Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 92
Текст из файла (страница 92)
В ходе вычислений нам понадобятся производные от перемещений и. ь из ь их з и аа х. Для нахождения производных от составляющих вектора и" мы воспользуемся тем обстоятельством, что функция <р = — И/(4я) представляет собою потенциал скоростей в неограниченной жидкости при наличии вихревой нити единичной интенсивности. Скорость жидкости выражается при этом формулой Био — Савара 4 г В нашем случае отлична от нуля только компонента перемещения Ь() "г 4я Следовательпо, Ь Р вЂ” $ — $ х х з 3 кх,з 4п ~ гз ~~ гз г Вычисляя вектор изз по формулам (14.3.5), найдем 3 4п ()) г Здесь гз = (х, — э1)х -(- (зх — $х)з.
Вычислим теперь функцию Ч'. 4п~) г ' 2(1 — т)' г ЗО го н. Расохзоз 466 гл. ы. дислокации в упгугоьг тклк Соответствующие составляющие перемещения равны г г г г г Продифференцируем Чгл и Ч',з по хз, а Ч',з по х1 п хз и положим тз = О. Получаем сЬ а ' Ч „ сь à — Ч .гз =,зг= 4п+ гз Чз',зз =Ч,за = 4п (~) з счз. г Подсчитывая сдвиги ез~ и езз, найдем следующие выражения для касательных напряжений: (14.6.1) г г Формулы (14.6Л) имеют особенно простой вид тогда, когда коэффициент Пуассона среды принят равным нулю, следовательно, с = 1/2. В этом случае (14.6.2) о =О.
зз Рис. 14.6.1 Формула для отличного от нуля напряжения оз~ может быть истолкована таким образом: величина (х~ — И) 6И вЂ” (*з — $зИЬ представляет собою удвоенную площадь треугольника, изображенного штриховкой на рис. 14.61, сторонами которого являются элемент дуги контура Г н две прямые, соединяющие концы элемента с точкой х. Выражение для ез1 можно переписать теперь следующим образом: о)з С йо г (14.6.3) 5 14.7. Кольцевая дислокация На основе вышеизложенной теории плоских дислокаций мы можем рассмотреть напряженное состояние, создаваемое дислокацией в форме кругового кольца радиусом р.
Ограничимся рассмотрением случая, когда ч = О; все вычисления можно довести до конца и для общего случая, однако выкладки при этом более сложны. При сделанном допущении каса- 467 6 ыл. нольцннля дислокация зя э Ьр ~' ргсозф — р 3 2 4я,) (р + г — 2гр соз ф)М~ 3 з (14.7.1] Введем обозначение зя Ы ф ~ (рз+ гз — 2гр соз гр)ыз' (14.7.2) Рис.
14.7.1 можно теперь записать следующим образом: Ьр е.Г Ьр д ярдр я г( (14.7.3) Формулу (14.7Л) Интеграл (14.7.2) — эллиптический, полагая ф = 2ф+ я, приводим его к ооычному виду полного эллиптического интеграла первого рода и получаем 4 /2 )/гр ) + ~г+ /' (14.7.4) Пользуясь формулой (14.7.3), мы можем без труда получить явное выражение для касательного напряжения через эллиптические интегралы первого и второго рода, однако этот вывод для наших целей бесполезен. Некоторый интерес представляет зато вопрос о характере распределения касательных напряжений вблизи самой линии дислокации, когда г весьма близко к р.
При этом модуль эллиптического интеграла (14.7.4) становится близким к единице и для К(Ь) применимо следующее разложение: 4 1 / 4 К(Ь) =)и 7, + 4 ()~ Ь вЂ” 1) Ь' +" Здесь Ь' — дополнительный модуль, Ь' = 1 — Ьд В нашем случае й = 2)гр/ !(г+ р) и, с точностью до первой степени разности р — г, Ь' = (р — г)!(2р). Ограничиваясь первым членом в разлоигении К(Ь)и используя формулу (14.7.3), получим Ьр( 1 1 Зр (14.7.5) Здесь выписаны члены, обращающиеся в бесконечность при г- р. Первый член дает обычную для дислокации особенность, но наряду с ннм еще имеется член, обращающийся в бесконечность как логарифм (р — г).
Займемся теперь вычислением энергии кольцевой дислокации. По формуле (14.5Л) ггг  — е Ь И'= 2 ~ 1 дг3ф о е тельное напряжение направлено по вектору Бюргерса и постоянно в точках, равноудаленных от центра кольца дислокации, как ясно по виду формул (14.6.2). Поэтому нам достаточно вычислить т для точки оси ль отстоящей на расстояние г от центра.
Вводя обозначения, показанные на рис. 14.7.1, и применяя формулу (14.6.2), найдем 468 глл«. дислокации н уппугом тклн э с э (14.7.6) Применяя уже использованную нами выше формулу для полного эллгштического интеграла первого рода при значении модуля, близком к единице, найдем, что первый член в фигурных скобках в формуле (14.7.6) равен (г У1 =2Р1п —.
8р о с ' Интеграл, являющийся вторым членом в фигурных скобках, не расходится при верхнем пределе, равном р, поэтому мы будем вместо него вычислять интеграл ') гУ бг. э Воспользуемся первоначальным выражением (14.7.2) для У, внесем его под знак интеграла и переменим порядок интегрирования. Вычислим сначала с гбг (, ~р 1+ з(п («р(2) ') (ге+ рз — 2гр сов ~р)»7з Р ~ ' 2 + т сов 0Р(2) э Осталось проинтегрировать зто выражение по «р в пределах от нуля до 2я, Соответствугопгие интегралы вычисляются элементарно (второй берется интегрированием по частям) и мы получаем э гХ Нг = 8р. о Окончательное выражение для энергии будет следующим: Иг= 2яр — ()п — ' 31п2 — 2).
