Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Состояние внутри угла, стороны которого составляют угол ~~р с вертикалью, проходящей через граничную точку погруженного участка, изображается малым кругом Мора П. Точки т и п пересечения круга П с кругами Х и ПХ определяют разрывы напряженного состояния. $ ЮЛЗ. ЗАДАЧА О ПЛОСКОЙ ДКФОРМАЦИИ 5тй Вспоминая правило, согласно которому углам в физической плоскости соответствуют удвоенные дуги кругов Мора, проходимые в противоположном направлении, заметим, что углу я/2 — ф между прямыми С и вЕ в области Ш соответствует дуга Ст круга 1П, измеряемая углом и — 2ф. Аналогичным образом, дуга Рп на круге 1 измеряется также центральным углом я — 2ф. Точки т и и круга 11 соответствуют прямым, угол между которыми равен 2ф, поэтому центральный угол, определяющий дугу тп, равен 4ф.
Отсюда следует, что радиусы круга 1 и круга 11, проходящие через точку и, пересекаются в этой точке под прямым углом, это же относится к радиусам кругов 11 и 1П, проходящим через точку п. Таким образом, если положение точки Р задано, Рис. 15.12.8 Рис. 1512.7 радиус круга П этим определен. Самое дальнее положение точки Р, т. е. самое большое значение нагрузки д получается в том случае, когда в клиновидной области П также осуществляется пластическое состояние, т. е. радиус круга П равен й. Этот случай изображен на рис. 15.12.7; для величины д получается следующая оценка: д ) й(2+ 212) = 4,83й. (15Л2.4) Идя далее по этому же пути, мы можем провести из граничной точки загруженного участка несколько лучей и ввести в рассмотрение соответственно несколько клиновидных зон. В результате оценка для д будет увеличиваться, а в пределе мы получим центрированный пучок характеристик, соответствующий точному решению. Проведенный анализ относился к упрощенной задаче, когда нагрузка простирается вправо бесконечно далеко.
Но полученная оценка (15.12.4) будет справедлива и для штампа конечной ширины. Действительно„обращаясь к рис. 15.12.8, мы убеждаемся, что на границе между областями П и ЕУ выполняются те же условия, что и на границе областей Е1 и П1, например. Поэтому в области 1Ъ' возникает напряженное состояние, изображаемое кругом Мора 111 на рис. 15.12.6. ГЛ.
15. ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 520 й 15.13. Полярно-симметричное пластическое напряженное состоянии Коли часть границы плоского тела образована дугой окружности радиусом а и действующая нагрузка направлена по нормали к этой дуге, т. е. по радиусу окружности, поле напряжений мы получим, предположив его полярно-симметричным с полюсом в центре окружности. Напишем уравнение равновесия в полярных координатах, предполагая, что о, и о,— главные напряжения: за„о, — о †" + ' ~ = О.
Юг Г Условие пластичности имеет вид а, — а, = ~2Й. Выбирая для определенности знак плюс, получим '~'~г 22ь ~~г г Отсюда о„=- — д+ 2Ь1п — ', оч — — — д+ 2й(1+ 1п — ). (1513.1) Здесь через д обозначено нормальное давление, приложенное на границе: таким образом, использовано граничное условие о„(а)= =-д. Траектории главных нэпрюкений — это лучи и концентрические окружности, поэтому траектории главных касательных напряжений образуют с радиусом углы ~-я/4 в каждой точке, т.
е. представляют собою логарифмические спирали. Простейшая задача, которую можно решить с помощью формул (15.13.1),— это задача о предельном равновесии трубы, находящейся под действием внутреннего давления. Обозначим через а внутренний радиус, через Ь наружный радиус трубы. Полагая в первой из формул (15 13.1) о,(Ь) = О, находим д = 2й 1п —. ь з Что касается поля скоростей в данном случае, оно находится элементарно, без применения метода характеристик. Поскольку поле скоростей тоже полярно-симметрично, оно задается при помощи одной только радиальной компоненты скорости ш Скорости в радиальном и осевом направлениях будут соответственно Лл е„= — еч = —. Мы не приводим вывода этих формул, отсылая читателя к э 8.12, где аналогичные выражения были получены не для скоростей деформации, а для деформаций.
Поскольку скорость деформации в осевом направлении е. =О, а материал несжимаем, мы полу- 1 15лз. пОляРнО-симметРичнОе состояние 521 чаем для функции и(г) следующее дифференциальное уравнение: сс у е„+е = — + — =О. ег Отсюда следует (15.13.2) и = — Х сопз1. Г Формулы (15.13.1) применимы и тогда, когда имеется незагруженный участок границы, образованный дугой окружности; в атом случае нужно положить д = О.
