Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Систему уравнений (12Л5.1) можно получить элементарным способом, второе уравнение иногда называют уравнением Лапласа, оно справедливо не только для осесимметричной оболочки, но для любой оболочки; отнесенной к линиям кривизны. Первое уравнение можно получить, рассматривая равновесие кольца, заключенного между двумя бесконечно близкими параллелями. В это уравнение войдет величина д„, которая исключается с помощью второго уравнения, отсюда появление усилия № в этом уравнении. Но для интегрирования системы (12.15.1) мы пойдем по прямо противоположному пути, а именно, исключим из первого уравнения №.
Получившееся уравнение содержит только 12'„ оно легко интегрируется и мы получаем следующий результат: 1 лг1 = — 0) г(д„згп0 + Чгсоз9) 122, (12 15 2) Л т = — 'т — Лзд„. 2 12 1 1 5 12.16. КРАЕВОЙ ЭЧ21ЕКТ В ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК 427 з 1216. Уравнении краевого эффекта в теории оболочек 2 Х1 Х2 г = — + —. 1 2 ,т Х1 Рпс.
$2.16.1 Здесь В, и Л, — главные радиусы кривизны, к„=1/Л, и к22 = 1/В2— начальные кривизны. При изгибе точки поверхности приобретают дополнительные перемещения в направлении оси г, как показано на рис. 12 161 и, соответственно, меняютсн кривизны, становясь равными 1/Л, + к1„, 1/В,+ ю,22. Теперь мы можем модифицировать вывод з 12.10, предположив, что изменения кривизн и „и в„малы по сравнению с начальными кривизнами 1/В, и 1/В,.
Заменим в уравнении (12.10.3) кривизны их новыми выражениями и сохраним лишь линейную часть. Получим т, т, 77/2/Ав — — ' — ++ д = О. (12 16.1) При выводе второго уравнения рассуждения должны быть несколько изменены. Задавая поверхность уравнением г = з(х„), мы как бы предполагаем, что поверхность получилась в результате деформации из плоскости. Соответствующие компоненты деформацигг мы обозначим гхз.
Они удовлетворяют такому же 6 уравнению совместности, как то, которое было использовано при выводе (12.10.6), вместо кривизн ю,„2 в правой части будут фигурировать заданные начальные кривизны 1/Л, и 1/Л,. Получим ХО 2 Х„,22 +етзд1 — 2е„д, = —, (12.16.2) 1 2 Начальные деформации ех~з определяют геометрию ненагруженной поверхности и, следовательно, не свяааны с напряжениями. Упругие деформации е22 добавляются к начальным, поэтому Если характерный размер области краевого эффекта есть Л = ЫЬ, соответствующий небольшой кусок оболочки можно рассматривать как плоскую предварительно изогнутую пластину. Это значит, что метрика срединной поверхности оболочки приближенно отождествляется с метрикой плоскости, касательной к срединной поверхности в ее недеформированном состоянии.
Линии вривизны поверхности спроектируются на эту плоскость приблизительно как ортогональные прямые, которые можно принять за координатные линии. В окрестности точки касания М в декартовых координатах х, г, выбранных так, что оси х2 лежат в касательной плоскости, а ось г нормальна к ней, уравнение поверхности можно записать следующим образом: ГЛ. !Х СТКРЖНИ, ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ 428 Э УРаВНЕНИЕ СОВМЕСтНОСтн НУЖНО ПОДСтаВЛЯтЬ ВЕЛИЧИНЫ Езд + Есз о в левуго часть и 1/В1+юп, 1/В,+и~11 в правую.
Пренебрегая вторыми степенями изменений кривизн ю„1 и учитывая (12.16.2), получим следующее уравнение совместности: ~,22,11 е„лз+ е.1,ы — 2е„л, — — — Л Поступая далее точно так же, как при выводе уравнения (12 10.6), получим ЛЬЕ + 2ЕЙ вЂ”" + — '" = О. 1 Л Л ( (12.16.3) Определим дифференциальный оператор второго порядка А следующим образом: д 1 д Ь = — — + — —.
дзз Л1 дх" Внося в (12.16.1) выражения для усилий через функцию усилий Е, перепишем систему уравнений следующим образом: Рйй1Р— Ь(Е)+ Д = О, /АКГ+ 2ЕЬй(1д)= О. (12.16.4) В литературе принято называть эти уравнения уравнениями теории пологих оболочек. Соответствующие решения оказываются ЗатуХаЮщИМИ На раССтОяНИИ ПО дуГЕ ПОрядКа / = 1'11Л. МНОГИЕ авторы рекомендуют применять их и для оболочек, размер которых в плане существенно больше, чем Х. Так, Власов рекомендовал эти уравнения для оболочек, у которых стрела подъема не превышает 1/5 пролета, никак не оговаривая при этом относительную толщину. Многочисленные расчеты с помощью приближенных уравнений (12.16.4) и уравнений точной теории, которые мы здесь не приводим, показали, что для оболочек, применяемых обычно в строительной практике, разница сравнительно невелика и рекомендация Власова может считаться практически обоснованной, хотя строгий анализ подтверждает пригодность уравнений (12.16.4) лишь для оболочек, размер которых в плане имеет порядок Х, или для исследования краевых эффектов в оболочках положительной гауссовой кривизны.
