текст из файла (страница 63)
9. лнтиплоскхя детоРмхция, кРучение, изгив $9.13. Кручение тонкостенных стержней открытого профиля Если сечение имеет форму весьма длинного, вытянутого прямоугольника с размерами сторон 1 и 6, 6/1« 1, то формулы (9.9.8) принимают вид зм )з06 1 'стах = ° З * ' 69С (9.13Л) Действительно, как видно из таблицы т 9.9, коэффициенты й, и й, стремятся к величине 1/3 при неограниченном уменыпении отношения 6/1; при 6/1= 1/10 погрешность формул (9.13Л) составляет около 6%.
Вспомссим второй способ, при помощи которого была решена задача о кручении стержня прямоугольного сечения в з 9.9, Сначала предполагалось, что касательные напряжения параллельны длинной стороне прямоугольника. При этом на концах не будет выполнено граничное условие, состоящее в том, что вектор касательного напряжения в точках контура направлен по касательной к нему. з Необходимая поправка была построена в виде ряда. Если прямоугольник очень вытянутый, то эта поправка будет сказываться лишь на расстоянии сС от конца, и и этом очеви но азме с( имеет по- М = —,' Р.б ~6,'гс. (9.13.2) Определим отсюда 4 и, находя по формуле (9.13.1) крутящий момент М в каждом иэ прямоугольных элементов, получим 69С Ма -Мч~,з,.
(9.13.3) Теперь по формуле (9.13.1) находим наибольшее касательное Р д Р Р рядок ширины профиля 6. Если 6/1 « «1, то Ы/1« 1, и для очень вытянутых профилей поправка перестает быть существенной. Профили прокатных балон из металла обычно бывают составлены из узких прямоугольников. На рис. 9.13.1 изображены так называемые тавровый, двухтавровый и зетовый профили. Если профиль в целом закручивается на угол О, то в каждом из составляющих его прямоугольных стержней возникает момент, определяемый формулой (9.13Л), где 6, и 1; относятся к элементу с номером Таким образом, получается формула з элз, тонкостенные стеРжни ОткРытого пРОФиля 311 напряжение в элементе с номером г Зь, т, = —,М. ~~ 63~ (9.13.4) будем называть величину С геометрической жесткостью. Для криволинейного стержня фигурирующая в уравнении (9.13.2) сумма будет заменена интегралом н мы получим — 3 )63(3)~.
1 ( 3 3 (9Л3.5) тогда как касательное напряжение в точке, примыкающей к гра- ничной поверхности, т(3) = — М. 6 (3) С (9.13.6) Из последней формулы следует, что наибольшее касательное напряжение будет там, где толщина 6, максимальна. Очевидно, найденные формулы дают погрешность тем большую, чем больше отношение 6;/11; при выводе их мы пренебрегали взаимным влиянием элементов в зонах, обведенных кружками на рис.
9.13.1. Предположим теперь, что профиль тонкостенного стержня имеет криволинейное очертание, как показано на рис. 9Л3.2. Штрихами изображена средняя линия профиля, 3 — дуговая координата, измеряемая вдоль этой средней линии, 6(з) — переменная толщина. Более точно нужно 5 считать, что задана средняя линия, в каждой точке М к ней проведена нормаль, по нормали отложены отрезки 6(з)/2,/ в каждую сторону, множество концов таких отрезков образует границу контура, Рвс. 933.2 Будем считать, что 6Л « 1, при атом 1 есть длина дуги средней линии. Сделаем еще предположение о том, что радиус кривизны средней линии р имеет тот же порядок, что 1, т. е.
велик по сравнению с 6. Отдельные изломы, которые возможны здесь, так же как в примерах, приведенных .на рис. 9Л3.1, вносят такую же погрешность; теория перестает быть справедливой в окрестности точки излома. Записывая формулу, связывающую момент с погонным углом закручивания, в виде 312 гл. к Антиплоскля деФОРыицпя, кгучзние, пзгпв 4 914. Нормальные напряжения при кручении тонкостенных стержней Как следует из общей теории, поперечные сечения стержня остаются при кручении плоскими только тогда, когда стержень представляет собою круговой цилиндр. Во всех других случаях происходит искажение поперечного сечения, так называемая депланация.
Однако формулы (9.7.5) показывают, что контур сечения не искажается в своей плоскости, а поворачивается как целое; депланацня, т. е. буквально выход из плоскости, связана только с перемещением точек — — — в направлении оси х,. Для того чтобы изложенная теория кручения была прн'< менима, необходимо, чтобы внешние связи не препятствовали депланации. В противном случае ставится задача о так называемом стесненном кручении. Рис.
9.14.1 Эта задача решается относительно эле- ментарными средствами для тонкостенных стержней открытого профиля, для которых она и представляет особый интерес. Чтобы пояснить существо дела, определим жесткость при кручении тонкостенной трубы с радиусом В и толщиной стенки 6 (рис. 9 14.1). По формуле (9.6.3) для малых отношений 6/г1 приближенно С, = 2яВ'6. Разрежем теперь трубу вдоль образующей. Вычисляя жесткость по формуле (9.13.5), найдем Сс =- — 2лЛ6' 1 3 и отношение Сб 1 сэ с„з д~' Для тонкостенной трубы, когда 6/В « 1, уменьшение жесткости за счет сделанного разреза чрезвычайно сильно. Причина этого ясна: в сплошной трубе возникают касательные напряжения в сечениях ее вдоль образующей, в разрезанной трубе эти напряжения снимаются и она получает возможность депланировать.
