Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 73
Текст из файла (страница 73)
3. На поверхности Х н на контуре Г не приложены силы. Для доказательства первого утверищення поступим следующим образом. Проведем через контур Г вторую поверхность 2' и определим перемещение и формулой, аналогичной (И.4,2), и,. = ~3 с „Ьав ~. х' Теперь Я = Х+ 2' представляет собой замкнутую поверхность; если л, есть внешняя нормаль к Я, то в, есть внутренняя нормаль, и наоборот, поэтому Р в в ( Ог,бьимЬУ 8 В атом соотношении интеграл берется на замкнутой поверхности с, поэто- му его можно преобразовать в объемный интеграл по формуле Гаусса— Остроградского, а именно, пг — пг = ) Огьенбьгг)г У илн, вследствие (И.4Д), и.— й=Ь "АЗУ.
,=, (' У (И.4.3) И Огт"Р,ч ) Игч Рььч"'зла х По определению функции Дврака б правая часть (И.4.3) равна Ь! нли равна нулю в зависимости от того, находится точка х, внутри объема У, ограниченного поверхностью Я, нлв зне стого объема. Таким ооразом, левая часть получает скачкообразное приращение прн переходе через поверхность Я. Но при переходе через поверхность Х может получить приращение только перемещение вг, таким образом, первое утверждение доказано. Более того, поверхность 2 н соответственно Х' — любые поверхности, проходящие через контур Г, и рассуждения, связанные с соотношением (И.4,3), всегда сохраняют силу. Отсюда следует, что в уравнении (И.4.2) интегрирование можно вести по любой поверхности Е; выражения для и~ и, следовательно, сп определяются только заданием контура Г— линии дислокации и вектора Бюргерса д.
Многозначность иг связана с обходом по контуру, окружающему линию дислокации Г (см. рис. И.4.2), а не с пересечением какой-то определенной поверхности 2. Отсюда ясно, что ис г и ан представляют собою непрерывные функции координат. Переходим к проверке второго утверждения. По закону Гука 367 9 ы.з. ТеОРемА ВейнгАРтеыА но сры = Ец „из», „, поэтому "=1Е;РтЕь,м»в Ь ПАВ х Используя симметрию тензора Грина ир, заметим, что Ецв ир„, »з = Ецрти„ю т — — а ц, „ и, следовательно, (И.4.4) оц = Е~ <»Ьзл»с»ц) »42.
Но о ц,, как было показано в 4 И.З, есть напряжение, соответствующее двойной силе в точке $. Таким образом, решение (И.4.2) для перемещений и (И.4.4) для напряжений есть решение вадачи теории упругости, соответстзугощее распределению двойных сил на поверхности 2. Это решение (И.4.4) по самому своему построению удовлетворяет однородным уравнениям равновесия зо всей области, кроме поверхности 2, а так как поверхность 2 может быть заменена любой другой, проходящей через контур Г, то и на этой поверхности никаких сил действовать ие может.
Проверка третьего утверждения по существу излишня, легко проверить, что, как вто и должно быть, по поверхности 2 распределены двойные силы беэ момента. Действительно, из (И.4.4) следует, что интенсивность распределения двойных сил есть в$»» Еы» Ььл» Момент единичной двойной силы в плоскости з»х равен векторному произведению базисных векторов е»Х е„. Таким образом, момент, приходящийся на единицу площади, есть пв = Е„ „Ь„и,е Х е„. Тензор Еы , симметричен относительно индексов т и и, а так какеюХ е„ = — е„Х е , то т = О. Таким образом, на поверхности 2 не приложены ии усилия,ни моменты.
