Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Слой дислокаций может прости- раться неограниченно вдоль оси зт или может быть расположен па части плоскости х, = 0 от х, = — Ь до хе = +П Рассмотрим сначала случай бес- конечной стенки. Вращение, вызванное краевой дислокацией (Ь, О, 0), про- ходящей через начало координат, дается формулой (14.4.4): ь я ю = Следовательно, дислокация () 3$, в точке (О, $е) создает в точке (зь хе) вращение г'~ье *т 2Я гз Подсчитаем вращение, создаваемое бесконечной стенкой дислокаций: е Из рис. 14.13Л видно, что х,/г = соз О, следовательно, вбз, О гз Интеграл в формуле для ю представляет собою угол, под которым из точ- ки М видна бесконечная ось зь этот угол равен +я справа от оси зз и — я слева от оси.
Таким об азом, () . ь ы= — з!Опх = — е(дпх . 2 г 2Н 1' (14Л3.1) Итак, стенка дислокаций может служить моделью плоской границы, разделягощей области кристалла, повернутые одна относительно другой на % 1133. СТЕНКА ДИСЛОКАЦИЙ 479 угол Ьго', или моделью границы мозаичных блоков. Так называются существующие в любом реальном кристалле облаоти, отличающиеся слабой относительной разориентацией. Рассмотрим теперь напряженное состояние в теле при наличии бесяонечной стенки дислокаций, Исходя из формулы (10.3.6), для касательного напряжения о„получим следующее выражение: 2 3 2 2л (1 — т) 1,) гхз-~-(х — 3 )2)2 Переходя к введенному выше углу О, найдем Я/2 ( — у Т вЂ” 1У о = РР ( 2030=0 2к (1 — т),) -Л!2 Таким же образом можно убедиться в том, что и остальные напряжения обращаются в нуль.
Итак, бесконечная стенка дислокаций оставляет тело невапряженным, разделяя его на области, повернутые одна относительно другой. В действительности, если мы рассматриваем не непрерывно распределенные дпслока- Рис. 14ДЗИ ции, а дискретный ряд, в непосредственной близости от осп зт получится напряженное состояние, быстро затухающее по мере удаления от оси. Если мы захотим соединить две части кристалла со слегка разнящейся ориентацией атомных плоскостей, мы обязательно получим несовпадение рядов атомов в плоскости соединения; чтобы добиться необходимого совпадения нужно деформировать решетку, но зти деформации будут носить чисто местнып характер.
Таким образом, более точная модель границы блока должна быть построена нз дискретных дислокаций, расположенных на конечных расстояниях. Рассмотрим теперь стенку ограниченной длины, занимающую пространство от 31 = — й до 31 = +б. Формула (14.13.2) для а11 сохраняет силу, но пределы интегрирования будут Зг 1 О = агссоз, 0 = агссоз )~-:+(;- )" ' ~'*:+(*,— )' Интегрируя, подставляя пределы и производя некоторые простые преобразования,получим и ЕЬИ 1( 1 2 ) к (1 — т) (зз — зз -(- 2,2) 2 -(- 4хзхз Зз ) 12 Касательное напряжение принимает бесконечно большие значения нри з~ = О, зз = АЬ, оно обращается в нуль на линии з — з+й =О.
2 2 1 2 Ото — гипербола, проходящая через концы отрезка з| = О, зт ш ( — 2, Ц. Она разбивает плоскость зь хз на две области, в которых о„имеет различные знаки. Дислокация того же знака, попавшая в незаштрихованную область (рис. 14Д3.1), будет отталкиваться от оси хь в заштрихованной области дислокации того же злака притягиваются к осп зь за счет чего происходит рост стенки. ЧАСТЬ Н1 НЕУПРУГОСТЬ ГЛАВА Г5 ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ й 15.1. Упругопластическое и жесткопластическое тело В главе 5 было дано окределение идеального упругопластического и жесткопластического тела и выяснены некоторые общие свойства стерн<левых систем, составленных из идеальных упругопластических или жесткопластических элементов. Термин «идеальпая» пластичность понимается здесь, как и в гл.
5, в том смысле, что материал пе обладает упрочнепием, т. е. при о =о, стержень может деформироваться пеограничеппо. Напомним, что рассматривалась задача о предельном равновесии, т. е. о нахождении нагрузки, при которой наступает общая текучесть. При этом деформации стержней, перешедших в пластическое состояние, как это заранее оговорено, могут быть сколь угодно велики, если пе принимать во внимание геометрических ограничений. Учитывая эти последние, более осторожно было бы говорить о мгновенных скоростях пластической деформации; эти мгновенные скорости могут быть совершенно произвольны и действительно сколь угодно велики.
Напомним, что исчерпание несущей способности стержневой системы, как правило, соответствует превращению ее в механизм с одной степенью свободы. Поэтому соотношения между скоростями пластической деформации ее элементов остаются жестко фиксированными, эти скорости определяются с точностью до общего произвольного множителя. Напомним также фундаментальный результат, полученный в з 5.7 и 5.8.
Если стержневая система нагружена системой обобщенных сил ф, то в предельном состоянии выполняется условие г" (Ч;) = О. (15ГЬ1) При г" (О система остается жесткой, состояние, при котором г") О, невозможно. При атом обобщенные скорости перемещений дь соответствующие обобщенным силам ф, определяются ассоциированным законом течения дР д. = Л вЂ”, «зр где Х вЂ” проиавольпый множитель. Соотношения между скоро- 481 стями а, фиксированы, если Д, не соответствует ребру поверхности нагружения, в противном случае возникает известная неопределенность. Как было показано в з 5.8, функция Р не вогнута.
