Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Таким образом, конец разреза оказывается окруженным плохой областью. Если теперь воспроизвести на деформированном и склеенном листе замкнутый путь, заданный на листе недеформированном или эталонном, этот путь окажется разомкнутым, причем вектор Бюргерса равен величине произведенного сдвига. Хорошая область кристалла может рассматриваться как склеенная упругая среда, поэтому формальная теория упругих дислокаций, рассмотренная в общих чертах в з 11.4, а также для частных случаев в з 9.2 и 10.3, находит приложение в физике металлов. Однако, как уже было подчеркнуто, предметом этой главы служат не физические приложения, а дальнейшее развитие формальной теории. В частности, для металлов модель простой кубической решетки, положенная здесь в основу рассмотрения, мало реальна.
Наибольший интерес представляют дислокации, расположенные в кристаллографических плоскостях скольжения с вектором Бюргерса, направленным в сторону возможного скольжения. Для гранецентрированной кубической решетки, например, таких систем скольжения (плоскость и направление в этой плоскости) всего двенадцать. Геометрическая теория поведения дислокаций в пересекающихся системах скольжения представляет собою раздел физики твердого тела, она излагается в многочисленных руководствах и здесь затронута не будет (см. например Ван Бюрен). в 14.2. Дислокации Бюргерса.
Сингулярные члены В $4В4 были получены общие формулы, определяющие поле перемегцений для дислокаций простейшего вида, а именно таких, которые соответствуют лишь поступательному относительному перемещению сторон разреза. Как зто явствует из теоремы Вейнгартена и как предполагается в общей теории Вольтерра, относительное перемещение, вообще говоря, должно соответствовать движению твердого тела, т. е, содержать наряду с поступательным перемещением еще поворот. В физике твердого тела особую роль играют именно простейшие дислокации рассмотренного типа, которые мы будем нааывать дислокациями Бюр- 1 11.2. Д11СЛОКАЦНИ Б10РГЕРСА.
СИНГУЛЯРНЫЕ ЧЛЕНЫ 4Е7 еерса*). Общие формулы $11.4 выражают поле перемещений через поверхностные интегралы по поверхности Х, проходнщей через контур Г. Поскольку па поверхности З напряжения непрерывны, то можно ожидать, что выбор той или иной контрольной поверхности, проходящей через контур Г, несуществен. Поэтому поверхностные интегралы, фигурирующие в формулах (11.4.2), должны преобразовываться в интегралы по контуру Г. Соответствующий вывод можно найти, например, в статье Де Вита, иаданной в качестве приложения к книге Эшелби.
Здесь мы изложим другой вывод формул для перемещений, соответствующих дислокаций, который принадлежит Бюргерсу. Будем отправляться от решении для сосредоточенной силы Р, приложенной в произвольной точке неограниченной среды, которое мы запишем в первоначальном, непреобразованном виде так, как это следует из представления Папковича — Нейбера Р и = — — + Згаб $. (14.2.1) Здесь ту — непрерывная функция, удовлетворяющая уравнению Пуассона. Задача состоит в определении вектора и смещения в неограниченном упругом теле таким образом, чтобы при обходе по любому контуру, окружающему трубку дислокации, этот вектор получал приращение, равное постоянному вектору Бюргерса Ь.
Трубкой дислокации мы будем называть тороидальную полость, окружающую замкнутую линию дислокация Г п такую, что вне атой полости кристалл может считаться хорошим. В переводе нв язык механики сплошной среды это значит, что путь обхода не должен приближаться к линии Г настолько, чтобы уравнения линейной теории упругости потеряли силу. Позаботимся прежде всего о том, чтобы получить требуемую многозначность. Гармоническая функции, претерпевающая заданный разрыв при переходе через поверхность Х, натянутую на контур Г, известна; это интеграл Гаусса или потенциал двойного слоя постоянной интенсивности, нанесенного на поверхность, 4я ~дт (г) (14.2.2) Рис.
14,24 Здесь г — расстояние от произвольной точки пространства до точки поверхности Х, ч — нормаль к этой поверхности. Будем обозначать координаты точек поверхности через зь радиус-вектор точки поверхности через й, соответственно координаты произвольной точки пространства с радиусом-вектором м будут хз. Фигурирующая в (14.2.2) производная от 1/г по нормали будет ') В современной физической литературе термин «дислокация» применяется именно к дислокациям Бюргерса. Дислокации Вольтерра, соответствующие поворотам краев разреза, называют дисклиначияли. По (х» — й,)/г — зто направляющие косинусы радиуса-вектора, выходяще-- го из точки $ к точке х (рис, 14.2.1), следовательно, 458 Гл.
14. дислокации В упРуГОм теле Выражение, стоящее под знаком интеграла в формуле (14.2.2), представляет собою телесный угол, под которым виден из точки $ элемент поверхности 2, а функция ю есть телесный угол, под которым виден из точки л контур Г. Таким образом, () Ф 4л ' Полагая ЬП и*= Ъ„= — —, 4л ' (14.2.3) мы выделим ту часть вектора перемещения и, которая обусловливает требуемую неоднозначность. Легко убедиться в том, что формула (14.2.3) представляет собою главную часть перемещения, вызванного непрерывным распределением двойных сил.
