Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 102
Текст из файла (страница 102)
гк идклльнля пллстичность 514 прерывность всех компонент напряжения. Теперь из первого уравнения получаем р+ — р- = ~2я гйп 2(~р — а). (15.11.1) Знак плюс или минус в уравнении (15.11.1) выбирается по смыслу. Возвращаясь к задаче об остроугольном клине с углом раствора 2(= и — б, принимаем прямую ОС за ось х~, тогда а=О. Так же, как в задаче Прандтля р+=й — д, р = — й, угол <р+, который составляет идущая слева характеристика с горизонталью <р+ = и/4 — (.
Подставляя в (15.11.1), находим 2й — д = <-2й соз 2т. Для характеристик, изображенных на рис. 15.11.1, в ахом соотношении следует выбрать знак плюс, и мы найдем предельную нагрузку следующим образом: д = 2й(1 — соз 2() . (15,11.2) Выбор знака в данном случае подчинен условию того, что при (, стремящемся к нулю, предельная нагрузка должна также стремиться к нулю. Из условия пластичности (15.9.2), которое можно переписать так: (а, — о,)'+ 4т'„= 4кз, следует о, =- а„ ~ ))/Й' — т', (15.11.3) а поскольку а„и т„непрерывны, разрыв напряжения а, может происходить только за счет изменения знака перед радикалом. На характеристике т = й и радикал обращается в нуль.
Отсюда вытекает фундаментальный результат, а именно; характеристики или линии скольжения не могут служить линиями разрыва для напряжений. С другой стороны, тангенциальпая составляющая скорости может претерпевать разрыв только вдоль характеристики. Это ясно из процедуры построения полн скоростей по характеристикам, отправляясь от линии АВ, на которой скорости заданы. Очевидно, что если распределение скоростей на границе имеет разрыв, претерпевать разрыв может только абсолютная величина скорости, по не ее направление, в противном случае произошло бы нарушение сплошностп тела.
Характеристика, выходящая из точки разрыва граничных условий, будет нести разрыв тангенциальной составляющей скорости. Таким образом, тангепциальная составляющая скорости течения может претерпевать разрыв только на характеристике илп на особой линии, служащей огибающей семейства характеристик. 5 15.1э.эАДАчА О плоской ДеФОРмАЦии 515 Возвращаясь к примеру остроугольного клина, обратимся к $ 3.6, где было дано элементарпое рассмотрение задачи об изгибе стержня из упруго-идеально-пластического материала.
На рис. 3.5.1 представлены зпюры напряжений в сечении. По мере роста изгибающего момента пластические зоны охватывают все большую часть сечения, упругая область суживается, и в пределе, когда М- ХХ„упругая область обращается з плоскость (на чертеже в линию), отделяющую растянутую область от сжатой. Таким образом, линия разрыва напряжений может рассматриваться как предельная конфигурация упрутой области, если рассматривать полностью пластическое состояние тела как предельное состояние для тела упругопластического. Но в приведенном выше изложении теории предельного равновесия подобного рода соображения могут иметь лишь наводящий характер. й 15Л2.
Применение экстремальных принципов к задаче о плоской деформации Экстремальные принципы теории идеальной пластичности, изложенные в 3 15.5, позволяют весьма просто получить верхние оценки для несущей способности. Обычньш способ получения таких оценок заключается в том, что предполагаемая пластическая область разрезается на жесткие блоки, которые могут скользить друг относительно друга, преодолевая силу трения т = й.
Одна из возможных схем приближенного решения задачи а' 1 г,асма Ряс. 15.12.1 о вдавливании штампа представлена на рпс. 15.12Л. Блоки обоаначены большими латинскими буквами, вдавливающийся штамп обозначен буквой А, оставшаяся жесткоп часть массива — буквой О. Рядом построена диаграмма относительных скоростей; на этой диаграмме точки соответствуют блокам, отрезок СП, например, представляет относительную скорость скольжения блока С относительно Р. Из соображений симметрии диаграмма построена только для одной половины пластической области. Элементарный подход, получающийся в результате сложения произведений длин границ на их относительные скорости и при- 33» ГЛ.!5.ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 516 равнивання этого произведения мощности внешних сил, приводит к следующей оценке для предельной нагрузки: (15.12.1) '(51п а сое а " / При а = 30, получаем д < 5,77/г, что превышает точное значение (1520.2) на 12%.
