Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 77
Текст из файла (страница 77)
12ЛЛ показана некоторая точка М, принадлежащая плоскому сечению, проходящему через точку Ж оси. Радиус-вектор точки М можно записать следующим образом: г=хе,+уе, +хе,. Радиус-вектор точки М, в которую перешла точка М в результате деформации, вследствие предположения о сохранении плоского сечения будет г' = хег+ (У + и) е, + (2+ в — Уи')е,. При этом выводе, геометрически ясном из рассмотрения рис. 12ЛЛ, мы считали, что и'= г[РУЫ2 ~ 1.
Компоненты перемещения точки М будут, таким образом, и,=О, и,=и, и,=в — уи'. (12.1Л) Вычисляя компоненты деформации, мы находим, что все они равны нулю, кроме одной е„= в — уи'. (12Л.2) Поскольку мы наложили геометрические ограничения на характер деформации балки и предопределили заранее поле деформаций, заданное формулой (12Л.2), содержащей две неизвестные функции одной только переменной 2, для получения уравнений изгиба естественно применить вариационный принцип Лагранжа. Построим функционал Лагранжа по формуле (8.7.5) или, выполнив интегрирование по площади сечения, Ув — — ~( — — ЕЕв' — — Е1Р~'+ РР) Нх+ Р [в(1) — в(0)).
(12Л.З) О Здесь Р— площадь сечения, 2 — момент инерции площади сечения относительно оси х (см. з 3.3), 7 = ~ у'ИЕ. Вариация функционала Лагранжа должна обращаться в нуль при варьировании независимых аргументов в и щ Варьируя в, получим — ) ЕРв'Ьв г)х+ [Ьв(1) — бв(0)) Р =О.
о з 12.1. ПРИБЛИЖЕННАЯ тЕОРНЯ ИЗГИБА БАЛОК 389 Преобразуем интеграл путем интегрирования по частям. Результат будет следующий: — Ерш' (1) Ьи (1) + Ериг' (0) Ьи1 (0) + + (Ью (1) — Ьй (0) ) Р + ) ЕРи1'Ьи1 г(г. О Так как Ьв(г) — произвольная функция, то отсюда следует и" = О, и ' = сопз$ = —. (12.1.4) Проварьируем теперь прогиб и(г). Получим ~ ( — ЕХР"Ьо" + РЬР) бг = О. 6 Проинтегрировав первый член по частям два раза, преобразуем это равенство к следующему виду: ~ ( — ЕХигч + р) Ьи дг + ЕХР" (1) Ьи' (1) — ЕХР" (0) би' (0)— о — ЕХР" (Е)ЬР(1)+ ЕХ~" (0) Ьи(0) = О. (12 1.5) Предполагая, что Ьп(г) — произвольная дважды дифференцируемая функция, мы должны считать, что Ьп(г), гш(0, 1] есть произвольная функция такая, что Ьи и Ьо' принимают при в =0 и г =1 произвольные значения. Поэтому из (12.1.5) следует дифференциальное уравнение ЕХР -р=О и естественные граничные условия и" (1) = Р" (0) = О, и"' (1) = Р"' (0) = О.
(12.1.7) Эти условия относятся к балке со свободными концами. Они изменятся, естественно, если на конце балки приложена сосредоточенная сила или момент. Тогда соответствующие члены необходимо включить в функционал Лагранжа как работу внешних сил. Если на деформацию балки на ее концах наложены некоторые кинематические ограничения, например, и(0) = 0 (конец г = 0 свободно оперт) или Р(0) = и'(0) = 0 (конец балки защемлен), то эти ограничения представляют собой предварительные условия, которые служат граничными условиями для (12.1.7), тогда как при варьировании мы должны подчинять тем же условиям Ьи(0)=0 и (или) би (0)=0 вариацию Ьи(г) и соответствующие члены в (12 1.5) выпадают.
Величина ЕХР" (г) называется изгибающим моментом, величина ЕХР" (г) — перерезыва- зйО ГЛ. 1Х СТНРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ ющей силой; более детальный аналиа конкретных примеров был дан в гл. 3. Существо данного параграфа состоит в том, чтобы показать, каким образом элементарная теория может быть получена из точных уравнений теории упругости, если подчинить поле деформаций некоторым ограничениям. з $2.2. Распространение вариационных методов на геометрически нелинейные задачи Это уравнение по форме не отличается от того, которое полу- чается в результате варьирования (8.7.5), но теперь для компо- нент тензора деформации мы сохраним точные нелинейные вы- ражения (7.2.3) 1 сп = 2 (и1Л+ и11 + ию1иы1) ° (12.2 т) Граничные условия на части поверхности Я„ и1 — и, =о (42.2.2) мы будем считать выполненными заранее; это вначит, что пере- В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней.
Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т.е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в $ 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации.
Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу з 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными перемещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью О'=От+Я, нахоДитсЯ поД Действием массовых сил г'< и поверхностных сил Т1, заданных на Я,. Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, учтя также виртуальную работу внутренних сил, т. е.
напряжений, имеющих потенциал У(е,1), з»г.з. влгилционныв мвтоды для нклинкиных зхдач 391 1 < = ) (а»» (г»г з и»л 2 из,» — 2 иг,»и«,»)»< (гн) + г»и») <»У + т + ) Т;ифБ+ ~(и; — и,) р»»<Я. (12.2.3) гт Проварьируем перемещения иь Получим ЬХ = ) ) — аа (Ьи»; + Ьи; » + и»лбиг; + иг;Ьиг») + Р»би») <»У + г + ) Т; Ьи»Ж + ) Ьи»р»»)Я.
