Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 72
Текст из файла (страница 72)
(И.2.4) 1 ° и„(х, — $,) = 1 иаф, — х,). Заменяя в правой части разность $, — х, величиной х, — Ь„приходим к условию симметрии (11.2.4) . Условие (11.2.2) указывает па то, что величины о,в должны возрастать с уменыпением т как 1/т, только в этом случае интеграл по поверхности сферы радиусом г от овв может оказаться Заметим прея~де всего, что величины ивв могут зависеть только от абсолютных величин разностей х, — Ь., поэтому аргументы можно заменить на Ь, — х,. Единичная сила, направленная по оси координат х, и приложенная в точке $о вызывает в точке х, перемещение ивв(х, — $,). Единичная сила, приложенная в точке х.
и направленная по оси х„вызывает в точке $, перемещения ивв($. — х.). По теореме Бетти 352 гл. ы. пэостванстввнп»яв задачи твоэии хпвхгости Положим времспно е+р 4(1 — т) 2»2,+2р) Для вычисления и» по формулам (11.1.5) заметим, что бз»х» х» 6»з хзхг »Раз*» = „=, (»Ратх»)» = г з . г Подставляя эти выражения в (11.1.5), получим бм хзх» из» = (1 — с) — ' + е —. г гз ' (11.2.5) Переходим теперь к вычислению напряжений. Вычислим первые производные от из».
При этом используется очевидное тождество дх,/дх~ = 6»с Дифференцируя (11.2.5) по хь получим 6»зх) хзб»)»бю хзх»хг' иы; = — (1 — е) — ' + с — ' + с — '' — Зс з гз гз гз Выражения для компонент деформации будут следующими: 6 х + 6 х,. б,.~хз х х»х» 2ез») = из»;+ изб» = — (1 — 2с) з ' '+ 2с — ', — бе —,* г г г Свертывая по индексам» и у, находим хз Оз = езн — — (2с — 1) —, гз' После подстановки в формулы закона Гука находим хзбн ( 6»ах; + 6»зх» бсхз х,.х»хз! озн = Х(2с — 1) — "+ р ~(2с — 1) ' ' ' »+ 2е —" — бе — '' з "1* Вернемся к обычным обозначениям упругих констант и приведем подооные члены.
Получим аы = — » ~) 3 з»'+»»з' '"' "з . (11.2.6) Чтобы проверить выполнение условия (11.2.2), примем за поверхность Х сферу радиусом г, для которой и» = х;lг. Подынтегральное независящим от радиуса г. Попытаемся выбрать в качестве функций»Р» в формулах (11.1.5) следующие гармонические, всюду кроме начала коордпнат, функции: 661» 'Ры=,, »Рз= О я п.э. дэугии типы еинэиляэньтх Рншинин збз выражение в этом условии будет следующим: р (Л -( р) ( *а*1 р 41а'( оы и; =— Л+ р (,, Л+д,в~' ) 3 + Это выражение нужно интегрировать по поверхности сферы. ЗаГ42 метим, что ) — = 4п.
Интеграл от х„х/~л обращается в нуль х при (Ф)с, при 1= 1 он одинаков для всех значений индексов и, очевидно, *;*э 1 ( Н2 4я — йХ = — 81э~" = бм. „в З,)„э=З в в В результате получаем о„пн;йХ = — 4прбы. Таким образом, найденное решение соответствует не единичной силе, а силе равной — 4п)гб„ь приложенной в начале координат. Решение для единичной силы или тензор Грина запишется теперь следующим образом: Л + д (*~Р( Л + ЗК бы ) (И.2.7) ы Зяр(Л+2р) ( „э + Л+р, / о„= ' 3 "11+ ~ "'' "' ' "" . (И.2.8) вн 4я(Л+2(л) ~,,в + Л+р э * 5 И 3. Другие типы сингулярных решений Отправляясь от формул (И.2.7) и (И.2.8), можно построить другие типы решений с особенностями, как-то: а. Двойная сила и сосредоточенный момент, В точке $з=О приложена сила -Рь в точке ф~ = Л~ приложена сила Ро По формулам (И.2.7) перемещение равно и„= — Р,им(О)+ Р,им((Л,) = Р 71,ииэ(0)+...
Перейдем теперь к пределу, устремляя к нулю рм и неограниченно увеличивая силу Рь так что произведение Р,Ь, стремится к конечному пределу РА,— те. Получим следующее решение с особенностью в начале координат: (И.3.1) ив = Шоим 1. Если 1 = у, то т, называется двойной силой без момента (рис. И.3.1). Система двух равных и противоположно направленных спл, вообще говоря, эквивалентна нулю, но в данном случае, 384 гл, 11. пРОстРАнстВенные ЗАдАчи теОРии упругости когда силы неограниченно возрастают с уменьшением расстояния между ними, в упругой среде возникает напряженное состояние. Если 1ть1, то произведение те представляет собою момент пары Рнс. 11.33 Рис. Н.3.2 и в пределе мы получаем решение, соответствующее сосредоточенному моменту (рис.
