Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Если число обобщенных сил есть и, система (15.7.2) и (15.7.3) состоит из и+ 2 уравнений, исключая из них и+1 величину )',)11 и р, получим условие пла- 1Ы стичности для составной системы Р(р) )г (15.7.4) Геометрическая интерпретация етого результата чрезвычайно проста. В пространстве сил ф строится поверхность Р)Я1 ) / 11)\ = й~), поверхность Р';" ф,) = Р, (ф — ф)) =- й~ ~(15.7.5) представляет собой поверхность текучести ~г1 (Ч) =-кз, перег' песенную параллельно себе так, чтобы центр ее оказался на первой поверхности.
Такое построение можно выполнить для любой точки первой поверхности, уравнение (15.7.4) представляет собою уравнение огибающей семейства поверхностей. Очевидно, Рис. 15.7.1 Рис. 15.7.2 что поверхности Р, =Й) и Рг = Й, можно поменять местами, т. е. г г в качестве поверхности текучести можно принять огибающую поверхностей Р)(()1 — 4')) = Й,', зта огибающая будет та же, что ив первом случае.
Приведем некоторые простейшие примеры. 1. Пластина из иготропного материала, подчиняющегося условию пластичности Мизеса, усилена ортогональной решеткой. Усилия приложены вдоль стержней решетки. Условие пластичности решетки в плоскости о„о, изобразится прямоугольником; теку- $ |к7, Анизотгопнъ|е телА 499 честь решетки наступает тогда, когда усилия в той или другой системе ортогональных стержней достигают предела текучести. Этот прямоугольник изображен на рис. 15.7.1, а. На рис. 15.7.1, б представлен эллипс Мизеса для пластины, уравнение которой дается формулой (15.611). Поместим центр эллипса Мизеса в точку контура прямоугольника и будем его двигать, обходя контур.
В результате получим фигуру, изображенную на в,>! рис. 15.7.2, контур ее состоит из четырех прямолинейных отрезков, соединенных дугами эллипса. Здесь мы предположили, что оси с, и и, являются главными осями, поэтому все построение ведется на плосе г| кости. Предположим теперь, что оси с, и о, не главные, так что заданы напряжения с„, с>м ось Решетка не может выдерживать каких бы то ни было касательных напряжений, поэтому поверхность текучести для решетки в трехмерном пространстве с>о ось с„останется прямоугольником в плоскости с„=О. Условие пластичности Мизеса аапишется те- перь следующим образом: п|з + ом — сын + 30» = о (15.7.6) Рис.
15.7.3 При фиксированном угле |р, в пространстве а>о см, с„изображающая точка пробегает отрезок, вообще говоря, наклонный по отношению ко всем трем осям (рис. 15.7.5).Величина и ограничена условием достижения текучести в стержнях при растя>кении или сжатии. Для простоты можно считать эти пределы 32» Это — уравнение зллипсоида. Двигая эллипсоид параллельно себе так, чтобы центр его оставался на площади прямоугольника, мы получим поверхность, изображенную на рис. 15.7.3 и напоминающую диванную подушку, она состоит из двух плоских граней, четырех участков поверхности эллиптического цилиндра и частей поверхности эллипсоида по углам.
2. Треугольная стержневая решетка. Напряженное состояние а>о с>н с„может быть осуществлено в системе, состоящей из одной системы стержней, составляющих угол |р„с осью по тогда и только тогда, когда это напряженное состояние представляет собою простое растяжение или сжатие в направлении стержней. На рис. 15.7.4 представлен соответствующий круг Мора. Обозначая растягнвающее напряжение через с и откладывая угол 2|р, в обратном направлении, найдем из рисунка 1 1 и„= — и (1+ соз 2|р,), и„= — и (1 — сов 2|р|), (15.7.7) и = — — пзш2|р .
ГЛ. !5. ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ одинаковыми, хотя зто совсем не обязательно. Если имеется вторая система стержней, ориентированная под другим углом ~р„ то допустимые напряженные состояния будут изображаться точками другого отрезка, также симметричного относительно начала координат. Перемещая второй отрезок параллельно самому себе так, чтобы середина его все время находилась на первом отрезке, Рис. 15.7.4 Рис. 15.7.5 мы получим параллелограмм, подобно тому как в примере 1 для ортогональной системы стержней предельная поверхность вырождалась в прямоугольник. Наконец, добавим третью систему стержней, ориентированную под углом ~р,. Соответствующий отрезок перемещается по площади параллелограмма, очерчивая грани параллелепипеда.
В результате получается параллелепипед, внутренность которого соответствует допустимым состояниям, а граница — предельным состояниям, когда одна из систем стержней переходит в состояние текучести. Добавляя еще системы стержней, будем 'получать последовательно многогранные поверхности текучести; при атом не играет никакой роли то обстоятельство, что тройная система статически определима, а система стержней четырех и более направлений статически неопределима .
Приведенные примеры показывают, что при решении задач предельного равновесия применение условий типа ( 15.7.1 ) не может считаться более оправданным, чем всякого рода кусочно линейные аппроксимации, широко распространенные в литературе. й 1 5.8. Плоская задача теории пластичности Под термином «плоские задачи» мы будем понимать такие, которые вводят в рассмотрение только три компоненты тензора напряжений с з и соответственно три компоненты тензора скоростей деформации е з и две компоненты вектора скорости и,.