Действительно, если в некоторой точке поверхности 2 приложена сила — бя,а в точке г', находящейся на нормали и отстоящей от поверхности на расстоянии 6г, приложена сила + бп (см. рис. 14.2.2), то главная часть перемещения по формуле (14.23) выразится следующим образом: бп бп бпб л (1~ 4лрг' 4лрг 4лр дт( г) 31= ~рЬХт 32.
(14.2.4) Но по смыслу функция ф должна аависеть лишь от выбора контура Г, но не от натянутой на его поверхности 2. Поэтому момент М должен свестись к моменту от некоторых сил, распределенных по контуру Г, следовательно, интеграл по поверхности, определаюп(ий момент М, должен преобразовываться в контурный интеграл. Чтобы выполнить это преобразование, будем отправляться от формулы Стокса ф оХпь = ) готп т32. Положим в этой формуле и (е, где е — постоянный вектор, 1 — скалярная функция координат.
'Тогда' го1 о тХГе =, тГХе,= бгаб(Хе. Внося выражения для и и го1о в формулу Стокса и сокращая на постоян. ный веаторный множитель е, получим 7 Нь ~ — ' ') ягаб ух т 62. (14.2.5) Рис. 14.2.2 Уменьшал бз и увеличивая модуль бд так, чтобы произведение 6дбг оставалось постоянной величиной порядка малости 32, получим двойную силу. Итак, формула (14.2.3) даст перемещение от распределения на поверхности двойных сил интенсивностью бпбг=бро2. Момент, приходящийся на еди. ницу площади, есть' 6п Х тбг или рЬ Х ч 3 2. Интегрируя по поверхности, найдем главный момент всех сил, действующих на поверхность, Я 14.3.
ДИСЛОКАЦИИ БЮРГЕРСА. ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ 459 Вектор Вюргерса Ь может быть представлен как градиент скалярного про- изведения 0$, поэтому формулу (14.2.4) можно переписать следующим об- разом: М = — я 9)(ЬЬ) 33. г (14.2.6) Итак, момент М есть момент от сил, приложенных к контуру. Чтобы определить сами зти силы, воспользуемся тождеством 9Хп$ХЬ = ПЬ (Ьб) — Ь (ЬаЬ). Интеграл по замкнутому контуру от второго члена правой части равен нулю, поэтому (14.2.6) можно переписать следующим образом: м= — р ~ (ьхгй)хй. г Теперь видно, что на каждый элемент <($ линии контура действует сила, равная — (»ЬХ<(Ь. Второе слагаемое решения будет соответствовать рас- пределению равных и противоположных сил по формулам (14.2.1) 1 С <($ иэч = — Ьх(<) —.
4п ())г' г (14.2.7) (14.2.9) 9 14.3. Дислокации Бюргереа. Полное решение Для того чтобы определить функцию Ч', подставим (14.2.8) в уравнения Ламе (Л+ )»)О, <+ )»би< = О. учитывая, что и» и иээ — гармонические векторы, отсюда получим ЬТ=, " (0*+0**). Л+ 1» Л+ 29 (14.3.1) Здесь 0=-<)(ч и, постоянная в правой части (14.3.1), принята равной нулю, поскольку нам достаточно выбрать любое частное решение (14.3.1), ведущее себя надлежащим образом на бесконечности и непрерывное вместе со своими производными на поверхности 2, т. е.
представимое в виде контурного интеграла, не зависящего от выбора контрольной поверхности. Выполнение этого второго условия встречает наибольшие трудности. Вычислим теперь дивергенции векторов и* и и*». Выражение <»*ч может быть представлено также в виде поверхностного интеграла по формуле (14.2.7) / и** = — <,. ) Ьхдга<( — хч<(х = 4я ) ~бгаб — (Ьч) — и (Ьйга<( — „~~ <12.
х х (14.2.8) Сумма и" -»-и** представляет собою ту часть вектора и, которая обеспечивает выполнение условий требуемой неоднозначности перемещения и отсутствия сил на поверхности дислокационной трубки. Однако вектор и* + +пээ не удовлетворнет уравнениям теории упругости; в соответствии со структурой решения длн сосредоточенной силы к нему нужно добавить градиент некоторой функции Ч'. Итак, и = и'+'и**+ бгаб Ч'. 460 ГЛ.
««. ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ а. Дивергенция гектора пе. Отправляясь от выражения для пе в виде поверхностного интеграла (формулы (14.2.2) и (14.2.3) ), зайдем б, Дигергекция гекторе п*е. Будем отправляться от представления этого вектора в виде поверхностного интеграла (14.2.8). Получим В 4 ) )( ) (Ь ) ° Ь ( ) 13Х Но 1»г есть гармоническая функция (т) д$ (т)г «(г) д ( )' Поэтому Теперь уравнение(14.3й) может быть записано следующим обрааом; 1 й+Н Г д' (1) Л7= — — — д«Ь.— ( — /32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
