Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 98
Текст из файла (страница 98)
гл. 1ь. идкьльнля пластичность 494 а от девиаторной составляющей тензора напряжений Р(ае — обе) = Р (ое) = О. (15.6.2) Шесть компонент девиатора симметричного тенэора не независимы, а связаны между собою условием Х, = оя — — О. Поэтому можно выбрать такой способ геометрического представления условия (15.6.2), при котором оно изображается поверхностью в пятимерном пространстве. Мы не будем вставать на этот путь, а сразу перейдем к случаю изотропного материала. В атом случае достаточно рассматривать условие пластичности, выраженное через главные напряжения Р (о„а„о,) = О.
(15.6.3) ДХн Еп, Х,п)=О. Если материал несжимаем, то от Е, условие пластичности по доказанному зависеть не может, и, следовательно, в нем могут фигурировать только второй и третий инварианты девиатора. Это условие допускает уже наглядную геометрическую интерпретацию в трехмерном пространстве главных напряжений. Учитывая условие несжимаемости, следует считать функцию текучести зависящей от компонент девиатора напряжений или же Ю от трех разностей главных напряжений о, — о„о, — о„а, — а„из которых независимы только две. Сохраняя снмметрию записи, мы будем принимать условие пластичности для несжимаемого материала в следующем виде: Р (а~ — оз оз — оз, аа — о,') = О. (15.6.4) Уравнение (15.6.4) представляет собою А уравнение цилиндра с осью, разнонаклоненной к трем координатным осям. Действительно, от изменения каждой Рлс.
15.6Л из координат о„о„о, на одну и ту же величину уравнение (15.6.4) не нарушается, а это изменение как раз и соответствует движению по образующей цилиндра. Очевидно теперь, что условие (15.6.4) нет необходимости изображать поверхностью в трехмерном пространстве, достаточно начертить контур основания цилиндра нли след пересечения его с октаэдрической плоскостью. Теперь мы подойдем к такому представлению с другой стороны. Для изотропного материала условие пластичности можно ваписывать очевидным образом, как соотношение между тремя инвариантами Э 1ЗЯ.
ИЗОТРОПНОН ТЕЛО 495 Следуя идее 1 7.7, будем представлять второй инвариант через посредство октаэдрического касательного напряжения, а участие третьего инварианта — через угол подобия девиатора. Теперь предельное состояние текучести будет изображаться контуром в эктаэдрической плоскости, уравнение которого в полярных координатах будет гг = гр(6). (15.6.5) На рис. 15.6А представлена октаэдрическая плоскость и проекции на нее главных осей, сплошные лучи соответству>от положительным полуосям, штриховые — отрицательным.
Если предел текучести при растяжении и сжатии одинаков, как это обычно бывает, и равен о„то на каждом из лучей отсекается отрезок чз= — о,=т,. Соединяя концы этих отрезков, мы получаем шестиугольник, соответствующий условию наибольшего касательного напряжения. Действительно, наибольшее касательное напря« жение равно полуразности наибольшего и наименьшего из главных напряжений; таким образом, если за критерий пластичности принять достижение наибольшим касательным напряжением предельного значения, в пространстве главных напряжений условие пластичности будет изображаться призмой с гранями о — ог = ~от ог ог = ~от ог — ог = ~от.
(15 6 6) Каждая из этих полскостей отсекает отрезок, равный от на одной из главных осей и — от на другой главной оси; проекции этих отрезков на октаэдрическую плоскость и равны как раз ~ — о„ "(/2 3 т. е. соответствуют отрезкам, соединяющим вершины шестиугольника с цилиндром.
Условие пластичности наибольшего касательного напряжения, выражаемое формулами (15.6.6), называется условием Треска— Сен-Венана. Очовидно, что из всех выпуклых контуров, проходящих через шесть точек АВ'СА'ВС', шестиугольник Треска— Сен-Венана будет внутренним. Внешний из семейства выпуклых контуров, проходящих через эти же точки, будет шестиугольник, стороны которого делятся в названных точках пополам. Соответствующее условие пластичности называется условием постоянства наибольшего приведенного напряжения и записывается в виде шести равенств, каждое из которых выполняется на одной из сторон шестиугольника, 2 2 2 а ~за" ог а ~ за*' о' а=~за' (15'67 Условие выпуклости поверхности текучести и несжимаемости материала накладывает, как видно, очень жесткие ограничения на вид возможных условий пластичности, которые представляются выпуклыми контурами, заключенными между двумя шести- РЛ. 1З.ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 496 угольниками.
