Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 96
Текст из файла (страница 96)
е. откладывать компоненту зз этого вектора по той же координатной оси, по которой откладывается соответствующая компонента оо, и напряженное состояние изображается точкой М поверхности текучести, то вектор скорости пластической деформации направлен по нормали к поверхности в точке М. Если поверхность текучести строго выпукла, то задание компонент згп определяет точку М, а следовательно,и напряженное состояние, единственным образом.
В вышеприведенных рассуждениях мы применяли векторный язык, ведя разговор о тензорах. Для простоты и краткости в дальнейшем мы будем часто пользоваться и векторной символикой, обозначая через и напряженное состояние, а через е— распределение скоростей деформаций. Однако нужно помнить, что любые векторные операции для векторов и и е совершенно незаконны, их нельзя, например, преобразовывать к другим осям координат, формулы преобразования компонент тензора и вектора различны. Друкер положил в основу построения теории пластичности следующий постулат.
Пусть пз — некоторое допустимое напрязг* Гл. !а идеАльнАя плАстичность 484 женное состояние в указанном выше смысле, о — истинное напряженлое состояние. Назовем о — ое дополнительным напряжением. Постулат Друкера утверждает, что работа дополнительн5- го напряжения на замкнутом цикле по напряжениям неотрицательна ф (о — о*) !Те ) О. (55.2.6) Интегрирование ведется в пространстве напряжений по пути, выходящему из точки ое и возвращающемуся в эту же точку. Заметим прежде всего, что для упругопластического тела !2е = 52е'+ 52ез, где е' — упругая деформация, е" — пластическая деформация.
Соответственный интеграл разобьется на дзе части. Заметим также, что ф (о — о*) !5е' = ф о де' — о* ф 55е' = О. Действительно, первый интеграл в правой части представляет собою работу упругой деформации на замкнутом пути, равну! ! Рис. $5.2.2 Рис. $5.2Л нулю, второй же интеграл обращается в нуль потому, что упругая деформация однозначно определяется действующим напряжением. Итак, должно быть ф (о — о*) !атее Ъ О. Рассмотрим путь, изображенный на рис. 55.2 5. На участке МУ пластическая деформация не происходит, на участке МР напряжение получает приращение 55о, отрезок 55'Р принадлежит поверхности и' = О, пластическая деформация получает приращение 55е~ Работа дополнительного напряжения есть (о — ое) 5!а~.
485 д ~~. диссипатнвная Фгнкпия На участке РМ происходит разгрузка, значит, соответствующая часть интеграла опять равна нулю, пластическая деформация при разгрузке не меняется. Итак,из (15.2.6) следует (и — и*) Не» «О. (15.2.7) Соотношение (15.2.7) совершенно тождественно с соотношением (15.2.2), только оно записано в векторной форме, во-первых, и не в скоростях, а в приращениях пластической деформации, вовторых. Ассоциированный закон течения также следует из постулата Друкера. Для доказательства выберем точку М на самой поверхности текучести по одну и по другую сторону от точки Й (точки М' и М" на рис. 15.2.2).
Теперь должно быть (о — и*') ое» ' » О, (о — о*") Ые» ) О. Беря точки М' и М" сколь угодно близко к точке У, убеждаемся, что одновременное выполнение выписанных неравенств возможно лишь тогда, когда вектор де~ направлен по нормали к поверхности текучести, т.
е. Ые» = Ю вЂ”. доц Заметим, что для жесткопластической модели все оговорки, связанные с выделением пластической части деформации, не ну»кны, а индексы «р» и «е» при е и е излишни. $15.3. Диссипативная функция Поскольку напряжения определяются через скорости деформации либо единственным образом в случае строго выпуклой поверхности текучести, либо с известной степенью произвола, диссипативная функция (15.2.1) может быть выражена через скорости пластической деформации В =В(е«). (15.3.1)' Будем считать, что рассматриваемое тело жестко-пластическое, значит, ео — скорости пластической деформации.
Продифференцируем (15.3.1) . Получим дВ зцг(оц + ецпец = д пзц ц Но вследствие ассоциированного закона течения ецсЬц = Л вЂ” йгц =-ЛИГ = О, дР доц гл. ~к идкьльная пластичность поскольку выполняется условие идеальной пластичности. Итак, дВ (15.3.2) Соотношения (15.3.2) взаимны по отношению к ассоциированному закону течения (15.2.3), однако они уже не содержат неопределенного множителя, напряжения ое определяются единственным образом, если Р— строго выпуклая функция от скоростей.
Но функция диссипации сама определена с точностью до произвольного множителя Х, что ясно из структуры выражения (15.2.1). Для того чтобы формула (15.3.2) давала определенные величины о„при неопределенном с точностью до множителя задании скоростей деформации, необходимо, чтобы Р была однородной функцией первой степени от ее, тогда производные дР(дь,, будут однородными функциями нулевой степени, т. е. будут зависеть лишь от отношений скоростей.
Действительно, подставляя (15.3.2) в (15.2 1), находим дВ Р = — е" оь де, а отсюда по теореме Эйлера об однородных функциях и следует необходимый результат. Заметим, что если дР/дее представляют собою однородные функции нулевой степени от ее, они зависят уже не от шести независимых аргументов, а только от пяти, например от отношения каждой из компонент ео к любой, произвольно выбранной из них. Итак, формулы (15.3.2) выражают шесть величин оо через пять независимых аргументов. Отсюда следует, что между ними существует тождественное соотношение.
