Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 67
Текст из файла (страница 67)
(10.3.2) Таким образом, краевой дислокации соответствуют следующие функции 1р и 1р: (, + ))п(.—.,)+ р„, ЕЬ 1 (.—.,)+р,. (10.3.4) Дислокации рассмотренного типа, соответствующие поступательному относительному перемещению краев разреза, мы будем называть дислокациями Бюргерса. Вольтерра рассмотрел более общий тип дислокаций, когда кроме относительного поступательного перемещения имеется еще относительный поворот краев разреза. Положим 1Р = сз 1п (з — г,)+ 1Р„1Р = 1)1ь Здесь 1р, и Ф2 — функции, определенные формулами (10.3.3), (10.3.4).
Теперь производная 1р'(з) неоднозначна. На самом деле, 1р'(г) = с1п(з — з,)+..., 11р'(г)1г = 2Л1с, но действительная часть 1~'(г) остается однозначной, если с действительно. Вторая производная ~р" (г) остается однозначной, поэтому условие однозначности напряжений выполняется. Добавляя к функции 1р, слагаемые с 1п(г — з,), мы должны потребовать, чтобы главный вектор сил, приложенных к контуру, по-прежнему равнялся нулю. По формуле (10.2.1) мы проверяем, что условие выполняется тождественно, если оно выполнено для функций 1р2 и 1(1ь Теперь дополнительное приращение перемещения при обходе контура, заключающего в себе точку им будет 2)11(и1+ ш,)г, — — 21пс(1 + и) з.
Таким образом, кроме поступательного относительного перемещения краев разреза, происходит поворот их на угол лс(1+ н)/р. Возвращаясь к дислокации Бюргерса, приведем явные формулы для перемещений и напряжений в случае напряженной упругой з 1З.З. КРАЕВАЯ ДИСЛОКАЦИЯ среды, когда фх=фз=О. Подставляя (10.3.3), (10.3.4) в (10Л.9) и отделяя действительную часть от мнимой, мы получаем выра- жения для перемещений, а именно, и = ' ~а+ — — ( (2=ге ), А (1 + л) ( 2 хзхз 1 1а 1+" гз ! А (1+ н)( л — 1 1 хз и — )п г — — — 1.
2л ( в+1 1+к „2 (' Обращаясь к выражению для А и вспоминая, что и =3 — 4Р, пе. репишем эти формулы следующим образом: Ь (1 — 2» 1 хз) 2л ( 2 (1 — ») 4 (1 ») гз ) (10.3.5) х а =- агс(я —, 21 г = — х,+х,. 2 2 2 Переходим к вычислению напряжений. Для подстановки в формулы (10.1ЛО) и (10ЛЛ1) нам понадобятся следующие величины." (А 21А ф' (2) = — — = — 1А, ' — — — 4Г' (2), ф" (2) = —,з -з з .
з 21А г з 2 . 2 . зз зф" (г) = 21А — = 21А — = — (х1 — Зх,хз — 31х,х, + зхз) . 22 гз г4 В результате подстановки находим напряжения, а именно, ХЗ (321 + хз) Х (Х1 — хз) 11 4 ' 22 4 г г (10.3.6) х (хз — хз) П12 ~ ! г4 О = 2А= аЬ 2л (1 — »)' Формулы (10.3.5) и (10.3.6) определяют поля перемещений и напряжений в зависимости от вектора Бюргерса Ь.
При этом совершенно безразлично, по какой поверхности производился разрез и была ли эта поверхность плоскостью, как показано на рис. 10.3Л. В частности, разрез можно произвести по полуплоскости х,=О, х,) 0 и сдвинуть нихзний край разреза относительно верхнего на величину Ь. Такой способ создания краевой дислокации не требует удаления либо добавления материала. Энергию упругого объема, содержащего краевую дислокацию, можно вычислить точно таким же способом, как вычислялась энергия винтовой дислокации в $9.2. Касательное напряжение 334 ГЛ.
10. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ п„в плоскости х,=О есть ь т=о 2л(1 — т)г ' 1 По теореме Клапейрона (7= —. ) ТЬЛ = " )п —. а' л 2 ) 4л(1 — т) а ' (10.3.7) 3 10.4: Напряженное состояние около трещины Теперь мы в состоянии решать более реальную задачу о напряженном состоянии при наличии трещины или щели, чем задача о трещине продольного сдвига, рассмотренная в 1 9.3, 9.4.
Упругое пространство разрезано на части г ~ плоскости — а < х, ( а, х, = О, на бесконечности О„= О, о,~ = О„= О. В плоскости х,х, трещине соответствует изображенный на рис. 10.4.1 разрез между зонами 1 х, = 3:а, Нз условий симметрии оче- Ю видно, что па оси х, должно быть О,г= = О. Мы удовлетворим этому услови1о, если примем 1Р(г) = — гор'(г)+ 1р(г). (10.4Л) Подставим зто выражение 1Р(г) в формулу (10Л.9). Получим Р .. )О.43 2)г(и,+1и,) = х1р(г) — (г — г)ср'(г) — 1р(г).
Отделяя действительную и мнимую части, находим следующие выражения для перемещений: )1и, =(1 — 2у) Ве 1р+ х, 1ш 1р', )ги, = 2 (1 — у) 1ш 1р — х, Ве гр'. (10.4.2) По формуле (10ЛЛ2) ΄— с„+ 21О„= — 2(г — г)<р" (г). Рассуждения здесь в точности совпадают с теми, которые были приведены в 1 9.2 применительно к винтовой дислокации.