Это не означает, что поле напряжений или поле скоростей на $ МЬЭ. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ 501 самом деле представляют собою плоские поля; просто оставшиеся компоненты, если они отличны от нуля, не вводятся в рассмотрение. В случае необходимости их, как правило, можно найти после того, как задача уже решена. Условие пластичности может быть выражено в виде соотношения между главными напряжениями о, и О, в плоскости х . Третье напряжение с, предполагается либо вообще не входящим в условие пластичности, либо исключенным тем или иным способом (при принятой системе обозначений условие О,)О,)а„вообще говоря, не выполняется).
Вместо О, и а, нам будет удобно ввести в рассмотрение величины ! ! Р = 2 (О! + Оэ), Т = 2(О! — Оэ), С помощью обозначений (15.81) любое условие пластичности для изотропного материала может быть записано в виде т = т(р). (15.8.2) Обозначая через !)! угол между первым главным направлением и осью хо выразим компоненты тензора а, через р, т и !Р, например, с помощью построения круга Мора следующим образом: а„=р+тсоэ2!Р, см=р — тсоз2!р, с„=тэ(п2!)ь (15.8.3) Поскольку т есть функция от р согласно (15.8.2), компоненты тенаора напряжений выражаются всего через две величины: р и ф Подставляя в уравнения равновесия выражения (15.8.3), получим (1+ т' соэ 2!р) рв — 2т эш 2!)Р)!э + т'рэ зш 2!)! + 2Т соз 2~ф, = О, (1 — т' соз 2!р) р, + 2Т зш 2!р!)!э + т'р, эш 2!р+ 2Т соэ 2!р!р ! — — О.
(15.8.41 Здесь т' = Ит!'Ор. Для интегрирования кваэилинейной системы (15.8.4) применим метод характеристик, заключающийся в следующем. Присоединим к уравнениям (15.8.4) следующие очевидные тождества: рэ !)х, + р, Нх, = др, !)!э Их! + !)!э г)х, = Нф (15.8.5)' Тождества (15.8.5) вместе с уравнениями (15.8.4) представляют собою систему четырех линейных уравнений для четырех неизвестных: р,!, рач !Ко !)!я. Решение этой системы для р„например, может быть представлено следующим образом: Р,1 Рг= ' ° й (15.8.6) Здесь П вЂ” определитель системы, Р, ! — тот же определитель, в котором столбец, содержащий коэффициенты при р „заменен столбцом из правых частей.
Определитель Р содержит дифференциалы !1т! и Ыхм следовательно, зависит от выбранного в плос- 502 ГЛ. Пь ИДЕАЛЬНАЯ ПЛАСТИЧНОСТЬ кости х„направления. Может случиться, что для некоторого направления, составляющего угол ф с осью х„так что 18ф= =5(х,/Ых„знаменатель в формуле (15.8.6) обращается в нуль. Это направление называется характеристическим направлением, а линии, пересекающие ось х, под углом ф, характеристиками. Для того чтобы соотношение (15.8.6) имело смысл, необходимо, чтобы числитель также обращался в нуль для того же направления. Но определитель Ри, содержит дифференциалы др и 5(ф, следовательно, уравнение Р„, = 0 представляет собою соотношение между др и Ыф, выполняющееся вдоль характеристики. Иногда это соотношение оказывается возможным проинтегрировать, и мы получаем в замкнутом виде интеграл вдоль характеристики.
Итак, положим Р = О. Опуская элементарные выкладки, связанные с раскрытием определителя четвертого порядка, придем после упрощений к следующему дифференциальному уравнению характеристик: дхг(соз2ф+ т') + 251х,5(хзз1П2ф+ (сов 2ф — т') 5(х, '= О. Отсюда 51п2ф+ 'г'1 — т~ 57З СО5 2т+ т' (15.8.7) Из формулы (15.8.7) следует, что при ~т'~ (1 существует два семейства характеристик, соответствующих знакам плюс и минус в формуле (15.8.7).
В этом случае система (15.8.4) называется гиперболической. Если |т'~ ) 1, то формула (15.8.7) определяет мнимые направления, и система (15.8.4) называется эллиптической. Метод характеристик, т. е. отыскание соотношений вдоль характеристик из условия Ри, =О, для эллиптической системы не приводит к цели. Наконец, промежуточный случай, когда ~т') = 1 и оба семейства характеристик сливаются, соответствует параболической системе исходных дифференциальных уравнений. В зависимости от вида условия пластичности в теории пластичности встречаются все три случая; при атом гиперболическая задача оказывается наиболее простой, для нее разработаны эффективные методы решения.
Дальнейшее изложение будет ограничено почти исключительно случаем гиперболичности уравнений пластичности. Будем называть семейство характеристик, соответствующее знаку минус в формуле (15.8.7), характеристиками $, а соответствующее знаку плюс — характеристиками ц, понимая под этим то, что можно выбрать параметры з и ц, определяющие положение точки по отношению к системе криволинейных координат, образованных характеристическими линиями. Фактический выбор этих координатных параметров в каждом случае определяется соображениями удобства, соответствующие примеры будут 1 15.8. плОскАя 3АдАчА теОРии плАстичности 503 рассмотрены ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
