Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 91
Текст из файла (страница 91)
2л )«+ 2р 1» дх«дт ( т / (14.3.2) Частное решевие атого уравнения можно найти следующим образом. За- метим, что Ьт = 2»т. Отсюда следует 1 2+р Умножая обе части этого равенства иа 4— д+ 2 Ь«» свернем по индексу « и проинтегрируем по поверхности. Получим »1 А+)«Г дт ) 1 ).+)«Г д (1) )4и й+2р ) «дх«дт ) 2п Л+2)«) «дх«дт ~» / Сравнивая с уравнением (14.3.2), мы убеждаемся, что частное решевие этого уравнения есть 7 = — — ~ Ь.— 32.
1 1+В Г дзт «4п 2+2р )» дх«дт (14.3.3) х Но зто частное решение претерпевает разрыв нормальной производной нз поверхности 2 и не может быть преобразовано в контурный интеграл. Чтобы исправить дело, к функции»Р необходимо добавить надлежащим образом выбранную гармоническую функцию. Воспользуемся для этого следующей вспомогательной формулой векторного анализа: тот (о Хи) = 7 Х (о Х и) = (и7) и — (э7) и — и «Пт с + в») (т и. 3 ЫЛ. ПРЯМОЛННЕИНЫЕ ДНСЛОКЛЦИН 464 Положим в этой формуле в = Ь, ю = (и — 4)/г. Получим — (,-эг)(1-э)) Ь Здесь е — единичные векторы координатных осей. 1 Преобразуем теперь подынтегральное выражение в формуле (14.3.3) дзг дэг (х,. — $1) (л — Ц) Ь1ч1 Ь = — Ью — = Ьлк —— 1 дх.дт 1 1 дз.дл гз 1 1 г 1 1 1 Выражение, ааклгоченное в квадратные скобки, отличается от величины гог(ЬХ(л — $)/г) только знаком перед вторым членом.
Ояределнм теперь функцию Ч' следующим образом: (14.3.4) Л+р Г2Ьч Она отличается от функции Ч', на величину 4„2+ 2 ) „дь Эта функх ция представляет собого потенциал простого слоя на поверхности Х, т. е. гармоническую функцию с разрывом нормальной проиаводной, который компенсирует соответствующий разрыв у функции Ч'ь Дадим теперь сводку окончательных формул: и =-и" + ичч -(- бхай Ч' или Ь() 1 Г И$ г Ьх(* — 4) и = — — + — ЬХ~) — + бга1) 4л 4я (З) г Зк(1 — ч) ~) г ~) 34. (14.3.5) С помощью формул предыдущего и настоящего параграфов это выражение может быть представлено через поверхностные интегралы. Остается сделать некоторые уточнения, относящиеся к выбору знаков. Будем считать, что система координат правая.
Положительное направление нормали к поверхности Б н положительное направление обхода контура Г таковы, что со стороны положительной нормали обход представляется происходящим против часовой стрелки. При переходе через поверхность Б со стороны положительной нормали телесный угол получает отрицательное перемещение, равное — 4я, и соответственно перемещение иаменяется на величину вектора Бгоргерса Ь. Следовательно, вектор Бюргерса представляет собою перемещение отрицательной стороны поверхности раареза по отношению к ее положительной стороне. 4 14.4. Прямолинейные дислокации Винтовая дислокация, рассмотренная в 3 9.2, и краевая дислокация, построенная в $10.3 как пример решения некоторой плоской задачи теории упругости путем представления решения через функции комплексной переменной, служат примерами дислокаций, для которых линия дислокации— прямая.
Те же реаультаты могут быть получены и путем применения общих формул $14.3; это и будет сделано в настоящем параграфе. 462 ГЛ. 11. ДИСЛОКАЦИИ В УПРУГОМ ТЕЛЕ О 22 ()= 4л —, = 2 агсся— 2л Для винтовой дислокации вектор Бюргерся имеет составлягощие (О, О, Ь), поэтому ит — — О, и = О, из — — —. агс1я —. ° 2 * (' 2 2 ' з 2:1 1 В данном случае вектор Ы$ направлен но оси хв так же как вектор Ь, их векторное произведение равно нулю, следовательно, и"' = О.
