Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Из этого рисунка видно, что при х, =0 и х, = 1 концы полосы не могут поворачиваться, аначит, и, = О. Из симметрии следует, что в этих сечениях момент экстремален, поэтому поперечная сила () = БАЛХ/Ох, равна нулю. Действительно, О„= — Рзп подставляя сюда (10.10.1), мы находим, что Оп =О, тогда как ОΠ— — г"Асз-'О. То, что и, =О, можно показать точными Рис. 10Л0.2 Рис. 10.10Л вычислениями, однако приведенные выше соображения симметрии кажутся нам достаточными. Обращаясь к решению Файлона, мы убеждаемся, что при распространении его на бесконечную цепочку одинаковых балок картина будет такая, как показано на рис.
10Л0.2. При х, =О, х, =1 равен нулю изгибающий момент. Действительно, из формул (10.10.2) следует, что О„=РАс обращается в нуль в указанных сечениях. Принципиальная возможность решения задачи теории упругости для прямоугольной области состоит в следующем. Слонсим функции Рибьера и Файлона (10.10.1) и (10Л0.2). Прибавим вторую такую же сумму, в которой координаты х, и х, поменяем местами. Для постоянных коэффициентов функций 1 при удовлетворении граничных условий получаются бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Для построения фактического численного решения эти бесконечные системы приходится где-то обрывать. При этом возникает трудный вопрос о том, в какой мере решение указанной системы из конечного числа уравнений приближает истинный результат.
$ 10Л1. Бесконечно длинная полоса Ограничившись сделанными замечаниями, относящимися к прямоугольникам длинным, но имеющим конечную длину, мы перейдем к случаю, когда длина полосы чрезвычайно велика по сравнению с ее шириной, так что 1 можно считать бесконечно большом. Тогда ряды Фурье по косинусам или синусам заменя- $10.11. БНСКОННЧНО ДЛИННАЯ ПОЛОСА ются соответствующими интегралами Фурье. Положим, например, + г г'= ) ((Лхг)соз(Лх,)с[Л.
(10Л1.1) 0 Это решение соответствует нагрузке, расположенной симметрично относительно оси х,. Заменяя в (10.11.1) косинус через синус, мы получим решение для обратно-симметричной нагрузки. Поскольку любан нагрузка может быть разложена на симметричную и обратно-симметричную части, комбинация двух таких выражений позволяет решить любую аадачу. Здесь мы ограничимся симметричным случаем, т, е.
уравнением (10.11.1). Обратно-симметричный случай рассматривается совершенно аналогично. Если материал изотропен, функция напряжений бигармонична, она удовлетворяет уравнению сг11г' = О. Подставляя сюда выражение (10Л1.1) для функции Г, найдем, что она удовлетворяет уравнению )гт 2Лгу' с ( Лгу' 0 (10Л1.2) Общий интеграл его ((Лх,) = А с)1 Лх, + В з)1 Лх,+ СЛх, с)1 Лх, + РЛх,з)1Лх,. (10Л1.3) Здесь величины А, В, С и Р представляют собою функции от Л. Общий метод проще всего пояснить на примерах.
Пример 1. Переревьгвапие полосы. Как показано иа рис. 10.И.1, равномерно распределенная нагрузка О приложена с двух сторон полосы шириной 2Ь иа участке длиной 2а. Вследствие симметрии задачи относительно оси хь нужно принять в выражении (10.11.3) В = С = О, тогда 1(Лхг) будет четной 7 функцией х,. Теперь граничным условиям достаточно удовлетворить иа верхней стороне полосы, зги условия будут ои = О, о,г = — д(х~ ш [ — а, а) ), ос, — — 0 (х1 Ф [ — а, а) ) .
Рис. 10Л1Л Из формулы (10сПЛ] следует, что югеет место ев о = — 2) Л~( (Лх ) з(вЛхьс(Л, огз = — 2) Л~/(Лх ) сов Лх с(Л о о (вследствие четности подыитегральной функции интеграл от — оо до +оо заменен удвоенным интегралом от нуля до бесконечности), Из первого граничного условия следует 1(ЛЬ) =О, а из второго ве Л'1(Л*.)-'~ оЛ = ~' [О, [х,[> . 358 Гл.
1с. плОскАя 3АдАчА внОРии упвуГОсти По формулам обратного косинус-преобразования Фурье находим а Х 1 (ХЬ) = — ) соа Хх дХ = Х з1п Ха. а р я о Теперь дии функции А(Х) и Р(Х) получается следующая система уравнений: з(п Ха А з)г ХЬ+ Р (з)г ХЬ + ХЬ с)тАЬ) = О, А е)г ХЬ+ Р).Ь з)т ХЬ вЂ” з с. ях' Отсюда 2 з(п).з(зЬ ХЬ+ ХЬс)1 ХЬ) Р— 2 з1в Ха зЬ ЛЬ з т яда (зб2ЬЬ+2ЬЬ) пХ~ (зЬ 2ХЬ+ 2ХЬ) Теперь выражения А(Х) и Р(Е) нужно внести в (10.11.3) и вычислить интеграл (10.11А) илн вторые производные от него по х~, хь т. е. напряжения. Фактическое нахождение величин напряжений требует выполнения численных квадратур. ГЛАВА Н НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ з ИЛ. Представление решения задачи теории упругости в форме Папковича — Нейбера Основная идея изложенного в гл.