(12.2.4) Выражение аз(би,,+и, <Ьи,,) может быть записано в виде а<(ЬА<+и» <)Ьи» ' г< Ьи< Аналогично аз(Ьи,, + иц»би,,)= ае(бц + и„,)би„ < ††ао(Ь<<+ и» <)Ьиг < гцби<» Поэтому уравнение (12.2.4) можно записать следующим образом: ) ( — гг<биг;+ Ргбиь)<йг+ ) Т;Ьи»<Ы+ ) Ьи»)»»<»Я = О. У гт Б« Преобразуя объемный интеграл обычным способом, получим уравнения равновесия г<ь»=О и условие на поверхности г»»нг = Т» < л» е=- Бг< гап< = Ри х» е=- о« (12.2.5) (12.2.6) Здесь го = ац(Ь<, + и,,). (12.2.7) Заметим, что тензор гз несимметричен, гзФ гг. Существо сделанного вывода заключается в следующем.
Тензор напряжений ао отнесен к метрике, определенной для недеформированного тела. При составлении дифференциальных уравнений равновесия в мощения варьируются с учетом (12.2.2), т. е. так, что Ьи, О, л<»н Я„. Чтобы учесть дополнительные условия (12.2.1) и (12.2.2), мы введем, как это делалось в $ 8.7, множители Лагранжа а,< и р„ тогда условие равновесия будет представлять собой равенство нулю вариации следующего функционала: 392 гл.
гх стягжни, пластины и оволочки обычной форме то обстоятельство, что координатные плоскости декартовой системы координат искривляются в результате деформации и становятся координатными поверхностями некоторой криволинейной системы коордлнат, во внимание не принимается.
Вместо того чтобы рассматривать эти изменения геометрии, мы просто определим напряжения как обобщенные силы, соответствующие компонентам деформации, определенным точными нелинейными формулами. Действительно, варьируя компоненты деформации ее в функционале (12.2.3), мы снова придем к известным уравнениям связи дГ Оп = —. В заключение перепишем функционал (12.2.3) с учетом (12.2.6)' 1 .7 = ') ~сгп(ео — — иь; — — и;; — — иддим;) — П(еп) + г;иф$'+ + ) Т;и~оБ+ ~(и~ — и';) ам(бса+ и; д) и;ЫЯ. (12.2.8) вг вв Условие стационарности функционала (12.2.8) эквивалентно выполнению всех уравнений геометрически нелинейной теории упругости, этот функционал вполне аналогичен функционалу (8.7.1), в который он и превращается после отбрасывания членов, вносящих нелинейность. Поступая точно так же, как в з 8.7, мы можем получить отсюда функционал Рейснера, а именно, г „= ) ~ — ~ ап (иьз+ иь,.
+ ид;имг) — Ф (о'и) + Е;и;~ с5' + 1 + ~ Т,ифБ -)- ~ (и~ — и;) апп;ЫБ. Здесь варьируются независимо напряжения ое и перемещения и,. Функционал Лагранжа, записываемый через и„и деформации ее, выраженные через и, по формулам (12.2.1), послужил отправной точкой для всех выводов. Прямое распространение на геометрически нелинейные задачи вариационного принципа типа Кастильяно невозможно. Действительно, в линейной теории было использовано то обстоятельство, что бе„- выражается через би, по тем же формулам, по которым ее выражаются через ие Поэтому преобразование объемного интеграла можно было произвести до варьирования функционала. В нелинейной теории этого сделать нельзя.
3 12.3, УСТОЙЧИВОСТЬ С)КАТОГО СТЕРЖНЯ 393 5 12.3. Устойчивость сжатого стержня и родственные задачи При тех же предположениях, которые были приняты за основу в з 12Л, составим точное выражение деформации по формулам (12.2.1) е„= (л)' — уо") + — (к)' — уо")з + —, о". Второй член мал по сравнению с первым, но последний может быть того же порядка, что первый. Позтому мы опускаем второй член и записываем ) Фз ° еы=л) + — о — Уо ° 2 (12.3Л) В нелинейной теории остальные компоненты деформации уже не обращаются все в нуль, но оии малы по сравнению с е„. Предположим теперь, что стержень сжимается продольной силой Р, как это было показано на рис.
4.1.1, концы стержня для простоты будем считать шарнирно опертымн. Составим функционал Лагранжа так же, как зто делалось в $12Л, но с учетом выражения (12.3.1) для деформации е„ Хи = — ) ~ — ЕР(ю'+ 2 У") + 2 Е1Р"'~ г[з — [и)(1) — ю(0)) Р. о Варьируя перемещение )о, найдем, что г и + — Р = — — = сопз1. 2 ЕЕ (12,3.2) Е1Р) + Ро = О. (12.3.3) При закреплении стержня по схеме, приведенной на рис. 4Л.1, выполняются следующие граничные условия: 1)(0) = ))(1) = О, и" (0) = и" (1) = О. (12.3.4) В з 4.2 уравнение (12.3.3) уже было рассмотрено. Было показано, что при граничных условиях (12.3.4) нетривиальное решение существует лишь тогда, когда сила Р принимает одно из следую1цнх дискретных значений; в ззЕ! )и= р Существенно заметить, что это соотношение нелинейно относи- тельно прогиба и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