9 1И5. Теорема Вейнгартена При изложении теории дислокаций в предыдущем параграфе мы в болыпей мере следовали статье Лейбфрида, чем оригинальной работе Воль- терра. Вывод о том, что выбор поверхности разреза Б не существен, а поле перемещений и напряжений определяется лишь контуром Г и вектором Ь, приведет неизбежным образом к выводу о том, что в формулах 4 И.4 поверхностные интегралы могут быть преобразованы в интегралы по контуру Г. Для изотропного тела это было сделано частично в работах Бюргерса ((939 г.); в формулах Бюргерса, кроме контурных интегралов, остался еще телесный угол, под которым виден контур Г из данной точки пространства. Пич и Келер в 1950 г. сумели представить телесный угол, также с помощью контурных интегралов. Для анивотропного тела решение в явной форме получить не удалось. Метод Вольтерра при всем своем изяществе производит впечатление некоторой искусственности, решение оказалось угаданным как бы случайно и оправдано последующей проверкой.
Теорема Вейнгартена устанавливает принципиальную возможность решений, соответствующих многоаначным перемещениям с сохранением непрерывности деформаций и их производных, и накладывает определенные ограничения на характер неоднозначности. гл. со, пгостванствкннык задачи ткогии угсгугости Выберем две бесконечно близкие точки М~ и М на разных сторонах поверхности Х на рис. И.4.1 и две другие бесконечно близкие точки Мь и М . Соединим точки Меч н М+, М и М бесконечно близкими кривыми, одна нз которых находится на стороне Х+, другая на стороне Х . Положим в формулах Чезаре (7.3.5) ем+ (хс — зс) (есо, с — еос, с) = Чсо. Вследствие сделанного предположения о непрерывности еы и нх проиаводных Ч+ = Ч для бесконечно близких точек на двух сторонах поверхности Х, но в точках М+ и М как перемещения ио, так и повороты в',.'., вообще говоря, различны. По формуле (7.3.5) получаем м ис из++во+ (х хо)+ ( Ч Д5 мо м и,.
=ио +во. (х — хе)+~ с) ссэ . мо Криволинейные интегралы разнятся на бесконечно малую величину, поэтому пределы их обовначены буквами М, и М без индексов плюс и минус. Вычитая одно уравнение из другого, получим [и ) = [и~) + [во.) (х — хо). (И.5.1) В формуле (И.5й) квадратные скобки обозначают, как обычно, разрывы соответствующих величин. Это соотношение и составляет содержание теоремы Вейнгартена: если напряжения и их производные непрерывны, то разрывы непрерывности перемещений могут быть только такими, которые соответствуют перемещению жесткого тела. 3 11.6. Задача теории упругости для полупространства Формулы (11.1.5) представляют перемещения в упругом теле через четыре гармонические функции, Однако в общем случае в граничных условиях фигурируют комбинации этих функций, и воспользоваться известными решениями задач теории гармонических функций, как правило, не удается.
Однако в некоторых случаях задача теории упругости сводится к той или иной задаче для уравнения Лапласа; таким образом, удается построить эффективные решения. Одной из таких задач служит задача об упругом полупространстве. Пусть упругая среда занимает область пространства х, ш [О, ), плоскость х, = 0 является границей, на которой заданы те или иные условия. Здесь мы ограничимся изучением наиболее простого случая, когда на граничной плоскости равны нулго касательные напряжения о„, (сх = 1, 2).
В этом случае, как будет показано, все перемещения и напряжения выражаются через одну гармоническую функцию. Условихгся сохранять индексные обозначения только для осей х, и хо, ось х, будем обозначать как ось г, Как уже было принято ранее, а сс.з. ЗАдАчА тБОРии упРуГОсти для полупРОстРАнствА 369 1 иа — Фа — 4(1 „) ((Фахд + Фо),а + ЗФз,а)з (И.ОЛ) дФ 3 ФЗ 4 ~ (Фд д + Фо) + ФЗ + Касательные напряжения о,„выражаются формулами да оза=.р(пза+ д ). После подстановки сюда выражений (И.6.1), находим, что при з = О должно быть дФа 1 — 2т 1 ( дФЗ дФа ) + — Ф, ~Р +,„~) О дз 2(1 — т) ' 2(1 — т) (, дз дз ),а Этому условию можно удовлетворить, если принять дФа 1 — 2т дно дФд 1 — 2т — — срз,а, — ' —— — хд — = хдсрз д. (И.6.2) дз 2(1 — т) ' ' дз дз 26 — о) Первое условие (И.6.2) утверждает тождественное равенство двух гармонических функций на плоскости з = О.
