Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Ая з ЗР Г х«Р« -Г1 2 ь т/ ь (И.10.3) Перемещение и, при г = 0 и внутри эллипса определяется теперь первой из формул (И.6.8), а именно, а 2 х Р ! — » — » (и ) 3(! — ~] Р ( ~ +Х Ь +Х г(Л. (11.10.4) 8л!!,! )Г„( ~+ А) ( «+ ) Найденное ре«пение соответствует задаче о вдавливании жесткого штампа, имеющего форму параболоида. Если штамп достаточно пологий и поверхность его гладкая, прн этом в точке первоначального контакта радиус кривизны отличен от нуля, то перемещение и, может быть разложено в ряд Тейлора и при удержании первых членов разложения его следует рассматривать как квадратичную функцию координат, а именно, и, =Ах'+ Ву'+С. (ИЛ0.5) Подставляя в (И.10.4) и приравнивая коэффициенты при х', у* и свободных членах, мы получим три уравнения для нахождения глубины вдавливания при х = у = О, т.
е. константы С, а также для раамеров площадки контакта а и Ь. Однако прежде чем выписать эти уравнения и извлечь из них некоторые следствия, мы переформулируем саму постановку задачи. й ИЛ1. Контактная задача Герца Как показал Герц (1881 г.), изложенная выше теория распространяется без всяких изменений на случай контакта двух произвольных упругих тел. Два иаотропных упругих тела, имеющие, вообще говоря, разные упругие постоянные, ограничены выпуклыми поверхностями. Будем отмечать индексом «плюс» величины, относящиеся к одному из этих тел, и индексом «минус» величины, относящиеся ко второму телу. Эти тела приводится в соприкосновение так, что точна 0~ первого тела совпадает с точкой О- второго тела.
Теперь одно тело прижимается к ЗР Внося в выражение для Р, мы находим Прс = — и, следова8л«Ь тельно, 5 11.11. КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ГЕРЦА другому силой Р, вследствие упругой деформации вместо точечного контакта в точке О образуется площадка контакта конечных раамеров. Теория Герца основывается на следующих предположениях. 1.
В окрестности точки О уравнение каждой из поверхностей, ограничивающих контактирующие тела е их первоначальном состоянии (до наступления контакта), может быть записано следующим образом (рис. И.ИЛ): г1 = А+х'+ В+у'+ 2Свху, (И.ИЛ) г =А х'+В у'+2С ху. Оси х+ и х, у+ и у выбраны парал- ~ - з лельными, поэтому в формулах (И.ИЛ) при обозначении координат х и у индексы опущены. 2. Размеры площадки контакта ма; лы по сравнению с радиусами кривив- ' (р ны поверхностей контактирующих тел, поэтому в разложениях функций г+(х, у) и г (х, у) достаточно удержать квадратичные члены, как это сделано в формулах '(И.ИЛ)'. 3. Поскольку нас интересует напряженное и деформированное состояние на площадке контакта и вблизи ее, можно приближенно считать, что это напряженное и деформированное состояние практически не отличается от тово, которое возникает в упругом полу- пространстве, поэтому изложенная вы1 же теория сохраняет силу.
х' 'в Заметим, что величины А, В и С в формулах (И.ИЛ) могут быть равны- ~ ~ 1 ~ 1 ~! ми нулю. Тогда разложение функций ~Р г+ и г начинается с членов четвертой степени относительно х и у (при есте- Рзс. 11Л1.2 ственном предположении о четности функции х и у). Соответствующая контактная задача была получена Штаерманом. После приложения силы Р тела приведены в соприкосновение, как показано на рис. ИЛ1.2. Точки О+ и 0 совпали, совпали также оси х+ и х, у+ и у .
Точки а и Ь служат границами площадки контакта в изображенном сечении, точка т+ совпала с точкой т . Обращаясь опять к рис. И.ИЛ, видим, что для этого должно быть выполнено геометрическое условие Рас. 11Л1Л г++ иэ + г + иэ — — а =сопз$. (И.И.2) 330 гл. м. НРОстРАнственные ЗАдАчи теОРии упРугости Заметим, что рис. И.ИЛ для упрощения сделан неточно.
В действительности точки поверхности контакта получают не толь+ + ко перемещения из и из, но также и, и и,, из и из, которые, вообще говоря, различны для двух контактирующих тел. Поэтому точки т+ и т, сливающиеся после деформации в одну точку т, на рис. И.ИЛ нельзя помещать на одной вертикали. Однако легко убедиться, что учет смещений в плоскости осей х, у приведет к появлению в условии (ИЛ1.2) членов вида и~/(2В), ..., где  — один из радиусов кривизны. Эти члены имеют второй порядок малости по сравнению с теми, что фигурируют в левой части (И.И.2), и при принятой степени точности теории должны быть отброшены. Величина а представляет собою сближение тел при упругом контакте.