1О метода комплексной переменной для решения плоской аадачи теории упругости состояла в том, чтобы представить искомые напряжения и перемещения через функции комплексной переменной, т. е. по существу через гармонические функции действительных переменных х„. Для этих функций формулируются те или иные краевые задачи, методы решения которых и составляют содержание соответствующего раздела теории упругости. Большая часть эффективных методов решения пространственных задач теории упругости представляет собою развитие той же идеи.
Здесь мы приведем и будем в дальнейшем использовать одно такое представление решения задачи теории упругости через четыре гармонические функции. Это представление было открыто Папковичем в 1932 г. и неаависнмо Нейбером в 1933 г. Будем отправляться от уравнений Ламе при отсутствии объемных сил (Л+ р) Ез+ рйи,=о и будем искать решение этих уравнений в следующем виде: и, <р<+ фь (И.1.2) Здесь ~р,— три гармонические функции, тогда как Ф подбирается с тем, чтобы удовлетворить уравнениям Ламе. Из формул (И.1.2) следует О =и,;= в,~+А~р, Аи,= Ь~р, Подставляя последнее выражение в '(И.11~, получим ((Х + р) ~ры+ (Х + 2р) Аф1з = О.
Мы удовлетворим этому уравнению, приняв заключенное в скобки выражение равным нулю. Отсюда следует уравнение, которому удовлетворяет функция ф (И.1,3) Здесь мы заменили отношение постоянных Лапе через коэффициент Пуассона по формулам $8.3. 35О Гл. 11. пРОстРАнстВенные 3АдАчи теОРии упРуГОсти Уравнение (11.1.3) представляет собою уравнение Пуассона, решение его может быть представлено как сумма любого частного решения и общего решения однородного уравнения, т.
е. произвольной гармонической функции. Будем искать частное решение в виДе 1Р = 1(1» =А1Р„хь НахоДим послеДовательно ПРоиззоДные функции 1р*: » 1р1 — — А(1р1+1р» 1х»), 1р 1; = А(1р11+ 1рь1+ 1р» Пх»). Отсюда следует 1р'11 = Л1р* = 2А1рь1 (при свертывании учтено, что функции 1р; гармонические). Сравнивая последнюю формулу с (11.1.3), найдем А=— 4 (1 — т)' Поэтому решение уравнения (11Л.З) будет следующим; 4 1 — ( РА А + Р»)' 1 (11Л.4) где 1р» — четвертая гармоническая функция. Окончательно, комбинируя (11.1.2) и (11Л.4), получаем п1= 1Р1 — 4(1 „) (1Р»х»+ 1Р»),1 1 (11Л.5) Формула (11Л.5) определяет так называемое решение Папковича — Нейбера.
Термин «решение» в данном случае не совсем удачен, это есть некоторое функциональное представление для вектора перемещения в линейно-упругом теле, которое мо;кно использовать для построения уже конкретных решений определенных задач. Мы не будем здесь касаться вопроса о том, может ли любое решение уравнений Даме быть представлено в виде (11Л.5). Можно доказать, что ато так, и, более того, введение четырех гармонических функций излишне; не нарушая общности, можно принять 1р,=О, если только тть1/4. В тех задачах, которые мы будем рассматривать, произвол, содержащийся в формулах (11Л.5), достаточно широк для того, чтобы позволить удовлетворить граничным условиям. $ 11.2.
Сосредоточенная сила в изотропной неограниченной упругой среде Касаясь вопроса о сосредоточенных силах, мы установили, что соответствующие решения позволяют найти решение для нагрузок, произвольным образом распределенных по поверхности или объему. Излагаемое ниже решение относится к случаю единичной сосредоточенной силы, приложенной в начале координат $ МЛ. СИЛА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ 361 и направленной по оси х„.
Соответствующие перемещения мы будем отмечать двумя индексами, первый относится к направлению силы, второй индекс — компоненты с номером 1 вектора и. Таким обрааом, определяются перемещения и„и напряжения оеь которые удовлетворяют следующим условиям: 1. им — одновначныв функоии координат х,. 2. Всюду кроме точки х, =О выполняются уравнения: окц; = О, влц = — (иыц + ид,;), (И.2.1) оьц = ()вбвлвбвв + 2уб;вбд) вввц 3.
и,в=О при х, = 4. Если Х вЂ” замкнутая поверхность, заключающая в себе начало координат, то (~двцпваЕ = Ььц (И.2.2) Рассмотрим теперь неограниченное упругое с произвольным распределением массовых сил рь дачи теории упругости для пространства дается формулами: пространство Решение за- следующими из(х,) = ) иы(х,— $,) Рв яв) Ы)т, (И.2.3) пц (хв) ) оыв'(хв $в) Рь (ьв) Ь) ° Строение формулы (И.2.3) указывает на то, что ик представляют собою компоненты тензора второго ранга, тогда как овв образуют тензор третьего ранга. Эти тензоры называются тензорами Грина для перемещений и напряжений соответственно. Покажем, что тензор и„в симметричен им(х, — Ь,) = ив,(х. — Ь,) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
