Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Приращения Ьи известны и на контуре выточки, следовательно, можно построить новый контур выточки, близкий к исходному, решить аадачу пластичности для етого нового контура, определить новые распределения мгновенных скоростей и повторить всю процедуру. Так постепенно, шаг за шагом, можно найти изменение геометрии, связанное с пластической деформацией. Когда в полуплоскость внедряется клин, задача оказывается автомодельной и находится замкнутое решение. Но зто едва ли не единственный пример.
Специфическая особенность идеального жесткопластического тела состоит в том, что в нем, вообще говоря, чередуются пластические и жесткие области, в пластических областях неопределенно распределение скоростей, в жестких — распределение напряжений. Позтому теорема единственности носит ограниченный характер: она утверждает только единственность распределения напряжений в пластических областях, не фиксируя их границы.
Р Р / Ю Ю Пусть Он, иь зн и пц, вм еп — два решения, удовлетворяющие условиям равновесия, статическим и кинематическим граничным У В условиям. Тогда разность напряжений пб — пб удовлетворяет уравнениям равновесия и нулевым граничным условиям на 8т. е Ф Поле скоростей деформации — зн кинематически воаможно, ГЛ, ЬХ ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 490 оно соответствует нулевым скоростям на части поверхности от. Составим уравнение равновесия в форме Лагранжа ) (оя — о„) (е11 — е11) от' = О.
Правая часть должна была бы равняться мощности приложенных внешних сил, но эта мощность тождественно равна нулю вследствие сделанных выше оговорок, касающихся граничных условий для оэ и иь Если поверхность текучести строго выпукла, то (ом — о11) е11 ) О, (оо — аз) з11 )~ 0 У причем равенство выполняется только тогда, когдаоя = о,1. Следовательно, условие (15.41) влечет за собою равенство напряжений Итак, в пластических областях распределение напряжений определяется единственным образом. Интеграл в уравнении (15.4.1),' Ю Ю распространяется на весь объем тела, в жесткой областием= ея, поэтому интеграл по жестким областям обращается в нуль автоматически. Но из этого следует, что распределение напряжений в жесткоа области неопределенно. Полным решением задачи теории идеальной пластичности называется такое решение, которое удовлетворяет уравнениям равновесия, условию пластичности в пластических областях, где напряжения и скорости деформирования связаны ассоциированным законом, и граничным условием, статическим и кинематическим.
При этом должно выполняться еще одно условие, относящееся к возможному распределению напряжений в жестких зонах. По доказанному в жесткой зоне может существовать любое напряженное состояние, удовлетворяющее условиям равновесия, гра» ничным условиям и условиям сопряжения с пластическими законами. Необходимо, чтобы напряженное состояние, возможное в жесткой зоне, удовлетворяло условию Е(ое) ~ О, т. е. было допустимым для жесткопластического тела.
При атом достаточно, чтобы можно было найти хотя бы одно точное распределение напряжений. В отношении распределения скоростей и конфигурации жестких зон полное решение не единственно, однако из теоремы о единственности распределения напряжений следует единственность предельной нагрузки, переводящей тело в пластическое состояние, если условие пластичности строго выпукло. Если поверхность текучести только не вогнута, то предельная нагрузка определяется неединственным образом; как правило, природа атой неединственности находит простое объяснение. 6 15.5.
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА 491 й 15.5. Экстремальные свойства предельных состояний текучести Две теоремы, приведенные ниже, позволяют получить ниж- нюю и верхнюю оценку для параметра нагружения 55. Эти тео- ремы были впервые сформулированы и доказаны Гвоэдевым в малодоступной публикации 1936 г.; они многократно переоткры- вались независимо разными авторами.
1. Теорема о нижней опенке несущей способности. Пусть ое, ее, и, — неизвестное нам истинное решение задачи о предельном состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных а сил Т,, оп — некоторое допустимое напряженное состояние, соот- ветствующее поверхностным силам Т5. Напомним, что для до- пустимого напряженного состояния выполняются уравнения раааа новесия и условие Р(оп((0. Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа как для истинного, так и для допустимого состояния, принимая за поле виртуальных скоростей истинное поле скоростей (заранее неизвестное), ) оязмйр = ) Тр йБ + ) Тр5с)Я г е зт ~ опзпй$' = ) Т;и;йБ + ~ Т5о5йБ (15.5.2) (15.5 1) Здесь Т5= азп — истинные поверхностные силы, соответствую- а а щие предельному состоянию тела, Т, = ояп; — поверхностные силы, соответствующие допустимому состоянию оп.