Векторное про- Ю изведение ЬХ(х — Ь) направлено перпендикулярно оси хз, поэтому лри скалярном умножении его на дЬ получится также нуль и Ч' = О. Итак, единственная отличная от нуля компонента вектора перемещения и есть 2 и = 2 агсьл —. (14.4.1) Рис. 14.4.1 Все компоненты напряжения кроме ол и а,з обращаются в нуль, для касательных напряжений получаготся следующие выражения: Ь)1 хз Ьр с О 12 2л хз ( Я' зз 2л яз.( хз 1 2 1 2 (14.4.2) б.
Краевая дислокация. Направим по-прежнему ось дислокации по оси хь вектор Бюргерса — по оси хо Телесный угол й мы уже нашли при рассмотрении винтовой дислокации, следовательно, 2 агсге ' и из С. ь 2 2 2 2л х 2 з 1 Обозначая через оь элемент оси хз, найдем, что векторное произведение ЬХНЬ имеет единственную отличную от нуля составляющуго по оси хг, равную — ЬЫЬ. Таким образом, 22 22 Ь Г ЖЬ 22 и =О, из = — — л ~ г, из — — О. 1 ' 2 4л ~ г Из теории потенциала известно, что интеграл в выражении и приводится к величине )п(~х1+ х ), таким образом, l 2 21 Переходим к вычислению функции Ч'. Произведение (ЬХ(х — ь)) Щ а.
Винтовая дислокация. Направим линию дислокации по оси хз, ПРимем за поверхность 2 левую полупзоскость на рис. 14.4.1. Телесный угол, под которым видна левая иолуплоскость из точки 41 с координатами х„, равен 463 Ь 14.5. ЭНЕРГИЯ ДИСЛОКАЦИН рводится в данном случае к величине Ьхзсс; таким образом, е~ ~ ).+д Г Ь224Ь Ь ).+„ Ч~ =— х 1п (х~+ хз). 4л й+2р ) г 4я Ь+2)4 2 4 1 2)* Дифференцируем гр по х, и ио х,: ь ).+)4 2хгхз ь ь+ р ~,, 222 ,1 4л )4+2)4 .2 4 2,2 4л Х+2Р 1 ~4*1+*2)+ хз ) хз Теперь мы можем выписать формулы для перемещений Х 2+)4 ХХ атосе ' + 3+2 Х1 +х > с 2 Ь и 1 2я (14.4.3) Ь и з 2л Не приводя очевидных вычислений, выпишем формулу для вращения Х1 ю 12 2л хз) хз 1 2 (14.4.4) 3 14.5.
Энергия дислокации Для создания дислокации должна быть затрачена некоторая работа, накапливаемая в виде упругой энергии дислокации. Наиболее простой способ подсчета этой энергии заключается в следующем. Предположим, что в теле сделан разрез и к поверхностям разреаа прикладываются внешние силы, распределенные точно таким же образом, как распределяготся напряжения на поверхности Х, когда дислокация уже создана, Работа этик сил на перемещении Ь по теореме Клапейрона, равна удвоенной энергии дислокации. Таким образом, 1 И = —.
) ЬУ32. 2 ) Формулы для напряжений уже были приведены в 1 10.3. Если вектор Бюргерса положителен, дислокация также считается положительной. Точку пересечения положительной дислокации с плоскостью 2,022 принято изображать значком в форме перевернутой буквы Т, как показано на рис. 14.4.2. Краевую дислокацию можно создать разными спо. собами, например сдвигая края разреза по левой или правой полуплоскости х,Охь разрезая по верхней или нижней полуплоскости *,Охз и перемещая края разреза, в одном случае с добавлением слоя материала, в другом — с его удалением.