Но если две гармонические функции совпадают в некоторой области, они совпадают всюду. Что касается второго равенства (11.6.2), левая часть его есть значение при а =О гармонической функции дФз/дг, тогда как правая часть есть граничное при г = О значение функции х,Ф, с. В 4 ИЛ при выводе формул (ИЛ.4) мы убедились, что если Фс — гармонические функции, то сз (хссР;) = 2Фс с. В нашем случае срс = срз,, следовательно, й (хзсрз,,) = 2срз, н = О, поскольку Ф, — функция гармоническая. Таким образом, получаются соотношения, справедливые для всего полупространства, дфа 1 — 2о дФЗ 1 2т ( дФЗ1 Фз,аз — = ( хасрз,а + з — ') .
(И.6.3) дз 2 (1 — о) а' дз 2 (1 — т) ( а за Если ввести обозначение 1 2т дФв 2(1 т) "Рз = дз (И.6.4) то формулы (11.6.3) выражают все функции Ф, через одну 24 Ю. Н Расотноа индексы, принимающие значения 1, 2, будем отмечать греческими буквами. Перепишем теперь формулы (11.1.5) следующим образом: 37О Гл. 1!.
пРОстРАнственкьге ЕАдАчи теОРии упРуГОсти гармоническую функцию зрз, а именно, фа = 'Р,аз фз = Хаф,а+ З дз ЗР з з дфз (И.6.5) (при выводе последнего соотношения следует произвести интегрирование по частям). Теперь по формулам (11.6.1) находятся перемещения и з = — (1 — 2У) ф,а — з а, из .= 2 (1 — т) — — з —. (И.6.6) дф дф дзр дз ' дз дзз Для простоты записи здесь сделано еще одно переобозначение, а именно, 2 †4 (1 — зз) (1 — 2т) ~ ' Через единственную гармоническую функцию ф вычисляются также все напряжения. Мы не будем выписывать здесь все формулы, приведем лишь выражение озз, а именно, о„= 2)з — ф — з — ф (И.6.7) з (ха з)' дз Тогда прн г = О дР из — — 2 (1 — т) зф, озз = 2)з —. дз ' (И.6.8) Первая задача сводится, таким образом, к определению гармонической функции по заданному на границе значению ее нормальной производной (задача Неймана), вторая задача — к определению гармонической функции по заданному ее значению на границе (задача Днрихле).
Контактная же задача формулируется следующим образом: требуется найти гармоническую в верхнем полупространстве функцию г', если на части О', граничной пло- Возможные краевые задачи при поставленном заранее условии о, = О на граничной плоскости О при в=О будут следующие: а) ПЕРВаЯ ЗаДаЧа: О„ = -17(Х,), Хаш О; б) вторая задача: и, = из(х„), х„зи Я; в) смешанная или контактпая задача: из = из (ха), ха зе Язз озз = Д (ха) з ха зи 5з, Яз + Яз = Я.
Поскольку в граничных условиях всех этих трех задач будут фигурировать только производные функции ф по з, а не сама функция или ее производные по х„, при математической формулировке перечисленных краевых задач удобно принять в качестве неизвестной производную от зр по з, положив 5 11.7. НОРМАЛЬНАЯ НАГРУЗКА НА ГРАНИЦЕ скости задано перемещение 87; значит, Р = 2, тогда как на ду « оставшейся части — = — —. Термин «контактная задача» связан дг 2р' с тем, что заданное перемещение и,= п7 может быть осуществлено путем вдавливания абсолютно жесткого штампа без трения, хотя некоторые другие задачи, например задача о напряженном состоянии около плоской трещины, приводят к точно такой жв математической формулировке. и 11.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
