Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 79
Текст из файла (страница 79)
(12.5.7) та,,„=О, Уравнения (12.5.7) вместе с уравнениями связи (12.5.4) или (12.5.3) для общего случая анизотропного линейно-упругого тела тождественны с уравнениями плоской задачи теории упругости. Итак, усилия в срединной плоскости и перемещения точек срединнои плоскости пластины находятся из уравнений плоской задачи независимо от того, изгибается пластина или не изгибается. Вудем теперь варьировать прогиб ю. Интегрируя один раз по частям, получим 3 ~ Мазю,аз~(хд Ехэ = ~ Мазбю,аэг)хг ~(хэ э э ~ [(Маэбюа)З вЂ” Маз,збю,а) Ыхг 5(хз = ~ Мазбю,алэаз Э Маэ,з бю,а5(хг 5(хэ ° Преобразуем второй интеграл таким же способом.
Получим Ма~ею,аахг ахэ = ) Маэ,зла бю аз — ) Маз,азбюахг 5(хз в в Таким образом, вариация функционала при варьировании одного ГЛ. 12. СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 400 только прогиба й будет следующая: ЬХпа = ~ (Мад ад+ па) Ьид д(хд д(хв + ~ Мадбй,апддХз 8 — ~ Мад дпаЬид й + ~ Вбй д(г = О. Вследствие произвольности вариации Ьй отсюда следует, прежде всего, дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют моменты М в,ав+Д=0 Поэтому после очевидной перегруппировки членов получаем 2 2 \ ддау Мадбй „пд = (М„пд + М„п, + 2Мдвпдпву —— Положим 2 2 М„п, + М„п, + 2М„п,п, = 6, (12.5.9) ЛХ„п,пв — М„п,ив+ М,в (и', — пв) =- ХХ.
Величину 6 будем называть изгибающим моментом, величину ХХ вЂ” крутящим моментом. Итак, ддпд дб1а Мадб апд = а — — Н вЂ”. дп дв ' При интегрировании этого выражения по дуге второй член мо- жет быть преобразован интегрированием по частим Н вЂ” ддз =- Нбй — ~ — Ьйддю дд в Рдп дв ,) дв (12.5.10) Коли величина Н задана как непрерывная функция на всем замкнутом контуре (, то первый член исчезает, он появляется Что касается контурных интегралов, мы преобразуем первый из них с тем, чтобы выделить интегрируемую часть дбйХдг и оставить производную от Ьй по нормали.
Это необходимо, поскольку независимо Рзс. 22.5.2 можно задавать Ьи1 и дби1!дп, тогда как дбй/дв определяется заданием Ьй на кон- туре. Обращаясь к рис. 12.5 1, где показана часть дуги контура с единичными векторами п и $ нормали и касательной соответственно, находим д д д д д д — =п — — п — — = — и — +п дх д дп 2 дв' дх 2 дп 1 да' д 2 в 12.6. ИЗОТРОПНЫЕ ПЛАСТИНЫ 401 тогда,' когда величина Н непрерывна лишь на участке АВ дуги контура у. Теперь с учетом выполнения (12.5.8) мы можем написать 6гиа = ~С д «(з + ~ (д + Р) бюо)з — ~-"~авбюао)з ~ Л бюдз. т Здесь ~=Оп =Мвоп.
(12.5Л1) Для того чтобы было 61 в=0, как оказывается, нет необходив мости задавать все моменты Мою достаточно задать изгибающий момент 6* и поперечную силу вв*, тогда на той части контура, где заданы усилия и моменты, должно быть — — 0— (12.5.12) Для пояснения смысла второго из условий (12.5Л2) следует обратиться к $ 1.6, где была показана элементарным способом эквивалентность непрерывного распределения момента и линейной нагрузки.
С учетом отмеченного выпишем окончательное точное выражение функционала Рейснера уио =- 1 з = ~ [ — Тааеаз + Мааш,аз + 2А Ф (Таз) + 3 Ф (Маз) +Дю1 о(тголв+ + )в ТазпапфЬ вЂ” ~ С* — гЬ вЂ” ~ Лиш оЬ. (12.5.13) да Выражения для моментов М„о через производные от прогиба юаи в общем случае получаются обращением уравнений (12.5.3). з 12.6.
Изотропные пластины. Дифференциальное уравнение для прогиба и простейшие задачи Предполагая решенной известными методами первую задачу о нахождении усилий Т„, и перемещений и, обратимся к решению задачи об изгибе. Подставим в уравнение (12.5.8) выражения для моментов (12.5.6) и придем к следующему дифференциальному уравнению для прогиба: ЛЛи = ~~. (12.6Л) Здесь ввов — повторенный два раза оператор Лапласа.
В декартовых координатах ЬДи> = и~а~~~+ 2ж.авв+ ю,вввв 10, Н. Рвбоввов 402 ГЛ. ГХ СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ Для перерезывающих сил (г„по формулам (12.5А1) и (12.5.6) получаем ~,= — Рйш„. (12.6.2) Уравнение (12.6:1) записано в инвариантной форме, поскольку оператор Лапласа инвариантен при преобразовании координат. В полярных координатах, как известно, д 1 д 1 д й= '+ + дгз г дг гг дахре' Выписывать выражение для два раза повторенного оператора Лапласа Лйю мы не будем, способ получения его очевиден.
