Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Таким образом, уравнения движения упругой среды допускают решения, содержащие разрывы первых производных от перемещений. з 13.5. Отражение волн Продольная волна, распространяющаяся в направлении оси х„есть, как мы видели, следующее решение уравнений движения: 442 Гл.!3.
динАмические зАдАчи теОРии упРугости Совершенно аналогичным образом можно записать величины пе- ремещений ие связанных с плоской волной искажения, распрост- раняющейся вдоль луча, лежащего в плоскости х„х, и состав- ляющего угол р с осью х,. Теперь У = «(х, сов ~ + х, в!и ~ — с21) есть перемещение, перпендикулярное к направлению распростра- нения, и составляющие этого перемещения по осям координат и, = д (х, сов Р + х, яш р — с,г) вш и2 в (х~ Сов Р + х2 в!и Р с 1) Сов и, = О.
(13.5.3) и, = !О(х, сова, + х, в!па, + с,1) соя а, + + Дх, сова+ х, вша — с,т)сова — у(х, соя р+ х, втп р — с..1)яш и, = Д,(х, сова, +х,яша, + с,т)в!па, + + ! (х, соя а + х, в!и а — с1) в!и а + б(х, соя Р + х, вш р — с1) сов Р, и, = О. Теперь рассмотрим следующую задачу.
Упругая среда занимает полупространство х, ) О, граница полупространства жестко закреплена таким образом, что на ней перемещения равны нулю (рис. 13.5.2). Справа под углом а, к оси х, идет волна расширения К =Д. Перемещения и, и и, в падающей волне дад~ ются формулами (13,5.2), в которых нужно заменить а через а, и с, через — с„ так как направление движения волны аа на рис. 13.5.2 противоположно тому, которое было принято при выводе этих формул. В акустике и оптике волна, па- Р' дающая на плоскую преграду, отражается от нее. То же происходит и с упругими волнами, но если на преграду падает волна расширения, то отражаются уже Рис.
13.5.2 две волны: волна расширения и волна искажения. Сделаем это предположение и покажем, что оно единственное возможное. Итак, предположим, что на стенку падает волна расширения под углом а„ отражается волна расширения с! =1 под углом а н отражается волна искажения У = е под углом р. Компоненты полного перемещения найдутся как суммы компонент перемещений от этих трех волн. Комбинируя формулы (13.5.2) и (13.5.3) и учитывая сделанные замечания о разнице направлений падающей и отраженной волн, получим 443 Й 15.5.
ОТРЛ1КВЫИЕ ВОЛЫ Перемещения должны обращаться в нуль на жесткой стенке при х, = О. Следовательно, ~, (хс Я!и а, + с,!) сов а, + ! (х, Яйп а — с !) сов и— — я(х, яш р — с,!)я!и р = О, (13.5.4) ~, (х, в(п ас + с11) я(п а, + ~ (х, я)п а — с,г) я!и ас + + д (х, я!и р — с,1) соя р = О. Эти равенства должны выполняться для любых значений х, и 5, а зто возможно только тогда, когда аргументы всех функций одинаковы.
Это значит, что с х, Я!п ссс + с1! = — х, Я!па + с,! = ( — х, Я1п Р + сз!)— Отсюда я!Ви= — я!Ва„я!Вр= — — 'я!Вас. (13.5.5) 1 Хаким образом, волна расширения отражается по закону геометрической оптики, угол падения равен углу отражения. Кроме этого возникает волна искажения, отражающаяся под углом при этом 1~~ (!а,1, как показано на рис. 13.5.2.
Если известна форма падающей волны, т. е. функция („из уравнений (13.5.4) находятся функции ! и я, определяющие форму отраженных волн. Как видно, они отличаются от функции !, лишь постоянным множителем, а для функции д также масштабом аргумента. Мы рассмотрели для простоты довольно искусственную задачу об упругой среде, скрепленной с абсолютно жесткой стенкой. Более реальная задача это, конечно, задача об отражении волны от свободной поверхности. Решается она точно таним же способом, только вместо условия и, =и, =О при х, =О нужно испольэовать условие О„=О„=О. Напряжения выражаются через первые производные от перемещений, вместо (13.5.4) получатся некоторые равенства, содержащие производные функций 1„! и я".