Последняя оговорка существенна. В оболочках отрицательной кривизны состояния изгиба могут простираться сколь угодно далеко вдоль асимптотических линий. В оболочках нулевой кривизны, например цилиндрических, изложенная в з 12.13 теория применима далеко не всегда. Действительно, приближенная теория изгиба и кручения тонкостенных стержней открытого профиля, изложенная в з 9.15, по существу представляла собою некоторый упрощенный вариант теории оболочек. Краевой эффект от бимоментной З ГЗВ,КРАЕВОИ ЭФФЕКТ В ТЕОРИИ ОВОЛОЧЕК 429 нагрузки, как было там выяснено, простирается на длину д = = Л'/й, которая гораздо больше, чем характерная длина 1.
= УВЙ. Характерная особенность решений общей и точной теории оболочек состоит в том, что если такое решение удается найти, то оно, как правило, имеет сложный вид и содержит большое число членов. Однако элементарный анализ показывает, что из этих членов существен только один, все остальные малы и могут быть без ущерба отброшены.
Поэтому следует стремиться к тому, чтобы заранее упростить сами исходные уравнения теории с тем, чтобы в результате решения получить именно необходимую его главную часть. Построение таких упрощенных вариантов и анализ пределов их применимости составляет в значительной мере предмет современной теории оболочек, которая не будет излагаться в нашем курсе, носящем общий и скорее вводный характер. Заметим, что предположение о малости изменений кривизн юрр по сравнению с 1/й„не обязательно.
Не составляет труда вывести уравнения, подобные уравнениям (12.16.4), но содержащие нелинейные части, как уравнения $ 1210. Такие уравнения применяются, например, для решения задачи о прощелкивании пологой оболочки под действием распределенного давления или сосредоточенной силы. Качественные результаты получаются чрезвычайно похожими на те, которые были получены в т 4.6 для простейшей системы из двух стержней. Но здесь эти результаты могут быть получены только путем применения численных методов. ГЛАВА 13 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ й 13Л, Постановка динамических задач теоргнг упругости В 3 8.4 были выписаны общие уравнения статической теории упругости и соответствующие граничные условия, там же была сформулирована постановка задачи теории упругости.
В общем случае движение упругого тела происходит во времени и элементы его обладают ускорениями, поэтому более общей будет постановка динамической задачи теории упругости. В декартовых координатах эти ускорения представляют собою вторые производные от перемещений по времени. Применян принцип Даламбера, мы получим уравнения движения упругого тела, добавив к действующим силам Г, силы инерции: р,=р< — рйь Таким образом, уравнения движения, заменяющие (8.4Л), будут следующие: о~ — рй,+Г;= О.
(13.1.1) Остальные уравнения (8.4.2) — (8.4.4) и граничные условия (8.4.5), (8.4.6) сохраняются, но теперь к ним нужно добавить начальные условия, а именно, и;=и,"., и,=и;, 1=0. Оставляя в стороне вопрос о доказательстве существования решения, докажем теорему единственности, при этом мотивировка остается той же, что и для статической задачи в з 8.4. Ход доказательства остается в основных чертах тем же самым. Предположим, что одним и тем же начальным условиям (13Л.2) и граничным условиям удовлетворяют два различных решения системы (13ЛЛ) и (8.4.2) — (8.4.4), а именно, пь он, 'и;, оц.
Тогда разность этих решений и;=и; — и;, пп =оц — ой удовлетворяет однородным уравнениям движения (13.1.3)' пв,; — рй;=О, нулевым начальным условиям и, О, и;=0 при 1=0 5 !Зл. постАновкА динАмнческих ЗАДАЧ 431 и однородным граничным условиям оеиз — — О, х;я5ю и,=О, х;шЯ„ (обозначения здесь те же, что в т 8.4). Умножим (13.1.3) на йь свернем по индексу 1 и проинтегрируем по объему.
Первый интеграл преобразовывается интегрированием по частям ') оп;ифъ' ~ ((о;;и;); — они~ з) л' = ~ ппптифБ — ) о;;е„н7. 3 г Но интеграл по поверхности обращается в нуль вследствие однородных граничных условий. Заметим, что ри;и; = — „, дгг ' лгг о "е" = — е" =— эе,, и= и Здесь символом Т обозначена кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объема. Таким образом, из (13.1.3) мы по- лучаем Проинтегрируем это выражение по времени, заметив, что вследствие нулевых начальных условий при 1 = О, П = 0 и Т = О. Получим (13.1.4) й, = О.
ес=О, Первое условие означает, что перемещения отвечают движению твердого тела без деформации, из второго следует, что скорости равны нулю, а так как при с=О было и< — — О, то перемещение остается равным нулю все время. Отсюда следует Р и; = им оп =он. Сформулировав общую постановку динамической задачи теории упругости и доказав теорему единственности, мы перейдем к постановке задач более частного характера, которые и будут рассмотрены в нашем курсе. Но Т есть положительно определенная квадратичная функция от скоростей йь ьг — вследствие предположения о выпуклости потенциала — положительно определенная функция от деформаций ес. Поэтому равенство (13.1.4) будет выполнено лишь в том случае, если 432 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