Это значит,что если ч;лтаковы, что Р (О;) ( О, то справедливо следующее неравенство: Й. — 0~) ч; ) 0 и. (О* — 0~) ~0 ) О. (15 1.3) В рассмотренных примерах, относящихся к стержневым системам — фермам, функция Р была кусочно линейной, уравнение РЯ)=0 в п-мерном пространстве сил ф определяло многогранник, ограниченный гиперплоскостями. На ребрах пересечения этих гиперплоскостей направление нормали неопределенно, соответственно вектор д, может занимать произвольное положение в плоскости, нормальной к ребру, и внутри угла, образованного пересекающимися граничными гиперплоскостями.
Еще большая свобода выбора направления вектора д; имеется в вершинах многогранника, где пересекаются несколько гиперплоскостей. Наша задача теперь будет состоять в том, чтобы получить условие пластичности и закон течения для общего случая произвольного напряженного состояния. Рассмотрим элемент в декартовых прямоугольных координатах, компоненты тензора напряжения оо можно принять за обобщенные силы, действующие на этот элемент. Соответствующие обобщенные скорости будут зе.
Если деформации малы, то зе — — ее, но это предположение не обязательно. Естественно предположить, что пластическое состояние будет достигнуто тогда, когда некоторая функция от компонент тензора напряжений достигнет предельного значения Р(ое) = О. (15.1.4) Такие состояния ай, для которых Р(оп)(0, будем называть допустимыми. Условие пластичности (15.1.4) может быть геометрически интерпретировано как уравнение поверхности в шестимерном или девятимерном пространстве, где координатами точен служат компоненты напряжений оа. В первом случае учитывается симметрия тензора ое и координат остается всего шесть, во втором случае равенства аз= о„не используются. Будем называть гиперповерхность, определяемую уравнением (15.1.4), поверхностью текучести.
Для изотропного тела условия перехода в пластическое состояние должны определяться только главными напряжениями независимо от ориентации главных осей, поэтому условие пластичности можно записать в виде Р(о„а„а,) = О. Геометрическая интерпретация в атом случае вполне наглядна: 31 ю. н. Разотвов ГЛ. НЬ ИДЯАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 482 выписанное условие определяет поверхность в трехмерном евклидовом пространстве. В отдельных частных случаях бывает достаточно рассматривать условие пластичности не в общем шестимерном пространстве, а в каком-либо из его подпространств с меньшим числом измерений.
Теперь нам необходимо принять некоторую систему предположений, которая позволила бы сделать общие заключения о виде функции г" и распределении скоростей пластического течения зв. При атом результаты, полученные для стержневых систем и сформулированные в виде соотношений (15Л.2) и (15Л.З), должны быть использованы в качестве наводящих соображений. Может быть, наиболее простой путь состоял бы в том, чтобы просто постулировать невогнутость функции г"(ов) и справедливость ассоциированного закона течения; однако представляется соблазнительным положить в основу теории некоторый общий принцип, допускающий достаточно простую формулировку и содержащий в себе все необходимые следствия. Такого рода принципы или постулаты формулировались разными авторами в различной форме; мы приведем здесь два принципа, приводящих к совершенно эквивалентным результатам.
3 15.2. Принцип максимума и постулат Друкера Принцип максимума Мизеса формулируется следующим образом. Пусть задано распределение скоростей зе, которому соответствует поле напряжений ое. Мощность диссипации Р определяется следующим образом: Р= о„ер, (15.2Л) Здесь зр, — тензор скоростей пластической деформации. Утверждается, что для истинного напряженного состояния мощность диссипации не меньше, чем для любого допустимого состояния а;;, т. е.
такого, что во всех точках тела г" (О11)( (О. Итак, р Ф р опзп ) О11з111ь Это условие обычно записывают следующим образом: (ац — о;;) з;, > О. (15.2.2) Неравенство (15.2.2) совершенно аналогично неравенству (15.1.3); оно устанавливает по крайней мере невогнутость поверхности нагруження. Теперь, предполагая, что функция Г(о,1) непрерывна и кусочно дифференцируема, составим локальное условие максимума диссипации Р как функции ое при условии соблюдения условия пластичности (15Л.4) . Для этого, как хорошо з гзл. квинции мьксимгмл н постулат дггкигь 483 известно, нужно искать условия экстремума функции Ф = Р— йР = опз1М вЂ” )Р(ая), где Х вЂ” неопределенный множитель Лагранжа. Следуя обычному правилу, приравниваем нулю производные от функции Ф по аз.
Отсюда следует (15.2.3) и Это — ассоциированный закон течения, совершенно аналогичный закону (15 1.2), установленному для стержневых систем. Так же как и в случае стержневой системы, где функция была только кусочно гладкой, точнее — состояла из линейных участков, можно предположить, что и в условии (15.2.4) функция Р— кусочно гладкая и в некоторых «угловых точкахэ одновременно выполняется й условий Р. (оя) = 0 (г = 1, ..., й) .
(15.2.4) Применяя ассоциированный закон течения к каждому из условий (15.2.4), найдем ду, (15.2.5) о Из условия положительности мощности диссипации, которое будет установлено в з 15.3, следует, что Х, > О. Если тензор скоростей деформации ее представить себе свободным вектором в том же пространстве напряжений, в котором строится поверхность текучести, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