Минимизируя оценку по углу, можно ее немного уменыпить (на 25/5). Для задачи о тупом клине, нагруженном на одной из сторон (рис. 15.10.6), кинематически возможная схема состоит в том, что часть материала просто соскальзывает по плоскости, наклонной Рве. 15.12.2 к горизонту под углом р (рпс. 15.12.2). Будем считать, что сползает часть угла, занимающая отрезок, равный единице, и вертикальная скорость тоже равна единице.
Из нарисованной справа диаграммы скоростей находим, что скорость скольжения есть 1/51п р, длина, по которой происходит скольжение, найдется по 51П Т теореме синусов, опа равна . ( . Поэтому 51П (Т вЂ” Р) д(й . 51П Р 51п(у — р) Как нетрудно убедиться, минимум этого выражения достигается при р = 7/2, таким образом, 51П Т (15.12.2) еше (т)2) Знак равенства получается тогда, когда 7 = я/2, н схема соскальзывания под углом я/4 соответствует точному решению. Следующий пример относится к протяжке полосы. Половина толщины ее до протяжки равнялась единице, после протяжки Й.
Простейшая кинематическая схема представлена на рис. 15.12.3, положение точки Р выбирается так, чтобы получилась минимальная верхняя оценка для натяжения р. Положение точки Е будем задавать расстоянием ее т до границы ЕС. 5 15.12. 3АДАчА О плОскОЙ ДБФОРмАЦии 517 Диаграмма скоростей представлена на том же рисунке. Из элементарной геометрии следует: г / 1 2 сов сс УА — — + 1, 1/ т' т / 1 2 сов сс 1 Увс = ~/ — — +— тв вс Лв При атом принято, что лист поступает в матрицу со скоростью, равной единице, и выходит со скоростью 1/Ь. Вычисляя длины отрезков ЕЕ и г"С и составляя выражение мощности, развиваемой при взаимном скольжении блоков, получим /1 — = — ( — + — ) — 2 с1я сс. р 1+А /1 т1 2в 2в!асс( т А ) Полученное выражение достигает минимума, когда т = = 1Ь, и, следовательно, — 2 сгя а.
(15 12.3) На рис. 15.12.4 представлены графики зависимости величины р/(2Ь) от степени редукции Ь. Очевидно, что решение имеет смысл тогда, Рис. 15.12.3 когда р ( 2Ь. На рисунке приведены только те части получающихся при расчете по уравнению (15.12.3) кривых, которые удовлетворяют этому условию. Если угол сс невелик, а степень редукции значительна, то меньшая оценка для усилия р получится, если принять более сложную схему разбивки пластической области на блоки, а именно ту, которая показана на рис.
15.12.5. Часть кривой для а = 30' справа от точки излома рассчитана именно по атой схеме (Калладайп). Для нахождения нижних оценок несущей способности необходимо строить статически допустимое поле напряжений. Эта задача, как правило, оказывается более сложной, чем задача построения кинематически возможного поля. Действительно, строя кинематнчески возможное поле скоростей, мы можем выбрать границу с жесткой областью по произволу и совершенно не должны заботиться о том, может ли зта область на самом деле оставаться жесткой, тогда как статически возможное состояние должно распространяться на всю область, занятую телом.
Один простой способ построения статически возможных полей напряжений мы покажем. Заметим прежде всего, что статически воз- ГЛ. 15. ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ можное напряженное состояние изображается кругом Мора с радиусом, меньшим или равным пластической постоянной й. Если линия, нормаль к которой есть и, служит линией разрыва напряжений, на этой линии непрерывны о и т, тогда как о, претерпевает разрыв в соответствии с формулой 155Л4.3).
Точка с координатами о„и т„оказывается, таким образом, общей для кругов Мора, изображающих напряженное состояние по две стороны линии разрыва. Для определенности рассмотрим опять задачу о штампе. Под штампом возникает состояние двухстороннего сжатия, которое изображается кругом Мора 1 (рис. 15Л2.6). Ю 55 ((и дз дз дзз (1-В Рис. 15.12.4 Рис. 1522.5 Точка и' соответствует сжатию от приложенной нагрузки д, так что абсцисса ее есть — д. Круг ХХ! изображает состояние сжатия в области, находящейся под свободной поверхностью, главные оси тензора напряжений направлены по вертикали и по горизонтали, вертикальное напряжение равно нулю, поэтому круг Рис. 15.12.6 Мора проходит через начало координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