Это значит, что если предел текучести при растяжении и сжатии одинаков, то влияние третьего инварианта на достижение пластического состояния относительно невелико. Теперь, пожалуй, наиболее простое и естественное предположение будет состоять в том, чтобы выбрать в качестве контура пластичности просто окружность тй — сопз$= 3 от 'й" 2 (15.6.8) (15.6 10) 01 = ~от1 Сй = ~от~ 0~ Сй = ~от. Эллипс Мизеса описывается следующим уравнением: й й й 0, + ой — 0гп =О,. (15.6.11) й 15.7. Условие пластичности для анизотропных тел Всякая анизотропия по существу представляет собою конструктивную анизотропию: она определяется строением материала, т. е. наличием тех или иных ориентированных структурных элементов. В теории упругости физическая анизотропия не отли- по отношению к которой шестиугольник Треска — Сен-Венана будет вписанным, а шестиугольник максимального приведенного напряжения описанным.
Условие пластичности (15.6.8) называется условием пластичности Мизеса. Возвращаясь к общему представлению тензора напряжений, мы можем переписать условие (15.6.8) следующим образом: 2 й Хы = оном = сопз1 = — 0,. 3 (15.6.9) В пятимерном пространстве девиаторов зто — уравнение гиперсферы; таким образом, в этом пространстве поверхность текучей сти строго выпукла. В пространстве напРЯжений Се, так же как в пРостранстве главных напряжений аь поверхность текучести представляет собою цилиндр, она только не вогнута. В случае плоского напряженного состояния, когда одно из главных напряжений, скажем 0„ равно нулю, естественно вести рассмотрение не в октаэдрической плоскости, а в плоскости 0, = О.
На рис. 15.6.2 представлен шестиугольник, получающийся в пересечении атой плосРис. 15.6.2 кости с призмой Треска — Сен-Вена- на и описанный вокруг него эллипс Мизеса. В первом случае выполняется одно из следующих условий: 5 15.т. АнизотРОпные телА 497 чима от конструктивной анизотропии, если вообще противопоставление этих терминов имеет какой-то смысл. Вероятно, можно считать, что физическая анизотропия это та же конструктивная, но иа атомном уровне.
Так или иначе, если мы имеем в распоряжении коробку в виде куба, например, и внутри этой коробки находится сколь угодно сложное нагромождение упругих элементов, связанных механическими устройствами без трения, то в самом общем случае связь между силами, прикладываемыми к граням куба, и его деформациями описывается в линейной области через посредство 21 константы, никакой эксперимент не позволяет нам судить о том, что именно содержится внутри коробки. Если элементы, заключенные в коробку, могут переходить в пластическое состояние, то пластическое поведение рассматриваемого куба может быть очень различным в зависимости от того, какова внутренняя структура коробки. Многие авторы строили теорию пластичности анизотропного материала, отправляясь от квадратичного условия пластичности, представляющего собою обобщение (15.6.9), а именно, А1151о1;оы=сопз1, А;151опаа1 = сопз1. (15.7А) Существуют формулировки условия анизотропной пластичности в виде кусочно линейных соотношений типа теории Треска— Сен-Венана или теории наибольшего приведенного напряжения.
Здесь, однако, будет использован другой подход, который кажется более реалистичным для конструктивно-анизотропных элементов, например, пластин и оболочек, подкрепленных ребрами, а также для композитных материалов, армированных непрерывным волокном. Чтобы разъяснить основную идею, вернемся к той форме рассуждений, которая была проведена в $ 5.7, 5.8 применительно к стержневой системе; пусть будут д1 — обобщенные скорости деформации некоторых элементов, ф — соответствующие обобщенные силы. Представим себе теперь, что две системы, которые будут соответственно отмечаться индексами 1 и 2, соединены между собою так, что некоторые элементы их деформируются одинаково, будучи связаны между собой. Тогда д1~'~ = 4'~ = Д».
С другой стороны, суммарные усилия Ч1 —— ()(Ы+ 4Ю. Условия текучести для системы 1 и 2 записываются соответственно следующим образом: гг(01 ) = 1о~. т'в (01 ) = йз (15 7.2) Когда система переходит в пластическое состояние, оба условия (15.7.2) выполняются одновременно. В соответствии с ассоцииро- 32 Ю, И. Расотвов ГЛ. 15, ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 498 ванным законом течения ° „, ° 1„дР, дР, У,=Д) =Д, =Л,— =Л, жФ дЕ$" ' Отсюда следует пропорциональность частных производных от функций Р, и Р, в состоянии текучести дР дРз П ) д ч 1 г ) 1 1 Примем теперь 4') =()1 — К').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
