Ю.Н. Работнов - Механика деформируемого твердого тела (1119118), страница 94
Текст из файла (страница 94)
е. элементарная пластическая деформация. Отрицательная дислокация в тех же условиях стала бы двигаться влево. 5 44Л). Сила, действующая иа дислокацию В приведенном примере перемещению дислокации па величину Ни соответствовала работа тЬ Ни. Множитель при перемещепии в выражении работы естественно назвать силой, действующей на единицу длины линии дислокации. Заметим, что такое определение силы является чисто статическим.
Можно говорить о равновесии дислокации, если действующая на пее сила равна нулю. В противном случае направление силы указывает на направление движения, во не позволяет определить, например, ускоренна. К более общему определению силы, действующей на дислокацию, мож. ио подойти следующим образом. Представим себе элемент линии дислокации Щ этот элемент переместился на расстояние Аи (рис. 14.9А]. В окрестности элемента имеется поле напряжений аы. Обозначая через т единичный вектор нормали к плоскости движения элемента ов, по формуле (14А0.1) найдем приращение работы внешних сил АА = — пс1т,Ь!Аю. Здесь Ает — площадь, ометаемая вектором бй при его движении, С другой стороны, оА можно представить как скалярное произведение некоторого вектора АР и перемещения би НА = АРАи. Вектор НР мы будем называть силой, действующей на элемент оэ дислокации.
Положим о;,Ьз = рс, Вектор р представляет собою вектор напряжения на площадке, нормальной к вектору Бюргерса, умноженный на вели- чипу последнего. А так как ч Аю = дихоэ, то АА = — р (АиХ оэ) илп, переставляя сомножители в смешанном произведении, НА = Аи (рХоз). Таким образом, мы нашли силу, действующую на дислокацию, АР= рХбй. (14А1А) Зта сила всегда перпендикулярна линии дислокации.
В действительности, нам нужно знать не силу, действугощую на дислокацию, а ту составляющую этой силы, которая действует в плоскости скольжения. Обозначим эту составляющую 49, она равна силе АР эа вычетом той ее части, которая направлена по нормали к Ню1 АЕ =АР— (. АР) .. ь 11.12. ВзАиыодепстВие между дислокАцияыи 475 Легко проэерить, что эта формула может быть запксана в видо тройного векторного произведения »ь;) = тх»(рхч. Вычислим отдельно произведение тх»)р = тхрх )4 = р (то>й) — »(4 (тр) = — »(4 (тр). Таким образои, Ы() = (тр) (чхбэ) Л(7 = (обе»Ь1) (т Х (4).
(14.11.2) Первый множитель представляет собою скалярное вроизведение вектора Бюргерса ла вектор напряжения в плоскости скольжения, второй указывает, что сила »(4> направлена по нормали к линии дислокации в плоскости скольжения. й 14 22. Взаимодействие между дислокациями Пусть в теле созданы две дислокации, линии которых суть Г н Г', векторы Бюргсрса Ь и Ь' соответственно. Этим дислокациям соответствуют системы напряжений оы и о» и деформации еп и е Г Энергия взаимодействия может быть подсчитана двояким способом; либо нужно предположить, что первая дислокация уже существовала в теле к моменту, когда в нем создается вторая, либо наоборот.
Работа напряжений аы на относительном перемещении Ь» краев разреза Г, проведенного через контур Г', представляет собою энергию взаимодействия И 1 = ~ О. У.Ь1»(Х . х> Если дислокацпи создаются в обратном порядке, то И'1 —— ~ а т Ь.»(2. П 1> х Энергия взаимодействия между двумя дислокациями не разпа нулю подобно энергии взаимодействия между дислокацией и полем напряжений от внешних сил. По-прежпему эта энергия может быть вычислена путем суммирования работ, произведенных в элементарных объемах, И> = ) о е,.
»(г' = ~ о,. е»»)У. Напряжения оы и о самоуравновешены, но деформации е»» и е, не представляют собою деформаций, возможных в сплошном теле, при создании дислокации оплошность нарушается. Поэтому И'» не является виртуальной работой самоуравновешенной системы сил и не должка обращаться в нуль. Предположим теперь, что элемент»(й линии дислокации Г перемещаетсн иа расстояние»(в. Соответствующее изменение эпергии взаимодействия есть — »))У».
Возможное движение дислокации должно сопровождаться уменьшением зпергии взаимодействия; представляя это уменьшение в виде 476 гл. ы. дислокации н улгугоы тнлн произведения вектора перемещениядм иа вектор ду — дИ =деди, г мы приходим к определению силы Ыр, действующей со стороны второй дислокации на элемент Ыз первой, Эта сила выражается формулой (14.11.2) предыдущего па)гаграфа, если напряжения оы от внешних сил заменить напряжениями ог, создаваемыми второй дислокацией.
Особый интерес для прило|нений представляют прямолинейные дислокации; взаимодействие прямолинейных дислокаций мы рассмотрим более подробно. а, Две параллельные винтовые дислокации. Винтовая дислокация (О, О, Ь) создает поле напря;кепий, симметричное относительно оси хь оиа пе имеет определенной плоскости скольлл жевия и сила взаимодействия между двумя такими дислокациями не зависит от их расположения относительно осей х„.