Это тождественное соотношение и есть условие пластичности. Уравнение Р(ее)=сопз$ определяет поверхность постоянной диссипации в пространстве скоростей деформации зо. Соотношения (15.3.2) показывают, что вектор напряжения а направлен по нормали к поверхности диссипации; зтот результат представляет собою прямую параллель с ассоциированным законом течения, или, скорее, его перефразировку. Некоторая кажущаяся разница состоит в том, что поверхность г' = 0 в пространстве напряжений фиксирована, тогда как поверхность постоянной мощности диссипации может быть выбрана по произволу. Чтобы нормировать зти поверхности, можно поступать совершенно произвольным образом, например можно принимать Р(ео) = 1. (15.3.3) Для нормированных таким или подобным образом поверхностей постоянной днсснпации можно сформулировать принцип максимума, состоящий в следующем. Пусть оо — заданное напряженное состояние, ее — соответствующее истинное поле скоростей з ыл.
твогия идвлльнои пластичности 487 Ф деформации, нормированное в смысле (15.3.3), еп — произволь- / Ф'Ъ ное поле скоростей деформации такое, что Р (еп! = 1. Тогда (еп — е„) оп ) О. (15.3.4) Для доказательства неравенства (15.3.4), перепишем его следующим образом: епоп ) е„"оп. Но левая часть равна Р(ее)= 1, остается доказать, что правая часть не болыпе единицы.
Пусть оп — пластическое напряженное состояние, соответствующее полю скоростей деформации ей. Тогда (15.2.2) можно переписать следующим образом: (а,'; — оп) еп ) О или Ф Ф Ф епоп ( емоп. Ф Ф I ° т Но е~ юм = Р (еп( = 1, следовательно, е;;ои (1. Этим доказывается неравенство (15.3.4). Из этого неравенства следует невогнутость поверхности постоянной диссипации. й 15.4. Постановка задачи теории идеальной пластичности. Теорема единственности Постановка задачи теории идеальной пластичности существенно отличается от постановки задачи теории упругости. Не претендуя на исчерпание всех возможностей, упомянем здесь три проблемы.
1. Предельное равновесие зсестпопластичеспово тела. С задачами подобного рода мы уже встречались применительно к стержневым системам. Общая постановка будет состоять в следующем. На части поверхности Я, заданы мгновенные скорости перемещений оь на части поверхности Ят заданы усилия )ьТь где и †неопределенн множитель. Требуется определить несущую способность тела, т. е. то значение параметра нагрузки дт, при котором наступает общая текучесть, это значит, что тело получает возможность неограниченно пластически деформироваться. Вообще при р( рт в теле могут возникать пластические зоны, но примыкающие к ним жесткие области ограничивают свободу пластического течения.
На рис. 15.4.1 пластические области заштрихованы. При увеличении нагрузки пластические области расширяются и, наконец, сливаются, отделяя жесткие части А и В друг от друга, как Гл. 1ь. идеАльнАя пластичность 488 показано на рис. 45.4.2.
Теперь части А и В могут свободно перемещаться друг относительно друга. Это и значит, что наступило состояние общей текучести. Можно представить себе, что заданы только скорости перемещений. Например, на рис. 15.4.3 изображен образец с боковыми вырезами, растягиваемый с постоянной скоростью.
При этом образец деформируется, в нем наступает состояние общей текучести, как показано на рисунке. Требуется определить величину силы, которую нужно приложить, чтобы образец действительно деформировался. Участок образца, захваченный зажимом, оста. ется жестким, он весь перемещается со скоростью и, но распределение усилий в месте захвата остается совершенно неопределенным, можно искать только величину суммарной силы. 2. Стационарные задачи о пластическом формоизмснении. При решении вопросов о предельном равно- Рис. 15.4.3 Рис. 15.4.2 Рис.
15.4.1 весин рассматриваются только мгновенные распределения скоростей в момент исчерпания несущей способности, тогда как деформации считаются бесконечно малыми. В задачах о пластическом формоизменении деформации велики. Но в теории идеальной пластичности деформации сами по себе не фигурируют, в уравнения входят лишь мгновенные скорости материальных точек. Поэтому в рамках модели жесткопластического тела возможно рассмотрение, например, такой задачи. Стержень (проволока) диаметром Юпротягивается через коническую фильеру, в результате диаметр уменьшается до величины а, соответственно увеличивается длина.
В заштрихованной области материал находится в пластическом состоянии (границы этой области на рис. 15.4.4 показаны совершенно условно). При анализе процесса фиксируется точка пространства, для этой точки пишутся уравнения пластичности, которые относятся не к какому-то определенному материальному элементу, а к тому элементу, который в данный момент проходит через фиксированную точку пространства и в следующий момент ее покидает. % ЮА.
ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОИ ПЛАСТИЧНОСТИ 489 Соверптенно аналогично изучаются стационарные движения жидкости в координатах Эйлера, идеально-пластическое тело, подобно жидкости, совершенно лишено памяти о предшествующих воздействиях. В рассмотренном примере можно определить силу Р, необходимую для осуществления протяжки, можно определить давление на стенки фильеры.
3. Иестанионарные задачи о пластическом формоизменении. Задачи такого рода сложны, и примеры решения немногочисленны. Жесткий штамп, внедряющийся в пластическое полупространство, встречает все большее сопротивление по мере увеличения площади контакта и останавливается на некоторой глубине (рис. т5.4.5). В результате пластической деформации стержня с выточкой, изображенного на рис. 15.4.3, конфигурация выточки меняется по мере растяжения. Естественный, хотя и крайне трудоемкий путь решения таких задач состоит в следующем. Зная мгновенные значения скоростей, можно определить малые перемещения йи= о йг, где М вЂ” приращение параметра нагрузки (или любая малая величина).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