11.3.2). Напряжения будут выражаться теперь совершенно аналогичным образом (11.3.2)' Мы выпишем здесь в явном виде только выражения (11.3.1), более громоздкие формулы (11.3.2) выписывать не будем, Л+р ( бьга1+бьгзг Л+зр бю 1 заягз1 ) Зл11 (Л+ 2р) ( гз Л+ и гз гз (11.3.3) Особенность, соответствующая двойной силе, имеет более высокий порядок, а именно, 1/г' — для перемещений и 1/г' — для напряжений. б.
Центр растяжения (сжатия), Свернем тензор и, о по индексам 1 и 12 Соответствующие формулы дают перемещения от трех единичных двойных сил, направленных по координатным осям, Из формул (11.3.3) следует 1 а иыл 4я (Л -(- 211) з ' (11.3.4) Формула (11.3.4) определяет полярно-симметричное поле перемещений, уже рассмотренное в 3 8.14, т. е. соответствующее центру сягатия. Таким образом, центр расширения нли центр сжатия может рассматриваться как результат наложения трех двойных спл без моментов.
Более детальное обсуждение этой задачи содержится в названном параграфе и мы к нему возвращаться не будем. 3 11.4. Дислокация Вольтерра Здесь будет рассмотрен другой тнп сингулярных решений, когда напряжения н перемещения обращаются в бесконечность не в одной точке, а на некоторой линии. Мы уже встречались с примерами таких сингулярных решений, рассматрнван в 1 9.2 винтовую дислокацию, в 1 10.3 — крае- 9 4!л. дпслонАция ВольтеРРА 365 вую дислокацию. Особенности поля напряжений и перемещений в том и другом случаях были равномерно распределены вдоль прямой — линии дислокации. Здесь мы рассмотрим задачу о дислокации в неограниченной упругой среде в самой общей форме. Пусть дан некоторый замкнутый контур Г (рис. И.4Н), Построим поверхность Х, проходящую через этот контур, сделаем по этой поверхности разрез.
Берега разреза обозначим Х+ и Х-. Теперь представим себе, что берега разреза раздвинуты на одну и ту же величину Ь в произвольном направлении. Таким образом, относительное смещение краев разреза задано вектором Ь. В оригинальной теории Вольтерра вектор Ь может быть непостоянным, а линейной функцией координат. Для приложений к физике твердого тела г ,~'-,=".. особое значение имеет тот случай, когда Ь = сопзг; рассмотрением этого случая мы и ограничимся. Итак, берега разреза раздвинуты на величину , у.
вектора Ь. Может случиться, что при этом нам придется удалить часть материала; там где об- Рис. И.4Н разуется пустота, заполним ее мысленно тем же материалом и восстановим оплошность тела. Аналогичным образом уже строились винтовыс и краевые дислокации, сейчас же мы рассматриваем общий случай. Излагаемое ниже решение было дано самим Вольтерра в 1907 г., позднее Бюргерс (1939 г.), Питч и Келер (1950 г.) и другие авторы представили его в иной форме, более удобной для приложений, Теория упругих дислокаций служит предметом отдельной гл. 14 атой книги, теория Вольтерра в общих чертах излагается ниже. Будем смотреть на формулы (И.2.7) и (И.2.8), дающие решение для сосредоточенной силы, как на предельный случай решения, соответствующего некоторым массовым силам, распределенным в конечном объеме, при безграничном уменьшении объема.
Результирующая этих сил остается все время равной единице, а главный момент стремится к нулю. До сих пор мы избегали пользоваться в нашем изложении аппаратом теории обобщенных функций и если сейчас будет записано уравнение, содержащее функцию Дирака, то это нужно понимать именно в укаэанном выше смысле, символ дельта-функции в дифференциальном уравнении обозначает то, что решение ищется для заданной функции, определенной в конечном объеме, а после этого производится предельный переход. Напомним определение трехмерной функции Дирака й(я, — Ьа), состоящее в следующем: интеграл ~ Ь (я — Ьа) а)У равен единице, если объем У Ь ааключает в себе точку $м и этот интеграл равен нулю в противном случае. Тогда определенные формулами (И.2.8) напряжения удовлетворяют следующим уравнениям: Оап,4+баай(яа Ьа) = О.
(И.4.1) Здесь, в отличие от (И.2.8), точка приложения силы есть $,. Запись (И.4.1) нужно понимать в том слысле, что объемные силы равны нулю вне объема У, содержащего в себе точку Ьа и, скажем, постоянны по величине и равны 1/У внутри этого объема. При такой постановке задачи решение существует, оно будет непрерывным и ограниченным, при переходе к пределу при У-а-0 мы должны получить формулы (И.2.8). Заметим, что такой луть вывода этих формул представляется более строгим, чем способ подбора решения с особенностью нужного характера, который был использован в 9 И.2. Определим теперь поле перемещений следующим образом: (И.4.2) зя Гл. г!.
НРОстРАнственньти ЗАдачи теОРии упРуГОсти Здесь и, — еднннчнмй вектор нормали к поверхности 2. Покажем, что фор. мулы (И.4.2) дают решение задачи о дислокации. Для этого нужно убеднться в следующем: 1. Перемещение иг при переходе через поверхнооть 2 изменяется скачком на величину Ьг. 2. Поле перемещений иг удовлетворяет уравнениям теории упругости при нулевых объемных силах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