Направим но оси хв дислокацию (О, О, Ь,), вторая дислокация (О, О, Ьв) Г пусть проходит через точку (з, О, 0) (рис, 14.2Л). Предположим, что дислокация Ь| уже существовала, в плоскости Лг хв = 0 ей соответствует касательное наЬгд 1 Р с. 14.12.1 ис. пряжение о = 2 —. Создавая это*1 рую дислокацию, мы производим относительное смещение в направлении оси хв на величину Ьв краев разреза в плоскости хз = 0 от х| = $ до х| = )). Соответствующая работа на единицу длины линии дислокации и Ит =~~ — ' — Ь = — '1 Гьр 1 ЬЬп )) 1 Сила взаимодействия между дислокациями дите Ь Ь Р вЂ” | 1 з д5 2л (14Л2Л) Ь,р о 2я (1 — т) .т. Формула для силы взаимодействия между двумя винтовыми дислокациями оказывается такой же, как для силы взаимодействил между двумя линейными зарядами.
Она положительна, если дислокации одного знака, и отрицательна, если дислокации разных знаков, Таким образом, дислокации одпого знака отталкиваются, дислокации разных знаков притягиза|отся, стремясь слиться в одну дислокацию с вектором Бюргерса Ь| — Ьв. В частности, две дислокации с равными и противоположными векторами Бюргерса, сливаясь, уничтожают друг друга. б. Две краевые дислокации в общей плоскости снольхтенин. Рассмотрим две краевые дислокации, лежащие в плоскости х, = О, одна из них направлена по оси х, и имеет вектор Бюргерса Ь~ в направлении оси хь другая параллельна ей, проходит через точку (2, О, 0) и имеет вектор Бюргерса Ьт того же направления, что первая. Энергия взаимодействия подсчитывается здесь точно так же, как в случае двух винтовых дислокаций, так как касательное напряжение в плоскости х, = 0 от первой дислокации есть 5 14.1З.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ ДИСЛОКАЦИЯМИ 477 Формула взанмодействия имеет следующий вид: р 1З Ь Ь)4 (14.12.2) 2л (1 — ч)' и в случае краевых дислокаций дислокации одного знака отталкиваются, разных знаков — притягиваются. в. Дее краевые дислокаиии в параллельных плоскостях скольскения. Рассмотрим две краевые дислокации так, как зто показано на рис. 14.12.2. Первая дислокация вызывает в плоскости скольжения второй дислокацип касательное напряжение Ь )ь х (хг — хз) т4 Длн нахождения силы, действующей на вторую дислокацию, нет необходимости вычислять энергию взаимодействия, можно просто воспользоваться формулой (14Д1.2) (так же, как и в ранее рассмотренных случаях). В точке (Ьи $4), где помещена вторая дислокация, на плоскости скольжения действует касательное напряжение Ь,(л 2, (~з — Ь') Рпс.
14,12,2 2я (1 — т) 04 направленное так же, как вектор Бюргерса, Для вычисления силы, действующей в плоскости скольжения, достаточно знать величину т, в формулу для этой силы входит скалярное произведение вектора напряжений, действующего на плоскости скольжения, на вектор Бюргерса. Это скалярное произведение равно тЬь Следовательно, величина силы есть 2я (1 — т) Заметим, что $,/р = соз О, Ьт/р = з(п О.
После очевидных преобразований представим формулу для силы взаимодействия в гаком виде: Ь|Ьзд з!и 40 Оя (1 — т) (14Д2.3) Картину взаимодействия между дислокациями можно представить себе следующим образом. Состояние равновесия осуществляется при О = я/4 и О = я/2. Если дислокации одного знака, они стремятся удалиться, когда О ( л/4, и сблизиться, если О ) я/4. Состояние равновесия при О = я/4 неустойчиво, при О = л/2 устойчиво. Это показано схематически на рис. 14Д2.2, здесь же приведен примерный график зависимости силы р от координаты 44.
Если дислокации иттетот разные знаки, картина получается противоположной, при О ( я/4 дислокации стремятся сблизиться, при О ) я/4 стремятся удалиться. Устойчивое равновесие оказывается при О = я/4. Степень устойчивости взаимного расположения дислокаций определяется энергией активации, т. е. величиной работы, которая необходима для того, чтобы разрушить возникшее образование. Пусть, например, мы имеем дзе дислокации одного знака, расположенные одна над другой (О = я/2).
Фиксируя нижнюю дислокацито, будем перемещать верхнюю вправо до тех пор, пока сила не обратится в нуль, т. е. О не станет равным я/4. Работа силы Р на этом пути и есть знергия активации„ после того как зта работа гл, га дислокации в упругом твлв 478 произведена, дислокации будут отталкиваться, и порвопачальпое состояние уже не восстановится. Подсчитаем энергию активации У= ~рйь,. НО Но $, = $т с1, О, а7 = — 3, э, следовательно, зз(п О л/ч Г г зр ~ з1п4030 0153 г зр ьь (: ьь 8л(1 — т) ) з1пеО 2л(1 ч) л/е 5 $4ЛЗ. Стенка дислокаций Предположим теперь, что вдоль оси х, на равпых расстояниях Н рас- положен ряд одинаковых краевых дислокаций (Ь, О, О).
Основываясь на результатах предыдущего яараграфа, следует ожидать, что такое располо- жение будет устойчивым. В последующем мы вернемся к вопросу об ус- тойчивости подобного расположения, пока что ограничимся соответствую- щим допущением. Если мы хотим рассматривать напряженное состояние в точках, отстоящих от оси х, на расстояние, достаточно большое по срав- нению с расстоянием Ы между дислокациями, мы можем заменить дискрет- ный ряд дислокаций непрерывным их распределением, слоем дислокаций. Представим себе, что на каждый бесконечно малый элемент 3$, оси зг при- ходится краевая дислокация с вектором Бюргерса () Нов На больших рассто- яниях от оси з, такой слой вызывает напряженное состояние, не отличаю- щееся от напряженного состояния, вызванного рядом дислокаций на рас- стоянии Н одна от другой, если () = Ь/Ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