Вычитая (15.5.1) из (15.5.2), получим ) Т5о;ЮБ — ~ Т,и,с)Б = ) (оя — оп) змйр. эр эр Р Но вследствие (15.2.7) правая часть неотрицательна, поэтому ) Тр5ББ = ) Т'и5йБ (15 5 3) э эа Неравенство (15.5.3) служит для нижней оценки несущей способности. Если внешняя нагрузка сводится к одной обобщенной силе Ч, которой соответствует обобщенная скорость д, то ~ТраБ= Ю эа в неравенстве (15.5.3) неизвестная скорость д сокращается и получается оценка несущей способности е~о*. (15.5.4) Воавращаясь к той форме постановки задачи, которая была сфор- гл. ш.
идклльнля пластичность 492 мулирована в э 15.4, примем, что нагрузки заданы в виде рТэ», и статически допустимое состояние удовлетворяет статическим Ф граничным условиям опп; = »»~Т» на Б,. Тогда можно принять»» за обобщенную силу, а обобщенная скорость будет равна Т»и»ЙБ; неравенство (»5.5.4) принимает вид ет »»>»» ° Прибавим и вычтем в правой части этого равенства величину мощности пластического формоизменения, соответствующего кич е нематически допустимому полюс;, а именно, интеграл ото»»э»».
Получим ~ Т»и, йБ = ) о;,епйУ вЂ” ) (о»» — о»;) е»»аУ. Но второй член в правой части неотрицателен, поэтому ( Т»и;йБ( ( а„.е»»йУ. (15.5.5) Если по-прежнему внешняя нагрузка представляется одной обобщенной силой»,», то Д( —. ) о»»с,»аУ. ($5.5.6) Я* у Правая часть иавестна, если задано кинематически возможное поле скоростей. Немедленное следствие доказанной теоремы состоит в следую щем: расчет по допустимым напряжение» дает значения допустимой нагрузки не больше, чем расчет по предельному состоя нию.
Действительно, решая задачу теории упругости и требуя, чтобы предел текучести ни в одной точке не был превзойден, мы вводим в рассмотрение допустимое напряженное состояние в смысле, который был установлен выше. 2. Теорема о верхней оценке несущей способности. Пусть Ф Ф и», еп — произвольное кинематнческн допустимое поле скоростей и скоростей деформации, т. е. такое поле, которое удовлетворяет граничным условиям и» = и» на части поверхности Б,. По аадан- Ф е ным скоростям деформации ея определяются напряжения пп единственным образом, если поверхность напряжения строго вы- 'Э пукла. Напряжения о„вообще не удовлетворяют уравнениям равновесия.
Выпишем уравнения равновесия в форме Лагранжа, принимая и» за поле виртуальных скоростей ~ Т»и;йБ = ~ опеидУ. 8 г З 1$.2. ИЗОТРОПНОИ ТЕЛО 493 й 15.6. Условие пластичности для несжимаемого материала. Изотропное тело Опыт показывает, что пластическая деформация металлов не сопровождается заметным изменением объема, таким образом, скорость объемной деформации равна нулю еп — — егх+ е,з+ е,з — — О. Р Подставляя сюда выражения (15.2.3) для скоростей пластического течения, получим дГ дз' д12 — + — + — = О. дс11 дсзз дсзз Общий интеграл этого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка получается стандартным способом. Составляется система обыкновенных дифференциальных урав- нений да11 дсзз дсзз лап дс 1 1 3 1 (15.6Л) Перебирая три интегрируемые комбинации, найдем а„— а=с„аз — а=с., а„— а=с,.
Таким образом, функция Г зависит не от самих напряжений, Применяя оценки (15.5.4) и (15.5.6), можно получить интервал, в котором заключено истинное аначение предельной нагрузки ф. Если верхняя оценка и нижняя оценка совпадают, то мы получаем точное решение задачи о несущей способности, что следует иа доказанной выше теоремы единственности. Элементарные примеры применения статического и кинематнческого методов оценки несущей способности уже были приведены в гл. 5, далее будут рассмотрены примеры более сложные.
Нахождение кинематически возможных полей скоростей, которые не обязательно должны быть непрерывными, обычно не встречает трудностей; варьируя эти поля, находят нижнюю грань 1п10, определяемую формулой (15.5.6). Эта величина ш1Д может совпадать с точным решением, а может являться наилучшим приближением в определенном классе возможных кинематических схем пластического деформирования. Построение статически допустимых полей встречает ббльшие трудности, связанные главным образом с тем, что определенные в пластических областях поля напряжений должны допускать продолжение в жесткие аоны, притом такое, что условие пластичности нигде не превышается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