Совершенно такие же рассуждения убеждают в том, что функции должны зависеть от аргументов, отличающихся лишь множителем, и мы неизбежным образом приходим к соотношениям (13.5.5), Предположим теперь, что на плоскую стенку падает волна искажения под углом р,, Все построение производится совершенно аналогично, нет надобности его повторять. Мы находим, что от стенки отражаются две волны, волна искажения под углом 'р и волна расширения под углом а, при этом с я(п р = — я!и р„я!и и = — — я!и рс.
'3 444 Гл. 13. динАА1ические зАдАчи теОРии упРуГОсти Но с, ~ с,, поэтому угол я больше, чем угол р, и решение справедливо лишь до тех пор, пока ~э1па~ ( 1. Для этого необходимо, .чтобы угол рс не превосходил критического значения с р (агсз1п —. 1 Если коэффициент Пуассона у =1/3, с,/с,= 2, рс, =30'. Задача о взаимодействии с преградой волны искажения, падающей под углом большим чем критический, решается совершенно инымп средствами и совсем не элементарна.
Установленные в этом параграфе факты проливают свет на те волновые процессы, которые могут происходить в ограниченной упругой среде. Даже если начальное возмущение было таково, что оно порождало лишь простые волны одного какого-либо рода, продольные или поперечные, в результате отражений будут возникать и продольные, и поперечные волны, распространяющиеся с разными скоростями. Поэтому решение типа рассмотренных в з 13.4, когда одно и то же деформированное и напряженное состояние переносится без изменения с постоянной скоростью, для ограниченных упругих тел, вообще говоря, невозможно.
6 13.6. Распространение волн в слое конечной толщины Сделанное в конце з 13.5 замечание не исключает возможности распространения с постоянной скоростью волн специального вида. Особую роль для теории играют синусоидальные волны /= =-з1п/с(х — СГ)Хсопзй Здесь й=2я/Ь, Л вЂ” длина волны, сэ= = йс — круговая частота колебательного движения фиксированной точки.
Ясно, что вместо синуса можно взять косинус; поскольку уравнения линейны, решения можно складывать, поэтому мы будем задавать синусоидальную волну с помощью комплексного представления /= ехр й(х — сс) Х сопз1, суперпоаиция двух таких комплексных волн всегда позволит выделить действительную функцию. Обратимся теперь к уравнениям (13.4.6). Дифференцируя по х; и суммируя, найдем (Л+2р) Ла — р —,=0 д 0 дС или (13.6.1) д1 Теперь. проднфференцируем первое из уравнений (13.4.6) по хь второе по х, и вычтем одно из другого.
Вспоминая определение 5 13л. ВОлны В слОе кОнечнОЙ толщины антисимметричного тензора юс, получим де, рйв" — р —" = О. дР Вместо индексов 1 и 2 мы написали ю и у, потому что из (13.4.6) можно получить три уравнения для всех возмоясных комбинаций индексов. Перепишем последнее уравнение так: (13.6.2) д8 Вместо неизвестных функций и, и и, мы ввели две другие не- известные функции ф и ф Вычисляя 0 и ю„= ге, получим О=Лф, ю=йф. Потребуем, чтобы ф и ф удовлетворяли уравнениям (13.61) и (13.6.2), а именно, чтобы было с Лф — — = О, с,йф — — = О. дф дф (13.6.4) Если ф и ф удовлетворяют уравнениям (13.6.4), то 0 и ю удовлетворяют (13.6.1) и (13.6.2). Вопрос об общности такого представления остается открытым, во всяком случае формулы (13.6.3) будут определять некоторое решение уравнений динамической теории упругости, а если мы сумеем удовлетворить граничным Условиям — мы найдем некоторое возможное движение упругой среды, Вопрос о том, как создать это движение, также остается открытым.
Будем искать решение уравнений (13.6.4) в виде ф =1(х.,) ехр Ис(х, — сг), ф = д(х,) ехр И(х, — сг). По виду уравнений (13.6.1) и (13.6.2) можно предположить, что величина 0 распространяется со скоростью с„величина юе со скоростью с,. Но это не совсем так, мы не можем поставить раздельные граничные условия для 0 и для ое, поэтому фактически уравнения оказываются связанными между собой. Однако эти соображения играют определенную наводящую роль при выборе структуры предполагаемых решений тех или иных задач.
