Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Но если д(х) меняется с координатой х достаточно быстРо то радиальные перемещения соседних колец окажутся различными, образующие цилиндра будут изогнутыми. Соответствующая кривизна определяется так же, как для балки или для ГЛ. 12. СТЕРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 422 пластинки, а именно, к, = ш" (х) . Составим теперь функционал Рейснера, точнее ту часть функционала, которая не зависит от граничных условий, з = 2ИЛ ) [ — Т вЂ” + М ш" + — Т,— и 1 2 2Л 1 4Ь вЂ” — '(М,'+ М,' — 2ТМ М2) — р ~ах.
4ьз 1 2 1 2 Варьируя М„М2, Т, и ш и выполняя обычные преобразования члена, содержащего бш", путем интегрирования по частям получим т, т, — д — — '+М =Π— — + — '=-О Л 1 ' Л 2Ь ш" — —, (М, — ТМ2) = О, М, — ТМ1 = О. з Отсюда путем последовательного исключения М„М, и Т, получим следующее дифференциальное уравнение: ш1т+ 422'(ш — ш,) = О. (12 13.4) З (1 — т2) Здесь 4222 =- ь'л' ,тогда как ш, есть величина, пропорциональная нагрузке д(х) и определяемая формулой (12.13.3).
Уравнение (1213.4) совершенно подобно изученному в з 3.11 уравнению изгиба балки на упругом основании. Граничные усло- вия здесь совершенно очевидны, (тю/ они те же, что и для балки. Это становится ясным, если рассмот- 5~ реть выделенную из оболочки полосу, как показано на рис.12 13.3.
Вследствие кривизны полоски дей- 7 ствующие с двух сторон усилия Т, дают составляющую, направленную по радиусу, а так как Т, Рис. 1213.3 пропорционально прогибу ш, то эта полоска находится в тех же условиях, что и балка на упругом основании. Именно так выводится уравнение (1213.4) в элементарных руководствах. Приближенное решение уравнения (1213.4) есть ш =ш„оно пригодно тогда, когда первый член (12.13.4) мал по сравнению со вторым, т. е.
функция ш,(х) заметно изменяется на длине много большей, чем характерная длина л = уьл. С другой стороны, если д(х) меняется достаточно медленно, то $12Л4. БЕЗМОМЕНТНЛЯ ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК для удовлетворения граничным условиям необходимо к частному решению ш = ш, добавлять решение однородного уравнения, которое затухает на длине порядка Л. Такиьг образом, общая картина поведения круговой цилиндрической оболочки под действием осесимметричной нагрузки рисуется следующим образом.
На большей части длины оболочки в ней реализуется безмоментное напряженное состояние. Изгиб проявляется лишь вблизи концов и в местах резкого изменения нагрузки: он носит характер краевого эффекта, т. е. область, где напряжения изгиба существенны, простирается лишь на некоторую определенную длину порядка Л. 3 12Л4. Безмоментная теория оболочек е) На примере цилиндрической оболочки мы убедились в том, что при плавно меняющейся нагрузке в большей части оболочки можно пренебречь изгибом и напряжениями от изгибающих моментов по сравнению с равномерно распределенными по толщине напряжениями от усилий Т„з. Моментное напряженное состояние реализуется только в зоне краевого эффекта, протяженность которой оценивается характерным линейным размером Л= Ый.
Для оболочки положительной гауссовой кривизны этот результат носит совершенно общий характер, схема расчета таких оболочек строится следующим образом. Сначала находится усилие в оболочке, которую представляют как тонкую, нерастяжимую мембрану, совершенно не сопротивляющуюся изгибу. Эта задача решает- ' ся с помощью одних только уравнений статики и, собственно говоря, не относится к теории упругости. Соответствующая теория называется безмоментной теорией оболочек.
Решение, найденное по безмоментной теории, как правило, не позволяет удовлетворить всем граничным условиям, поэтому вблизи границы рассматривается краевой эффект, свяаанный с изгибом. Ввиду малости области краевого аффекта, уравнения теории оболочек для этой области принимают относительно простую форму. Для вывода уравнений безмоментной теории нам понадобятся некоторые сведения из теории поверхностей, которые предполагаются известными и сообщаются для справки. Поверхность отнесена к криволинейной системе координат и', и' и задана радиусом-вектором г(и„пз) Векторы гл образуют на поверхности ковариантный базис, вектор единичной нормали к поверхности есть и.
Метрический ковариантный тензор есть ем = г„г;, кривизна поверхности задается тензором Ьп=г пп= = гяи;. Любой вектор может быть задан в локальном базисе *) Читатель, ве звапомый с теорией поверююстей, может опустить атот параграф без ущерба длп поввмаввя дальнейшего. ГЛ. $Х СТКРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 424 Г ы П, В ЧаСтНОСтИ, Г и =ТА,ГА+ Ьип, и; = — Ь',Г;.
