Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 88
Текст из файла (страница 88)
При с ~ сг величина 6 оказывается мнимой и приведенный выше анализ теряет силу. В результате вычислений оказывается, что при т = 114 с = 0,9194 22, а н т = 1/2 с = 0,9553 22. При малых сс и 6 возмущение проникает на малую глубину от поверхности пластины и взаимное влияние двух свободных поверхностей практически отсутствует. Если рассмотреть задачу не об упругом слое конечной толщины, а об упругой полуплоскости, уравнение (13.6З1) будет определять скорость распространения поверхностных волн — так называемых волн Рзлея. 448 Гл. 13.
динАмические зАдАчи теОРии упРуГОсти Возвращаясь к общему уравнению (13.6.8), мы убеждаемся, что скорость распространения синусоидальной волны зависит от ее длины. Поэтому заданное возмущение произвольной формы, которое можно представить как сумму гармонических составляющих, будет распространяться по стержню, меняя свою форму. Это явление, т. е. зависимость скорости от длины волны и, как следствие, искажение формы импульса, называется дисперсией, в данном случае геометрической дисперсией, происходящей от налпчия свободных границ. 5 13.7. Распространение волн в стержнях 1б Р .
~З.ТЛ Задача о распространении продольных, крутильных и поперечных волн в длинных стержнях круглого сечения была рассмотрена в 70-х годах прошлого столетия одновременно и независимо Похгаммером н Кри; относительная сложность полученных ими общих формул делала в течение долгого времени их результаты мало обозримыми, лишь в 30-х — 40-х годах были произведены расчеты и построены графини зависимости фазовой скорости от длины волны для случая, когда поле перемещений осесимметрично.
Весь анализ для случая цилиндрического стерн«ня аналогичен анализу задачи о распространении волн в пластине, но соотношения (13.6.3) заменяются соответствующими соотношениями в цилиндрических координатах; уравнения (13.6.4) также записываются в цилиндрических координатах. Вместо функций 1(х») и д(х») появляютсясоответствующие функции от радиуса, ко- Р торые удовлетворяют уравнениям Бесселя и скорости волн определяются из трансцендентного уравнения, заменяющего (13.6,8), но содержащего бесселевы функции. Как и для пластины, весьма длинные волны распространяются со б4 бд Я «стержневой» скоростью с, = Х ' = УЕ/р, тогда как весьма ко- 17 1б роткие волны идут по поверхности со скоростью волн Рэлея. На рис.
13.7.1 представлена зависимость скорости волны, поделенной на с„ от отношения а/Ь— радиуса цилиндра к длине волны. Горизонтальная асимптота соответствует скорости волн Рэлея. Следует заметить, что эта кривая представляет собою не единственное возможное решение соответствующего уравнения, оно справедливо для так называемой первои моды. Для того чтобы З !3.?. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ 449 пояснить существо дела, обратимся к формулам (13.6.6), которые сохраняют для стержня примерно такую же структуру. В результате суперпозиции волн, идущих в прямом и обратном направлении, получаются стоячие волны, т. е.
решение типа и = У (г) з1п Йх з1п Йсг. Для перемещений и„и и„формула имеет одинаковую структуру, поэтому индексы не поставлены. При колебаниях по первой моде перемещения в зависимости от длины волны либо направлены в одну сторону при всех г, либо меняют знак один раз при некотором определенном значении радиуса, который определяет узловой цилиндр.
При следующих модах появляется несколько узловых цилиндров. Сложность точного анализа этой задачи вызвала появление различного рода приближенных теорий, которые обычно строятся следующим образом. Делается некоторое кинематическое предположение о характере распределения перемещений, составляется функционал действия по Гамильтону, варьированием этого функционала получается дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений задачи (идея чрезвычайно близкая к той, которая лежит в основе построения технической теории изгиба балок и пластйн). Простейшая теория, которая будет изложена ниже, основывается на уравнении, выведенном еще Рэлеем. Это уравнение содержит предположение элементарной теории о сохранении плоских сечений, но принимает во внимание инерцию поперечного движения элементов стержня.
Направим ось х, по центральной оси стержня произвольного поперечного сечения, тогда оси х, и х, будут лежать в плоскости поперечного сечения. Полагая деформацию е„= и, ~ независящей от хт, х„найдем е„=е„= — ти, „следовательно, перемещения равны и, = — рис,х„и, = — Рис,хн Кинетическая энергия на единицу длины балки будет Т = — Р (г"и, + тв1рит,).
Здесь Р— площадь сечения, 1,— полярный момент инерции. Опуская индексы при и, и х„напишем выражение для действия: Н = — Р ~ й ~ (р ~( — ) + тзгт ~ — ) 1 — Е ~ — ) ) с1х. (13.7 1) Здесь г — радиус инерции сечения, 1р =Рга. Проварьируем функционал (13.7.1). При этом воспользуемся тем обстоятельством, что символы варьирования и дифференцирования переставимы, 29 Ю, Н, Работвов 45О Гл. 13. динАмические зАдхчи теОРи11 упРуГОсти поэтому 2 дхдС дхдСдхдС б Вследствие симметрии левой части относительно С и х в правой части можно поменять местами С и х и получить путем сложения этих результатов симметричное выражение. Мы не будем это делать, а просто внесем найденные вариации квадратов производных в выражение функционала Н и выполним интегрирование по х и по С.
Получим ди1 и4=2)й(( — 4 "44'~ —,",42 — ",)4 4*4 дС дх дС дх" + ~(...) (С+ 1(...) Ых. Вследствие произвольности вариации би для всех С и х отсюда следует дифференциальное уравнение «ди йи 22 ди 2 -2 4 С«2 — 2+»Г 2 2=0. дх дС дх дС (13.7.2) Это уравпенпе было получено Рэлеем п приведено в его книге «Теория звука», оно воспроизводится в курсе Лява [71. В стерн«- не, движение которого описывается уравнением (13.7.2), возможно распространение прогрессивных гармонических волн.