А теперь обратимся к случаю, изображенному на рис. 9.14.2. Разрезанная вдоль образующей труба заделана одним концом, к другому концу приложен крутящий момент. Жесткость такой трубы будет больше, чем в предыдущем случае, но меньше, чем 3 КЫ. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ З(З у сплошной трубы. Заделка предотвращает депланацию торцового сечения, в результате жесткость увеличивается при этом в тем большей степени, чем короче труба.
Для сплошного стержня аффект стеснения депланации убывает быстро по мере удаления от заделки; если единственный характерный размер есть Л, то зона концевого эффекта имеет длину порядка Л. В етом состоит принцип Сен-Венана, разъясненный применительно к задаче о кручении в з 9.7. Однако для тонкостенных стержней оценка области концевого аффекта оказывается иной.
Дело в том, что, кроме малого параметра 1И, появляется второй сг Рвс. 9Л4.3 Рвс. 9Л4.2 малый параметр б/Л, и простые соображения размерности оказываются недостаточными для того, чтобы выяснить истинное положение дел. Сохраняя основную гипотезу теории кручения, представим величину касательного напряжения т следующим образом: Ы~ ~ т = р(бр сова + — „'). (9Л4Л) Формула (9.14.1) представляет собою пе что иное, как другую запись общих формул (9.7.1); первый член соответствует повороту сечения на угол 6 на единицу длины относительно некоторого центра О (рис.
9Л4.3); здесь р — радиус-вектор, а — угол между радиусом-вектором и нормалью к траектории касательного напряжения. Величина ди,Яг представляет собою депланацию, Ыг есть злемент дуги траектории касательного напряжения т, т. е. линии, в каждой точке которой вектор т направлен по касательной. Но на средней линии контура т=О; применяя формулу(9.14.1) к средней линии, найдем др соз а с(г + Ыи, = О. Произведение р соз а Ыг = р с(г представляет собою удвоенную площадь заштрихованного треугольника дю, таким образом, О с(со+Ни, = О.
Интегрируя это дифференциальное соотношение, найдем и,(г, х,)= -д(х,)сс(г). ' (9.14.2) Величина сс(г) называется секториальной площадью, она заштри- 314 Гл. о. АнтиплоскАя деФОРмАция, нРучение, изгив дВс = — (Х,в — Х,)НХо+ (Хов — Хо)ЫХО Здесь х в — координаты точки С, х„— текущие координаты точки дуги г. Аналогично Йдв = — (Х~в — Х~) Ыхо + (Хов — Хо) Пхо Отсюда Йдс = А)в — (х~с — х~в) Ыхо+ (хво — хов) дх~. Интегрируя, находим вс = вв + (хоо хов) х1 (и~с х~в) хь (9Л4.4) Таким образом, секториальная площадь определена с точностью до линейной функции от координат. Записывая формулу (9.14.3) в виде о=АХ, +Вх, + С вЂ” ЕО'(х,)в(г), (9.14.5) мы можем выбрать точку С и начало отсчета секториальной площади по произволу, руководствуясь лишь соображениями удобства. Примем за оси х главные центральные оси инерции, так что ~К„бг(г= О, ) хдхвбсЬ= О о о (см.
з 3.3). Выберем точку С так, чтобы было о ~ хавбдг= О ~вбита=О. (9Л4.6) (9Л4.7) Определенная таким образом точна С называется центром изгиба, происхождение этого термина будет ясно из дальнейшего. хована на рис. 9.14.3. Дифференцируя перемещение и, по координате х„мы найдем величину относительного удлинения в направлении оси 3 е„= ио,, = — 6'(х,)в(г). Таким образом, в плоскости поперечного сечения, кроме касательных напряжений т, появляются нормальные напряжения о Ее„= — Ей'(х,)в(г). (9.14.3) В формуле (9.14.3) остается неопределенность, связанная с выбором точки О, принимаемой за центр вращения, а также с выбором начала отсчета секториальной площади вдоль дуги контура. Чтобы устранить эту неопределенность, выясним, как изменяется вид формулы (9.14.3), если принять за полюс другую точку, например точку В, Из очевидного геометрического рассмотрения (известного в теоретической механике при выводе интеграла площадей для движения точки под действием центральной силы) мы можем записать 5 оло.
стеснГнное кгучение и изГиБ стеРжней 315 Составам теперь уравнения в $ 3.7: ) а65(2 =- Х, ) ох,бг)2 =- Подставляя выражения (9.14.4) (9.14.6), находим равновесия, как это делалось — М„1 пх,б,(8 =- М,. для с и учитывая (9Л4.5) п А = — — '. М 1,' А=— М 2 1, Х С=— 2 Здесь 1: =- ) 6559 — площадь сечения, 1, н 72 — моменты инерции относительно осей х, и х, соответственно. Теперь формулу (9.14.5) можно переписать следующим образом: Мх Мх 61 1 2 ) 2 1+ Е629 11 12 д Полученная формула для нормального напряжения отличается от той, которая относится к элементарной теории изгиба, наличием последнего члена, содержащего секториальную площадь. Этот член понвляется тогда, когда погонный угол закручивания 6 меняется с координатой х,. 9 9Л5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