Условное обозначение краевой дислокации расшифровывается следующим образом. Горизонтальная переклади- Рис. 14.4.2 на указывает на направление вектора Бюргерса, вертикальная черточка символизирует слой материала, который нуясио ввести в разрез, чтобы создать дислокацию. 464 гл, ьк дислокации в упвугоьг тклк здесь Я вЂ” вектор напряжения на поверхности Х, тельно, Я = а. т.е ° Следова- Ц 1 Г И' = — ) о,т.Ь.НХ. 2~Из (14.5А) Применим эту формулу к винтовой дислокации. Предположим, что раврез произведен по полуплосвости аз = 0 (а, ) 0). Касательное напряжение по формуле (14.4.2) равно Ь(г 1 о зз 2я г Умножим на вектор Бюргерса Ь и проинтегрируем по а~ в пределах от а~ = = с до л~ — — Л. Получим выражение энергии на единицу длины я Ь)х Глл Ь(г Л Иг = — ) — = — 1п —. 4н ) а 4л с ' (14.5.2) Ь'д Л И' = 1п —. 4я(1 — т) с ' (14.5.3) Вместо того чтобы делать разрез в плоскости а, = 0 и сдвигать две стороны разреза одну относительно другой (рис.
14.5.1, а), можно было сде- Величина с — это радиус ядра дислокации, имеющий порядок Ь. Желая вычислить энергию более точно, мы должны бьши бы прибавить сюда энергию ядра, которая уже не может быть найдена методами теории упругости, для ее подсчета необходимо прибегать к атомным моделям. Величина Л представляет собою размер тела, для тела бесконечных размеров и энергия дислокации становится бесконечно большой. В связи с этим можно сделать следующее замечание. При построении дислокации мы исходили из неограниченной среды, в предположении бесконечных размеров тела были вычислены напряжения. В теле конечных размеров, вообще говоря, возникает дополнительная система напряжений, которая находится из условия равенства нулю сил, действующих на свободную поверхность.
Для винтовой дислокации как раз дело обстоит просто, поверхность кругового цилиндра, имеющего осью линию дислокации, свободна от напряжений. Поэтому 4юрмулы (14.4.2) и выражение для энергии (14.5.2) совершенно точны, если линия дислокации совпадает с осью кругового цилиндра радиусом Л. В тех случах, ког— да напряжения от дислокации не оставляют границу свободной от усилий, появляется дог) полнительная энергия (положительная нли отрицательная), которая называется энергией взаимодействия дислокации со свободной поверхностью. Пример дислокации в теле ограниченных размеров будет рассмотрен ниже. Вычислим теперь энергию краевой дислокации.
Касательное напряжение в клоскости ат = = 0 по формуле (10.3.6) равно Ь д) ш 2я(1 — т) а Рис. 14.5.1 В правой полуплоскости оно направлено так же, как вектор Бюргерса Ь, следовательно, энергия найдется совершенно таким же способом, как в случае винтовой дисло- кации Ь иьз.плоская дислокация 465 лать разрез по плоскости з, = О, раздвинуть края разреза на величину Ь, заполнить образовавшуюся щель добавочным материалом и спаять (см. рис. 14.5.1, б). Работа, аатрачиваемая при эхом, есть и Вг = — с Ь бх).
11 е Знак «минус» стоит здесь потому, что положительная нормаль к верхней полуплоскости з,Озз направлена влево, при атом, если смотреть со стороны нормали, обход полуплоскости по оси зз представляется происходяп)им против часовой стрелки. По формуле (10.3.6) при х~ — — О Ьр ш 2п(1 — х) з з Легко убедиться, что таким способом для энергии дислокации опять полу- чается выражение (14.5.3).
3 14.6. Плоская дислокация Предположим теперь, что линия дислокации лежит в плоскости зз = О и вектор Бюргерса находится в той же плоскости и направлен по оси эь Определим касательные напряжения в плоскости дислокации; для большинства приложений только зти напряжения представлягот интерес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