ПоС 2и лагая и = ехр ~ — (сС вЂ” х)~ и подставляя это выражение в ~ Ь уравнение,мы найдем с=с, 1 1+ ди» (г/Ц (13.7.3) На рис. 13.71 штрихами показана зависимость фазовой скорости от отношения радиуса к длине волны для круглого стержня, для которого г'=а»с2. Как видно, для волн, длина которых равна или превышает диаметр стержня, совпадение с точным решением очень хорошее. М%) 2 б( —,) ( ди) ди дби ди дби д (ди ) д и ) дС дС дс (,дс ! »П» ди дби д Сди 1 ди = — — = — ( — би) — — би, дх дх дх (,дх д ( д»и дби 1 д и дби дх (дх дС дС / дх« дс дС 451 9 13.8.
РАЗЫЫТИЕ ФРОНТА СИЛЬНОГО РАЗРЫВА 3 13.8. Размытие фронта сильного разрыва Поправка Рэлея повышает порядок уравнения до четвертого, линии от~ х уже не служат характернстннами уравнения (13.7.2), поэтому распространение сильных разрывов вдоль характеристин теперь оказывается невозможным. Очевидно, что перемещение и не может быть разрывным, сильным разрывом в нашем случае будет разрыв деформации е = ди/дх или скорости и = ди/дг.
Вследствие линейности (13.7.2) и постоянства коэффициентов как деформация, так и скорость удовлетворяют тому же самому уравнению, поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать это уравнение, в котором и заменено через и, Если граничное условие на конце, например, нолубесконечного стержня задано как ступенчато изменяющаяся функция от времени, з плоскости х, 1 мы уже не получим разрывного решения, разрыв будет размываться.
Заметим, что в уравнении (13.7.2) имеетси малый параметр при старшей производной. Если длина волны б вначительно больше, чем г, то дифференцирование по х эквивалентно по порядку делению на В, и безразмерный малый параметр (г/В)а появляется явным и очевидным образом. Для исследования размытпя фронтов мы поступим иным образом.
Перейдем от переменных х и 1 к характеристическим переменным обычной задачи о продольных волнах В х+ саС, Ч = х — сат. Прямая волна распространяется в направлении $; если в обычной теории это волна сильного разрыва, то скорости и деформации не меняются в направлении $, производные по $ равны нулю. ~о в перпендикулярном направлении г) зти величины претерпевают скачок, грубо можно сказать, что производные их обращаются в бесконечность. Естественно ожидать, что н решение (13.7.2) будет обладать сходными особенностями, функция э будет медленно меняться в направлении $ и быстро меняться в направлении ть Поэтому нроиэводные по ц будут по величине значительно больше, чем производные по $, и прн преобразовании четвертой смешанной производной в уравнении (13.7.2) мы удержим только один, самый большой член, соответствующий четырехкратному дифференцированию по ть В результате получим до тг до — + — — =О д4 дг) 4 или в реаультате интегрирования по ц до тгэ дг з 3 3 — + — — = О.
д$4 дг)з— Из этого уравнения можно сделать немедленно качественный вывод о размере области размытия фронта, который был задан при х = О как разрывная функция времени. Оценим протяженность этой области линейным размером ф Сравнивая порядки величин двух членов уравнения (13.8П), пои з о лучим (числовые множители опущены) — = г —.
Отсюда следует оценка , з. з,— дяк Ргзх, (13.8.2) Уравнение (13.8.1) допускает автомодельное решение. Введи новую переменную 3 аз ь Ч(~ь) ' 4 т" 28 45~ Гл. 23. диегАмические 3АдАчи теОРии упРугости мы преобразуем его в обыкновенное дифференциальное уравнение ос ое — — д — „=о , ьз (13.8.3) илп, если обозначить ~2 У вЂ” 2ьу — О оь~, Эри, ограниченное решение которого записыва- Это — известное уравнение ется следующим образом: У = С А1 (ь).
(13.8.4) Здесь А1 (ь) — функция Эри, которая выражается следующим образом через функцию Бессели: А' (9) = р'9 7 ( ~з/2) Разрывное решение в случае, когда концу полубесконечного стержня внезаяно сообщается скорость га, удовлетворяет условиям и = 0 при ц ( 0 и и = ие при ц ) О. Подчиним решение уравнения (13.8.3) условиям и(со) = = эи о( — со) = О. Не приводя детальных выкладок, выпишем окончательный результат (Кукуджанов, 1970) = ° ~ — — ~х(с х~.
1 о~3 о На рис. 13.8Л показана форма размытого фронта в зависимости от безразмерной коордкнаты ь. Переход к характеристическим координатам и натуральным координатам х, г производится без труда. Изображенная на рисунке картина растягивается по мере продвижения фронта в соответствии с оценкой (13.8.2). Существенно отметить первый максимум, орднната которого превышает высоту заданного скачка примерно на 252(а. Миндлин и Херрман предложили более 0 точную и сложную систему приближенных уравнений, учитывающих поперечную инерцию к сдвиг. Любопытно отметить, что, как поназал Кукуджанов, эта более точная теория при применении описанного выше асимптотичсского метода приводит к тому же результату. Недостаток уравнения (13.7.2) состоит в том, что оно соответствует бесконечно большой скорости распространения импульсов, волнистая кривая, изображенная на рис, 13.8 1, уходит вперед бесконечно далеко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