Сейчас мы рассмотрим следующую задачу. Бесконечная плита ограничена плоскостями х, = ~й. Нужно выяснить вопрос о возможности распространения синусоидальных волн в направлении оси х,. Предполагается, что перемещение и, =О. Граничные плоскости х, = ~Ь свободны от напряжений.
Таким образом, нужно найти пеРемеЩениЯ и,(хо хм 1) и и,(хо хм 1). Положим и1 ф1+ т2 из фз ф1 (13.6.3) 446 Гл. 13. ДинАмические ЗАДАчи теОРии УпРУГОсти Подставляя выражение для ф в (13.6.4), получим уравнение для 1(х,) /" — яз(= О, яз = йз 1 — — ~. сз / 1 Общий интеграл этого уравнения ~ = А сЬ ях, + В ЗЬ ях,. Совершенно аналогичным образом находим д = С СЬ рх + В ЗЬ рхю рз = йз (1 — с~/с;'). Ограничимся рассмотрением волновых движений, симметричных относительно плоскости х, = О.
При этом и, должно быть четной функцией от х„ а и, — нечетной. Для этого необходимо, чтобы 1(х,) была четной, а я(х,) — нечетной. Следовательно, В = С = О, поэтому ~(хт) = А сЬ ях„е (х,) = 0 ЗЬ ~х,. (13.6.5) Теперь по формулам (13.6.3) мы можем найти выражения для перемещений, а именно, н, =(1й1+д )ехрй(х, — сс), (13.6.6)' и, =(1" — 1йе) ехр гй(х, — сС).
Внесем выражения и, и и, по формулам (13.6.6) в граничные условия, подставим туда значения (13.6.5) для функций 1' и я. Получим А21йя ЗЬ ай+ В(р*+ й') ЗЬ рй = О, А [с~из — (с~ ~— 2с~~) йз) сЬ яй — В2с~~гй~ сЬ рй = О. Эта система допускает для А и В ненулевое решение тогда, когда определитель системы равен нулю. Запишем это условие, заметив предварительно, что с1яз — (с1 — 2с~~) йз = с1 (йз — ~з) . Получим Фрь 4й а6 1з аз (зз + Ьз)т (13.6.8) Поскольку я и )) зависят от с, уравнение (13.6.8) есть уравнение, определяющее скорость распространения синусоидальных Вследствие симметрии достаточно, чтобы граничные условия были удовлетворены при х,=+й, условия при х, = — й выполняются при этом автоматически.
На свободной поверхности должно быть озз = ом = О, следовательно, иь з+ нь, = О, ЛО+ 2риь, = О, х, = й. (13.6.7) 6 12.2. Вечны В слОе конечной тОлщины 447 волн н плите. При выводе мы предполагали, что с ( с, ( сп по- атому я и р действительны. Но это предположение несущественно; может оказаться, что уравнение (13.6.8) имеет и такие решения для с, при которых либо р, либо а и р становятся мнимыми, Исследование корней уравнения (13.6.8) затруднительно и мы ограничимся двумя крайними случаями.
а. Длинные волны, Если длина волны Ь велика по сравнению с й, то ()д и ай малы по сравнению с единицей и гиперболические тангенсы можно заменить первыми членами их разложений. Получим 6 4/Рай и = (62 ( й2)2. Очевидное решение этого уравнения есть () = О, следовательно, с = сь в пластине возможно распространение волн сдвига. Предполагая 6 чь О, получим 442222 = (22+ (Р)'. (13.6.9) Подставляя сюда выражения и и 6 и разрешая относительно с, находим сз — сз 22 = 4сз сз 1 Заменив 22 и сз их выражениями через упругие константы и плотность и переходя к техническим постоянным Е и т, представим этот результат в следующем виде: (13.6.10) Скорость, определяемую формулой (13.6.10), можно назвать «пластиночнойз.
Ее можно получить по элементарному способу 1 2ЗО, рассматривая распространение плоского фронта разрыва. Стесненность деформации условием езз = О, как мы знаем, приводит к увеличению жесткости в отношении 1: (1 — д2). б, Короткие волны. Гиперболический тангенс с увеличением аргумента стремится к единице, поэтому для коротких волн (13.6.8) принимает вид 442ар = (61+ 22)2 или (13.63И) Раскрывая скобки, получим кубическое уравнение для с', которое мы не будем выписывать в развернутом виде. Оно имеет три корня, из которых только один определяет скорость с ( сг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