Рассмотрим теперь некоторые простейшие задачи изгиба. а. Цилиндрический изгиб. Положим ю = ю(х,), юл = ю'юп ~ = ю", ..., юл = О. Уравнение (12.6А) приводится к виду , 2Р 2О ' Это уравнение отличается от уравнения изгиба балки только тем, что модуль Ю заменен величиной Е/(1 — т'), как уже было разъяснено в $ 12.5. Интегрируя обычным способом это уравнение, найдем прогиб и и изгибающие моменты М„= — Рю", М„= ТРю" = — РМРН Появление поперечного момента М„указывает на то, что цилиндрический изгиб возможен в двух случаях: либо когда пластина простирается в область хг ш( — о, +оо), либо когда к ее свободным краям приложены надлежащим образом внешние моменты, например, если пластина прямоугольна и занимает область х, ж(а, Ь); при х, = а и х, = Ь приложены изгибающие моменты С = — Мм.
б. Чистый изгиб. Положим пг= — 2/2А(хт+х',). Уравнение (12.6А) выполняется тождественно при д = О, по формулам (12.5.6) М„= М„= АР(1+ т), М„= О. По формулам (12.5.9) находим сг=АР(1+т), И=О. К контуру у любой части пластины оказываются приложенными только изгибающие моменты С (рис. 12.6.1). в. Кручение прямоугольной пластины. Положим ю=-Ах,х,. Уравнение (12.6.1) опять-таки будет удовлетворено при у=О, но теперь МН =Мы= О, МИ=АР(1 — т). Предположим, что пластина имеет прямоугольную форму со сторонами, параллельными осям х, и х„как показано на рис. 12.6.2.
6 12.8. изотгопныя плАстины 403 На ст)1роне АВ и, =- 1, и, = 0 по формуле (12.5.9) В = — М„ = — АР(1 — т) . На стороне ВС и, = О, и» = 1, по той же формуле М=+АР(1 — т). Точка В представляет собою точку разрыва непрерывности функции Н(з), поэтому, преобразуя распределение момента в распределение нагрузки на контуре по формуле. (12.5.10), мы должны сохранить первый член в правой части. Для участка АВ точка В слунигт верхним пределом, для ~г участка ВС вЂ” нижним, поэтому Рвс. 12.6.1 Рис. 12.6.2 в точке В появляется удвоенная сила, равная 2АР(1 — т).
На каждом из участков дН!де=О. Таким образом, края пластины свободны от нагрузок, но в каждом из углов приложена сосредоточенная сила, как показано на рисунке. Для осуществления такого загружения достаточно опереть пластину в точках А, С и Р и приложить силу в точке В. Такая схема эксперимента применяется для определения крутильной жесткости пластины Р(1 — т). г. Круглая симметрично загруженная пластина. Главные кривизны срединной поверхности пластины при осесимметричном ее изгибе будут д ш 1дш 1 — =Ж г — = — П7„. з,~' 1 Подставляя в формулы (12.5.6) вместо и „и ю „, получим соответственно выражение для радиального момента М„и окружного момента М М„„= — Р(ш„+ т — '"), М,щ —— — Р( — '"+ тю ). (12.6.3~ Решение однородного уравнения (12.6.1), записанного в полярных координатах, ищется в виде ю = г".
Полагая Лйю = О, получим и' = О, (п — 2) ' = О. Таким образом, характеристическое уравнение имеет два двойных корня и решение его и = С, + С,Г + С, )п г + С,г'1п т. (12.6.4) 26» Гл. 1х сткгжни, плАстины и оволочк!1 404 Если пластина сплошная и прогиб при г = 0 ограничен, то Сг = О. Член С,141пг остается конечным при г= О, но при дифференцировании его достаточное число раз появляется особенность, она соответствует сосредоточенной силе, приложенной в центре пластины. Действительно, перерезывающая сила 64, на окружности радиусом г получается по формуле (12.6.2), которая в полярных координатах примет вид а е.= л.
аг Полагая иг = г'1пг, получим 44Г 9 'Умножая на длину окружности 2лг и приравнивая результат приложенной в центре силе Р, найдем, что С4 Выражение для прогиба (12.6.5) нам будет удобно переписать в виде, не содержащем логарифмов размерной величины. Положив радиус внешнего контура пластины равным а, с учетом найденного выражения для С, перепишем формулу (12.6.4) для сплошной пластины следующим образом: иг = С1+ Сзг + — 1п —. Рг г 8ЛВ а' Постоянные С, и С, находим из граничных условий при г=а. Так, если пластина свободно оперта по контуру, то и1(а)=0 и М„(а) = О. В результате получается следующая формула для прогиба: и1 = — ~ — (а — г ) + 2г 1п — 11.
(з+т 2 2 2 г1 46Л41 11 — т аз Е1аибольший прогиб в центре 0 3+т Р 16Л(1 л т) В ' Если пластина защемлена по контуру, то иг(а)= ю'(а)=0 и вы- ражение прогиба будет следующим: и2 = — 11а — г + 2г 1п — ). (2 16лп 1 а 1' Если пластина несет распределенную нагрузку д, частное решение уравнения (12.6.1) иногда можно просто подобрать. Если д(г) задана разными аналитическими выражениями на разных участках или содержит особенности типа дельфа-функции $12,7, пРямОуГОльнАя ОРтотРОпнАя плАстинА 405 (линейная нагрузка, распределенная по окружности), для интегрирования соответствующего уравнения в полярных координатах существует техника, вполне аналогичная той, которая была изложена в т 3.8 применительно к более простому дифференциальному уравнению изгиба балок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