Подставляя выражения (И.ИЛ) в соотношение (ИЛ1.2), получим и~~+из =а — (А++А )хз — (В++В )уз — 2(С++С )ху. (И Л1.3) Квадратичная форма, стоящая в правой части (И.И.З), может быть преобразована надлежащим поворотом осей в сумму квадратов, поэтому (И.И.З) можно переписать следующим образом: изз + из = а Ахз ВУз. (И.И.4) В выражении (И.И.4) оси х и у уже не совпадают по направлению с первоначально произвольным образом выбранными осями х* и у-. Соотношение (И.И.4) заменяет полученные в конце предыдущего параграфа выражения (ИЛ0.5) для прогиба и, под жестким штампом.
Вследствие сформулированного выше третьего предположения теории Герца как из, так и йз (при г+= О, г =О) выражаются по формуле (И.10.4), следовательно, (ИЛ1.4) можно переписать так: хз Рз зр з — + т — х+л ь +л3Л Ул(х + л) (ь + л) (ИЛ1.5) Уравнение (ИЛ1.5) распадается на три уравнения, поаволяющие вычислить а, а и д. Мы выпишем эти уравнения, положив 5 11ла контлктнля элдлчА ГеРцА Получим А — —,, ) (11.11.6) , (1+В У ~(1+В(а'+й) О а-Р". Размер площадки контакта меняется пропорционально корню кубическому нз нагрузки. Теперь из первой формулы (11А1.6) следует а — Р'~'. Сближение контактирующих тел пропориионально нагрузке в степени 2/3.
Последний факт был положен Герцем в основу теории соударения упругих тел. Было сделано допущение о том, что зависимость между нагрузкой и перемещением при ударе остается той же, что и в статике. Более точный анализ требует учета сил инерции в самих уравнениях теории упругости. Обратимся теперь к рассмотрению простейших случаев, когда интегралы в формулах (11.11.6) вычисляются элементарно. а.
Контакт двух е4ер радиусами В" и В . Очевидно, что уравнение сферы вблизи точки О есть г = т'/(2К), поэтому 1 1 В++ Л А — — + —— 2Л+ 2й 2й+Л Каждый из интегралов представляет собою функцию отношения осей эллиптической площадки контакта й, все они приводятся к эллиптическим интегралам и, следовательно, могут быть вычислены. Мы не будем здесь приводить это решение, ограничившись некоторыми качественными выводами и анализом простейших случаев. Поделив второе из уравнений (11.11.6) на третье, мы найдем, что отношение А/В есть функция й, но А и В зависят только от геометрии соприкасающихся тел, это заданные постоянные.
Поэтому отношение д/а = у не зависит от нагрузки и упругих свонств контактирующих тел, это отношение определяется только их геометрией. Следующее заключение, которое можно сделать, состоит в следующем. Отношение Р/а' должно оставаться постоянным прн изменении нагрузки, что следует из второго или третьего уравнения, поэтому 362 Гл.
11. пРОстРАнственные ЗАДАчи теОРии упРуГОсти Интеграл в первой формуле (11.11.6) для сг при 1 = 1 вз , 'у'э(1+ е) Интеграл во второй или третьей формуле (11.11.6) для А =В (Ю Отсюда получаем следующий результат: г гя (11.11.7) б. Контакт двух круговых цилиндров одинакового радиуса К с перпендикулярными ос ми. Как легко убедиться, в этом случае площадка контакта будет кругом, формулы (11.11.7) сохраняют силу и в этом случае, но теперь А=В= л. 5 11.12. Температурные напряжения Деформация тела, вообще говоря, не обязательно должна быть только упругой, она может быть вызвана какими-либо иными причинами.
Как мы увидим дальше, при пластическом деформировании полная деформация оказывается состоящей из двух частей: упругой, связанной с напряжением закона Гука, и пластической, необратимой. Другой, самый простой пример такой вынужденной неупругой деформации представляет собою деформация, связанная с изменением температуры. В общем случае температурное расширение анизотропио и температурная деформация ец определяется так: ец = сгц (Т вЂ” Тг).
Здесь ссо — тензор коэффициентов термического расширения, Т вЂ” текущая температура, Т,— условно зафиксированная температура, при которой предполагается, что деформация равна нулю. Тензор ец вообще не удовлетворяет уравнениям совместности, поэтому возникают упругие деформации ец. Полная деформация ец = ец + е„ т удовлетворяет условиям совместности, т. е. выражается через компоненты перемещения по известным формулам. 5 11.12. 1.'емпеРАТРРные нАпРяжения Таким образом, мы имеем ои = Е»1ы (еы — еь1). (И.12Л) Упругое изотропное тело, как правило, изотропно и по отношению к температурной деформации, тензор ац — — абц, где а — обычный линейный коэффициент теплового расширения, и формулы (ИЛ2Л) принимают вид оц = ЛОбц+ 2рец — (ЗЛ+ 2р) а (Т вЂ” Т,) бц.
Внося это выражение в уравнение равновесия, получим (Л+р)О,+ рДи,— а(ЗЛ+2р)Т, =О. (ИЛ2.2) Здесь гидростатическая составляющая тензора напряжений представляет собою независимую величину в том смысле, что она не связана с деформированным состоянием тела. При наличии температурной деформации мы получаем оц = об» + 2Рец — 2Ра (Т вЂ” Т;) 6»1, а после подстановки в уравнения равновесия вместо (ИЛ2.2) получается следующая система: о,+рДи,— 2раТ,=О, и,,=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