Решение будет определяться единственным образом в криволинейном треугольнике, образованном граничной дугой и выходящими из ее концов логарифмическими спиралями. Конечно, это верно лишь тогда, когда мы Рнс. 15.132 Рнс. 1533,3 Рнс. 15.13.1 на самом деле уверены в том, что материал в области, примыкающей к круговой границе, находится в пластическом состоянии. В качестве примера рассмотрим задачу о растяжении полосы с симметричными круглыми вырезами (рис. 15.13.1). Из уравнения логарифмической спирали г=аехрр следует, что крайние характеристики встретятся на оси симметрии полосы тогда, когда точки выхода этих характеристик будут определяться углами ~(, причем у =- 1п(1+ — ). В сечении рд распределение напряжений дается второй из формул (15.13.1), а именно: и,р — — 2я(1+ 1п — ).
с Интегрируя в пределах от г = а до г = а + Ь и удваивая результат, ГЛ. ПЬ ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ 522 получим (15.13.3) Здесь 4кй — несущая способность гладкой полосы, ширина которой равна минимальной ширине надрезанной полосы. Выражение, стоящее в правой части формулы (15.13.3), всегда больше единицы, оно называется коэффициентом поддержки. При любом виде надреза несущая способность полосы с концентратором будет больше, чем несущая способность полосы с той же минимальной шириной. Это следует нз статического экстремального принципа.
Если предположить, что в заштрихованной на рис. 15.13.2 полосе растягивающее напряжение равно пределу текучести, а в остальной части полосы напряжения равны нулю, мы получим некоторое статически возможное напряженное состояние; соответствующая нагрузка будет служить оценкой для предельной нагрузки с н и з у. Что касается поля скоростей для полосы с двумя круговыми вырезами, расчет его оказывается далеко не элементарным.
Разделенные пластической зоной части полосы движутся поступательно вдоль оси, удаляясь одна от другой с относительной скоростью У; на граничных характеристиках нормальная составляющая скорости задана и выполнены условия (15.8.16). Эти данные позволяют илн строить поле скоростей численно, или же решать задачу аналитически по методу Римана, представляя результат в виде некоторых интегралов, содержащих функции Бесселя. Что касается полноты построения решения, этот вопрос остается открытым. Возможность построения поля скоростей доказывает лишь кннематическую допустимость решения, следовательно, формула (15.3.3) дает наверняка верхнюю оценку.
Но могут существовать и другие кинематически воаможные схемы, например скольжение по прямой тл, показанной на рис. 15.13.1 штриховой линией, которые дадут для Р оценку более низкую, чем оценка (15ЛЗ.З). Рассмотрим теперь полосу, ослабленную круглым отверстием (рис. 15ЛЗ.З). Можно н здесь строить полн характеристик из логарифмических спиралей от контура отверстия до выхода на боковую сторону. Но треугольники, образованные прямолинейными характеристиками, выходящими с боковой стороны, соответствуют равномерному полю растягивающих напряжений. Полученная оценка несущей способности Р = 2к(2й — 2а) будет точной, так как статически возможное поле, построенное по тому же принципу на рис.
15Л3.2, дает точно ту же величину предельной нагрузки. 1 1534. плоское нАпРяженнОБ сОстОяние 4 15Л4. Плоское напряженное состояние В случае плоского напряженного состояния условия пластичности Мизеса и Треска — Сен-Венана приводят к разным результатам. Рассмотрим сначала условие Мизеса. Для плоского напряженного состояния оно принимает вид а,' + о' ,— отоз = 3/Р.
Мы удовлетворим этому уравнению тождественно, если примем О, = 2)5 сов(в — — ~1, О, = 2/ссоз(в+ — ). (15Л4.1) 3/' Отсюда следует р=/513созв, т=яз)пв. Для подстановки в формулу (15.8.7), определяющую наклон характеристик, вычислим производную лт 1 т' =- — = — =С1ив. пР )/3 После подстановки в (15.8.7), получаем )/3 з1п2'3з1п в+ У3 — 4 сов в (15 14 2) )/3 соз 2$ з1п в — соз в Для того чтобы характеристики были действительны, должно быть соз'в (3/4. Формулы (15.14Л) представляют собою параметрическое уравнение эллипса в координатах о„ о,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