рь'( р 4я(, с+ Энергия, приходящаяся на единицу длины окружности, оказывается равной рЬ ( р 1 рЬ 1,08р — ~1п — + 31в 2 — 2/ = — 1п — ' 4я1 с / йн с Конечно, оценка величины с не настолько точна, чтобы следовало сохранять множитель 1,08, и линейную плотность энергии кольцевой дислокации можно определять по формуле ЬУ = — 1п —, 1«Ь 4»«с ° (14.7.7) В качестве верхнего предела при интегрировании по г выбран не радиус дислокации р, а величина р — с.
Так же как при вычислении энергии линейной дислокации мы считаем, что формулы для напряжений справедливы на расстоянии от линии дислокации, превышающем радиус «плохой» области с. Воспользуемся вторым выражением для т по формуле (14.7.3) и проинтегрируем по частям. Получаем я 14.8.
дислОкАции В телАх коцечиОГО РАзмеРА 469 Заметим, что при т = О, как было принято, энергия винтовой и краевой дислокации одинакова. Расчет, сделанный без этого предположении, приводит к формуле, отличающейся от формулы (14.7.7) лишь множителем 1 1 1 — + —— 2 2 1 — т' Таким образом, линейная энергия кольцевой дислокации равна среднему значению энергии краевой и винтовой дислокаций в блоке, размер которого равен радиусу кольцевой дислокации. Очевидно, что кольцевая дислокация в ненапряженном теле существовать не может, энергия монотонно возрастает с возрастанием радиуса и не существует конечного значения радиуса, для которого энергия минимальна.
Если з плоскости скольжения действует касательное напряжение тм условие равновесия дислокации будет следугощим: д)У вЂ” = 2лрт Ь. др е Это условие представляет собою результат иримепения начала возможных перемещений к телу, содержащему дислокацию. Отсюда получается 1ЗЬ р т = — — 1л —. о р 4я с' 3 14.8. Дислокации в телах конечного размера Если известно папряя1енное состояние, соответству1ощее дислокации в неограниченной упругой среде, то решенйе задачи о дислокации в теле конечных размеров приводится к статической задаче теории упругости для этого тела при заданных усилиях на поверхности; эти усилия и напряжения, вызванные дислокацией, должны взаимно уничтожаться.
Энергия дислокации по-прежнему будет выражаться формулой (14.5.1), но когшоненты напряжения в этой формуле определяются в результате решения задачи теории упругости с удовлетворением граничным условиям; поэтому величина энергии будет зависеть от положения дислокации в теле. Здесь мы рассмотрим простейший пример — винтовую дислокацию в круговом цилиндре бесконечной "г длины, ось которой параллельна оси цилинд- Р ра, но не совпадает с ней.
Пусть будет ради- г~ 1 ус цилиндра Л, расстояние винтовой дислокации от оси ОС~ = р. Проведем ось х~ через центр сечения и ось дислокации, как кокааано на рис. 14.8.1, и поместим вторую днсло- Рис. 14,8З каци1о противоположного знака в точке Сь находящейся на оси х~ на расстоянии )?'/р от начала координат. По формулам (14.4.2) напряжения в неограниченной среде для такой пары дислокаций выражаются следующим образом: з Ьр( *, лз), Ьр) зг — Р я,— Л1Р) зт 2Я гз гз зз 2п гз гз 1 З 1 "з Здесь г~ и гг — расстояния точки Ьг от точек С1 и Сг соответственно.
Нормальная к контуру составляющая касательного напряжения на окружности радиусом р определяется так: х з =о — +а зтр зз р' 470 Гл. 11. дислОкАции В упРуГОм теле Подставляя сюда значения напряжений по формулам (14.8И) и замечая, что из подобия соответствующих треугольников 22;г, =Л:Р, мы убеждаемся, что т = О, следовательно, формулы (14.8.1) определяют напряженное состояние от винтовой дислокации в круговом цилиндре, торцевые сечения которого закреплены от поворота.
Последнее обстоятельство вытекает из тех предположений, которые были приняты при выводе основных формул для винтовой дислокации в $ 9.2 и 14.4, В сечениях такого закрепленного цилиндра возникает крутящий момент, равный моменту от напряжений с и азз. Величина этого момента ,) 1~1 22 2 21) ~1 ~2' Вычисляя соответствующие интегралы, находим ( л р ) (14.8.2) Здесь т = — о + азз при лз = О. Окончательный результ дующим: ье )У = )У, + — „[)н (1 — ~') — (1 — 4')'!. (14.8.4) Здесь В»е — энергия винтовой дислокации в неограниченной среде, определяемая по формуле (14.5.2), второй же член формулы может быть назван энергией взаимодействия со свободной поверхностью.
В формуле принято 5 = р»Л. Энергия дислокации, рассматриваемая как функция ее относительной координаты ь, имеет минимум прн ь = 0 и максимум при , »» 2 — (»»2 = 0,541. Тзкни образом, при ь = 0 дислокация находнтся в состоянии устойчивого равновесия, при ь = 0,541 — в состоянии неустойчивого равновесия. За последние годы уделялось большое внимание изучению так называемых нитевидных кристаллов, обладающих исключительно высокой прочностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