(12.141) Первая группа формул носит название деривационных формуя Гаусса, вторая — деривационных формул Вейнгартена. Здесь Гп — символы Кристоффеля для поверхности, поднятие индекса у тензора д'; производится с помощью метрического контравариантного тензора д". Наряду с метрическим тензором опускание индексов может производиться в результате свертки с дискриминантным тензором УЬ"'~о, где '(,г = 1, Ти = — 1, Тп = "(гг = О, К = Кггйг Кгг" Предположим, что точка поверхности получает перемещение ю, так что радиус-вектор деформированной поверхности есть Г+ю.Условие нерастяжимости при бесконечно малых перемещениях можно записать следующим образом: й г(ю=О или ю,г, = О, ю,г, + ю,Г, = О, юлгл — — О. (12 14.2) Так же как при выводе дифференциальных уравнений равновесия сплошной среды мы введем контравариантные компоненты усилия Т"" как множители Лагранжа.
Выделим некоторую часть оболочки Х, ограниченную контуром Г. На единицу площади действует сила гт, на контуре приложено усилие интенсивности Т на единицу длины линии контура. Приравняем нулю работу сил на виртуальных перемещениях, подчиненных условиям (12 14.2). Получим ~(тю — Т'ю.г р) (~+ ~ Тю (з = О. Преобразуем поверхностный интеграл, используя тождество (Т Гаю)р=ТгРГию+Т Гарю+Т Гиюр, исключая с помощью (12.14.1) вторые производные от радиуса- вектора г и вводя вектор нормали т к контуру Г в касательной плоскости т = тагагг „.
В результате получаем ~ (д + Ч рТарГ а + Т рЬарп) ю дХ + ) (Т вЂ” Т"ртрг а) т(з = О. (12.14.3) 'Е г Здесь символ гр,Т"г обозначает, как обычно, ковариантную производную тензора У,Т"р = Т"р + Г,",Т'р + Гр,Тат з 1Х1Х БЕЗЫОМГНГНЫГ ОБОЛОЧКИ ВРАЩГ1ГНЯ 425 Из (12.14.3) следуют уравнения равновесия у5Г"5+ д" = О, Г"55„5+ д„= О (12.14.4) и граничное условие Гв Газ, Система из двух дифференциальных уравнений и конечные соотношения (12Л4.3) позволяют определить три компоненты Т"'. Альтернативная форма записи уравнений (12Л4.3) получится, если опустить у тензора Т"" индексы двукратным свертыванием его с дискрнминантным тензором, т. е.
принять ЯО=БГ, Ян= БГ ~ Я22=ДХ Теперь уравнения равновесия можно записать следующим образом: Яы з — Яы 1 — Яы) 11+ Ям (Гы — Г11) + Я11Г11 + д'Ы = О Ямл — Яз,л + Я „Г',, + Я„(Г,', — Г,',) — Я„Г,', + д'д = О, (12Л4.5) Я„Ь„+ ߄܄— 2ЯмЬ„=д,. й 12Л5. Безмоментные оболочки вращения Оболочки вращения представляют собою наиболее простой объект для приложения безмоментной теории.
Примем за направление 1 направление вдоль меридиана, за направление 2 — окружное направление. На рис. 12Л5Л изображен кусок дуги меридиана. За координатные параметры мы примем длину дуги меридиана г, отсчитываемую от произвольной параллели, и угол гр между плоскостями меридиональных секций, также отсчитываемый от произвольной плоскости. Радиус параллели,на которой Рнс. 1235.1 лежит точка М, т.
е. расстояние этой точки до оси симметрии, есть заданная функция дуги г. При таком выборе координат г д„=1, л„= д=г, д„=О. Символы Кристоффеля вычисляются по обычным формулам, выражения для них получаются следующими: 1 1 1 ° 2 Г„= О, Г„= О, Г„= — гзшО, Г1, = О, 1 51ВО 2 Г„= —, Г„= О.
г Угол О образован касательной к меридиану и осью симметрии. ГЛ. 12. СТКР1КНИ, ПЛАСТИНЫ И ОВОЛОЧКИ 426 Коэффициенты второй квадратичной формы равны 1 г2 Ь„=„—, Ь„=„—, Ь„=О. 1 Здесь радиус кривизны меридиана Л, =122/120, радиус кривизны нормального сечения, имеющего общую касательную с параллелью Л, = г/соз О.
Первое из уравнений (12Л4.5) удовлетворяется тождественно, второе и третье соответственно принимают вид —" — з1ЛО~(тБ — — Я ) + д гз = О, 02 11 г 22/ гз ߄— +522 — + д2г' = О. Перейдем теперь к физическим компонентам усилий 22 Дг 22 Аг Я г Система уравнений равновесия преобразуется следующим образом: 21В 0 + (А1 Аэ)+Д1=0, (12 Л5 Л) У Аг л л — '+ — '+ д„= О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