Точно так же интеграл оказывается расходящимся, если подставлять пределы интегрирования 0 и . Выражение (10.3.7) отличается от (9.2.3) только множителем (1 — т) в знаменателе. г 10.1. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОКОЛО ТРЕЩИНЫ 335 Из этого соотнопсения и (10.1 10) находим о„= 2 (Ке ср' + х, 1гп ср" ), о = 2 (Ве ср' — х, 1ш ср" ), (10.4.3) 2 о„= — 2х, Ке ср Формулы (10.4.2) и (10.4.3) определяют поле перемещений и напряжений с помощью одной только функции комплексной переменной ср (г) . При х, = 0 о„= О, он = 2 Ве ср' = огг, ии, =(1 — 2т)Веср, рси, = 2(1 — т)1шср. Желая решить с помощью найденных формул поставленную задачу о трещине, следует выбрать функцию ср(г) таким образом, чтобы Ве ср' была равна нулю на отрезке — а< х, <+а.
Так же, как и в соответствующей задаче для антиплоского состояния, положим ср (г) = С г' гг — аг, ср' (г) = ° (10.4.4) 'г г — а Выясним, к чему стремятся компоненты напряжения при г В формулы для напряжений входит ср'(г), при этом ср (~)=С. Произведение хгср" (г) при г —, как легко показать, стремится к нулю. Действительно, с с.' Р ( ) ( 2 2)1/2 ( 2 2)2!22 как х,(г' — а') '", так и х,г'(г' — а') "* стремятся к одному и тому же пределу хгсг, следовательно, произведение хгср" (г) стремится к нулю. Таким образом, при г- асс =огг=2С он=О. Если принять 2С= о, функция ср(г)=СУг' — а' служит решением задачи о всестороннем растяжении тела, содержащего трещину.
Зта задача отличается от той, которая была поставлена вначале. Действительно, мы потребовали, чтобы на бесконечности было о,с=оса о„=О. Но это несущественно. Предположим, что тело, содержащее трещину, растягивается вдоль трещины. Тогда, очевидно, наличие трещины никак не влияет на напряженное состояние, которое остается однородным. Поэтому, для того чтобы перейти от найденного решения к решению первоначально поставленной задачи, достаточно прибавить к напряжению оАО даваемому первой из формул (10.4.3), постоянное сжимающее напряжение — о. Нас будет прежде всего интересовать распределение напряжений около конца трещины, где напряжения велики.
Поэтому указанная поправка никакой роли не играет и мы ее вводить не будем. Вычисление поля перемещений и напряжений 886 ГЛ. 10. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ В непосредственной близости кончина трещины )х,— а! = Г« « а, разлагая выражения для и1 и о2а по степеням г, мы получим для главных членов разложения следующие формулы: )11 (1 — т) / 2г К1 и, = — ~/ —, о„=, Кг = а Уна. (10.4.6) ~/2яг Как видно, характер особенностей у конца трещины совершенно такой же, как в случае трещины продольного сдвига. Коэффициент интенсивности К1 определяется точно так же, с заменой тна о. Похожим способом решается задача о трещине в поле чистого сдвига, расположенной на оси х„как и в предыдущем случае, но при следующих условиях на бесконечности: а,з=т, а„=ага= — О.
Примем теперь вместо (10.4.1) следующее выражение для функ- ЦИИ 1Р: 1р = — 1р — г1р'. Подставляя его в (10.1.9), получим 2)г(и, + ш,) = х1р — (г — г)1р'(г) + 1р(г). Отделим действительную часть от мнимой, получим формулы для перемещений )ги, = 2 (1 — т) Ве ср + х, 1п1 1р', (10.4.7) )1и, =(1 — 2у)1ш 1р — х, Ве 1р'. По известным формулам вычислим напряжения о„= 2(Ве 1р'+ х,1ш1р"), ааг = 2х,1п11р", а„= 2( — 1ш 1р' — х, Ве1р").
(10.4.8) Эаметим, что теперь при х1 = 0 выполняется условие о„= О. Положим 1р = С 'у' аз — га, 1р' = — . (10.4.9) р'а г приводит к довольно громоздким выражениям, и мы ограничимся нахождением напряжения а„и перемещения иг для точек плоскости х, = О. По формулам (10.4.2) и (10.4.3) получаем о(1 — т),Г з з паз=О, из= 'р~ а — х„) хг ) ( а, (10.4.5) Оа аз = ', и, = О, )х1!)а. 5 10л.
ОснОВные плоские 3АдАчи теОРии упРугости 337 Так же как и выше, убеждаемся в том, что произведение хафв (г) стремится к нулю при г-, тогда как 1р'(~)=С». Таким обрааом, при го = о„= 0 о„= — 2С = т Полагая К„= трло, убеждаемся в том, что все компоненты напряжения имеют особенность типа 1/Ут около кончика трещины и на оси х~.' т = К»»7У2пт. Последние формулы имеют ту же структуру, что прн антиплоском состоянии и для трещины в поле растягивающих напряжений„ з 10.5. Основные плоские задачи теории упругости Первая основная задача. Так называется задача об определении перемещений по заданным на контуре усилиям. Если на каждом из контуров Г» заданы составляющие усилия Т, и Т„ вычисляются функции =,. + ',. = ' ) (Т, + ',) ' в Задача состоит в нахождении функций ф и»р, удовлетворяющих граничным условиям: 7» = 7»+ 1)в» = СР (г) + эР'(з) + »Р(з), з 1н Г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
